Algèbre Constructive
Journées nationales de Calcul Formel 2014. Algèbre Constructive
H. Lombardi
3 novembre 2014 [12:0] Fichier:JNCF2014 chapitre:0
Journées nationales de Calcul Formel 2014. Algèbre Constructive
H. Lombardi
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Préface
Dans ce tutoriel, on va essayer de convaincre l’auditoire que l’Algèbre abstraite
contemporaine est pour l’essentiel constructive si l’on prend la peine de « bien
lire » les démonstrations usuelles.
Lorsque l’on veut examiner le contenu concret d’un théorème d’algèbre et que
l’on regarde sa démonstration en détail, si celle-ci ne se laisse pas traduire en
un algorithme, on se heurte usuellement à deux obstacles :
–l’utilisation du principe du tiers exclu, qui permet de démontrer l’existence
d’un objet concret au moyen d’une preuve par l’absurde : si l’objet n’existait
pas, bla bla bla, on trouverait une contradiction dans les mathématiques,
–l’utilisation du lemme de Zorn, qui permet de mimer le raisonnement par
récurrence même dans le cas où l’ensemble considéré n’est pas dénombrable.
Par exemple, le Moderne Algebra de van der Waerden évite le deuxième obstacle
en ne considérant que des structures algébriques dénombrables.
En fait, utiliser le lemme de Zorn revient la plupart du temps à agiter les mains
dans le vide pour détourner l’attention du véritable problème, lequel se trouve
aux étages finis de la construction, et non dans le passage à la limite. Si ce
dernier n’est pas vraiment possible, cela n’affecte en rien le contenu concret du
théorème. En Calcul Formel, on ne passe jamais à la limite, car on s’intéresse
au contenu concret des théorèmes, en outre les ordinateurs ne peuvent pas
« passer à la limite » en un temps fini.
La pratique montre que le principal obstacle pour mettre à jour la véritable
signification d’un théorème, provient de l’utilisation du principe du tiers exclu.
Or le moyen de contourner l’obstacle du tiers exclu est fourni par une pratique
courante en Calcul Formel, connue sous le nom de l’évaluation paresseuse. Le
paradigme est fourni par la méthode D5 qui permet de calculer dans la clôture
algébrique d’un corps explicite, sans jamais se tromper, même si aucune clôture
algébrique de ce corps ne peut être construite (au sens usuel de la chose).
L’existence d’un diviseur irréductible pour un polynôme donné de K[X] (K un
corps explicite), laquelle se prouve en mathématiques classiques au moyen du
principe du tiers exclu, y est remplacée par un calcul paresseux arborescent et
sans erreur possible.
– iii –
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H. Lombardi
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iv Préface
Le plan des exposés est le suivant. Dans chaque section on montre comment
se débrouiller constructivement avec des notions et des théorèmes d’apparence
non constructive (au premier abord).
1) Théorème de la base adaptée. Noethérianité constructive.
2) Nullstellensatz sans clôture algébrique.
3) Dimension de Krull.
4) Idéaux premiers minimaux et maximaux.
Références
Livres
[MRR] Mines R., Richman F., Ruitenburg W.
A Course in Constructive Algebra. Universitext. Springer-Verlag, (1988).
[ACMC] Lombardi H., Quitté C.
Algèbre Commutative, Méthodes Constructives. Calvage & Mounet, (2011).
[Modules] Díaz-Toca G.-M., Lombardi H., Quitté C.
Modules sur les anneaux commutatifs. Cours et exercices. Calvage & Mounet,
(2014)
Articles
[Dynamic] Coste M., Lombardi H., Roy M.-F.
Dynamical method in algebra : Effective Nullstellensätze.
Annals of Pure and Applied Logic. 111, (2001) 203–256.
http://hlombardi.free.fr/publis/NullstellensatzDynamic.pdf
[Logic] Coquand T., Lombardi H.
A logical approach to abstract algebra. (survey)
Math. Struct. in Comput. Science. 16 (2006), 885–900.
http://hlombardi.free.fr/publis/AlgebraLogicCoqLom.pdf
[Seminormal] Coquand T. On seminormality.
Journal of Algebra, 305 (1), (2006), 585–602.
http://www.cse.chalmers.se/~coquand/min.pdf
[Plaidoyer] Coquand T., Lombardi H.
Plaidoyer pour l’algèbre constructive.
http://hlombardi.free.fr/publis/Plaidoyer.pdf
H. Lombardi,
Novembre 2014.
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Table des matières
Préface .................................. iii
I Théorème de la base adaptée
Introduction .............................. 1
1 Les théorèmes doivent avoir un contenu calculatoire ........ 2
2 Sous-groupes de type fini de Zn................... 3
3 Intersections de sous-groupes de type fini, cohérence ........ 5
4 Sous-groupes arbitraires, noetherianité ............... 8
Conclusion ............................... 11
II Nullstellensatz sans clôture algébrique
Introduction .............................. 13
1 Algorithmes de factorisation ..................... 15
2 Algèbres finies sur un corps discret .................. 16
3 Clôture algébrique à la D5 ...................... 17
4 Systèmes polynomiaux à la D5 .................... 22
III Dimension de Krull
Introduction .............................. 33
1 Le spectre de Zariski ......................... 34
2 Lemme de Krull et généralisations .................. 38
3 Définition constructive de la dimension de Krull .......... 42
4 Théorèmes classiques sous forme constructive ............ 45
IV Idéaux premiers, minimaux, maximaux
Introduction .............................. 51
1 Idéaux premiers ............................ 51
2 Idéaux premiers maximaux ...................... 62
3 Idéaux premiers minimaux ...................... 65
Conclusion ............................... 67
Bibliographie 69
Index des termes 73
– v –
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