Transformation en z Fonctions de plusieurs variables réelles

Transformation en z. Fonctions de plusieurs variables r´eelles. 1
Universit´ e d’Aix-Marseille
Institut Universitaire de Technologie
D´ epartement R´ eseaux et T´ el´ ecommunications
Transformation en z
Fonctions de plusieurs variables r´eelles
1. Transformation en z
2. Fonctions de plusieurs variables

2Transformation en z. Fonctions de plusieurs variables r´eelles.

Table des mati`eres
1 Transformation en z5
1.1 D´efinition de la transformation en z............................... 5
1.1.1 S´equence num´erique associ´ee `a une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Transform´ee en z...................................... 6
1.1.3 Quelques exemples de transform´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Propri´et´es de Z........................................... 8
1.2.1 Lin´earit´e .......................................... 8
1.2.2 D´ecalage........................................... 9
1.2.3 Transform´ee de (anT f(nT ))n∈IN .............................. 10
1.2.4 Transform´ee en zde (nT f (nT ))n∈IN ........................... 11
1.2.5 Transform´ee en zdu produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Transformation en zinverse.................................... 12
1.3.1 D´efinition.......................................... 12
1.3.2 Exemples .......................................... 12
1.4 Une application de la transformation en z: les ´equations aux diff´erences . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Un exemple d’´equation aux diff´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Exemple........................................... 14
1.5 Transformation de Fourier discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 D´efinition.......................................... 14
1.5.2 P´eriodicit´e ......................................... 15
1.5.3 Lien avec les s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Formulaire.............................................. 15
2 Fonctions de plusieurs variables 17
2.1 Introduction............................................. 17
2.1.1 L’ensemble IRn....................................... 17
2.1.2 G´en´eralit´es sur les fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Continuit´e.......................................... 18
2.1.4 D´erivabilit´e......................................... 20
2.1.5 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.6 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.7 Formule de Taylor `a l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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4Transformation en z. Fonctions de plusieurs variables r´eelles.

Chapitre 1
Transformation en z
Dans tout ce chapitre, les fonctions r´eelles de la variable r´eelle consid´er´ees sont suppos´ees nulles sur IR∗
−,
et Td´esigne un r´eel strictement positif.
1.1 D´efinition de la transformation en z
1.1.1 S´equence num´erique associ´ee `a une fonction
D´efinition
Soit fune fonction. On appelle s´equence num´erique associ´ee `a fla suite de r´eels
fe= (f(0), f(T), f(2T), . . .)=(f(nT ))n∈IN,
obtenue en ´echantillonant la fonction fselon la p´eriode T.
Ts’appelle la p´eriode d’´echantillonnage de fet feest parfois appel´ee “fonction ´echantillonn´ee de f” (selon
la p´eriode T).
Exemples
On prend T= 1.
1) Suite ´echelon unit´e
C’est la suite obtenue en ´echantillonant la fonction “´echelon unit´e”
U(x) = (0 si x < 0;
1 si x≥0.
On a donc U(n) = 1 pour tout n∈IN.
2) Suite de Dirac
C’est la suite obtenue en ´echantillonant la distribution de Dirac
δ(x) = (1 si x= 0;
0 si x6= 0.
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