1. Cours 5: Le corps des réels et le corps des complexes

1. Cours 5: Le corps des réels et le corps des complexes
1.1. Le corps des nombres réels
Il existe des grandeurs xqui ne sont pas rationnelles (C.à.d: x =2Q).
Par exemple la diagonale xd’un carré de côté 1est telle que x2= 12+ 12= 2
( Théorème de Pythagore). Cette grandeur est notée p2et p2=2Q(Voir cours
1).
Ainsi, on ne peut pas "tout mesurer" avec des nombres rationnels. C’est
pourquoi on est amené à considérer un ensemble de nombres plus riches noté R
dont tout élément peut être approché par défaut et par excès par des nombres
décimaux. C.à.d:
8m2N;9n2Z;n
10m < n+ 1 10m(#1)
Exemples
2012 2012 <2013;20120
10 2012 <20121 10 ;201200 1022012 <201201 102;
::::; 201210m
10m2012 <201210m+1 10m
01
3<1;3: 10 1 3<4 10 ;33 1021 3<34 102;
::::; 33333:::33:
10m1 3<33333:::34 10m
1p2<2;14
10 p2<15 10 ;141 102p2<142 102;
:::::; 1414213562
109p2<1414213563 109

Si 2Qalors, =p
qavec p2Zet q2N:
Pour tout m2N;la division euclidienne de 10mppar qpermet d’écrire:
10mp=qk +ravec k; r 2Zet 0r < q
mais 0r < q )qk qk +r < q (k+ 1)
)qk 10mp<q(k+ 1)
)k10mp
q<(k+ 1)
)k
10m < (k+1) 10m
Ainsi QR(Rest appelé l’ensemble des réels)
On note R+=f2R:0g,R=f2R:2R+g,R=Rnf0g,
R+=R+nf0g;et R =Rnf0g
On admet dans ce cours que l’ensemble Rest muni de l’addition +et la
multiplication véri…ant:
(a) 8x; y 2R; x +y2R(L’addition +est une loi interne dans R)
(b) 8x; y; z 2R; x + (y+z) = (x+y) + z(+est associtive dans R)
(c) 9e1= 0 2R;8x2R; x + 0 = x^0 + x=x(0est l’élément neutre
pour +dans R).
(d) 8x2R;9x0=x2R; x + (x) = 0 ^(x) + x= 0 (xest l’inverse de
xpar rapport à +dans R)
(e) 8x; y 2R; x +y=y+x(+est commutative dans R).
Ces propriétés se résument en disant que (R;+) est un groupe commutatif.
(a’) 8x; y 2R; x y2R(La multiplication est une loi interne dans R)
(b’) 8x; y; z 2R; x (yz) = (xy)z(est associtive dans R)
(c’) 8x; y; z 2R; x (y+z) = (xy) + (xz)^(y+z)x= (yx) + (zx)
(est distributive par rapport à +dans R)
(d’)9e2= 1 2R;8x2R; x 1 = x^1x=x(1est l’élément neutre pour
dans R).
(e’) 8x2R;9x0=1
x2R; x (1 x) = 1 ^(1 x)x= 1 (1 xest l’inverse de xpar
rapport à dans R)
(f’) 8x; y 2R; x y=yx(est commutative dans R).
Ainsi (R;+;)est un corps commutatif.
On admet aussi que est une relation d’ordre sur Rqui véri…e les propriétés
suivantes :
(a") 8x; y 2R;(xy)_(yx)(est un ordre total sur R)
(b") 8a; b; x; y 2R; a b^xy)a+xb+y(compatibilité de +avec
)
(c") 8x; y 2R;8a2R+; x y)axay
2

(d") 8x2R;8y2R+;9n2N; x ny(Propriété d’Archimède).
1.1.1. Le corps des nombres complexes
On dé…nit l’addition +et la multiplication sur R2par:
8(a1; b1);(a2; b2)2R2: (a1; b1)+(a2; b2) = (a1+a2; b1+b2)
(a1; b1)(a2; b2) = (a1a2b1b2; a1b2+a2b1)
Proposition: (R2;+;)est un corps commutatif.
Ce corps est appelé le corps des complexes et est noté (C;+;).
Preuve: (Exercice)
Remarques:
En identi…ant (a1;0) àa1on peut dire que RC:
et en notant (0;1) par ion trouve i2= (1;0) qui s’identi…e à 1:
En e¤et:
i2= (0;1) (0;1) = (1;0)  1
Forme algébrique d’un nombre complexe, Conjugaison et Module Dans
le corps Ctout élément zs’écrit de façon unique z=a+ib avec (a; b)2R2.
En e¤tet:
Soit z= (a; b)2C;alors:
z= (a; b) = (a; 0) + (0; b)
= (a; 0) + (0;1)(b; 0)
=a+ib avec les identi…cations (a; 0) a,(b; 0) bet la notation i= (0;1)
Cette écriture est appelée la forme algébrique de z.
aest appelée la partie réelle de zet notée Re(z), et bla partie imaginaire de
zet notée Im(z)
Le complexe Re(z)iIm(z)est appelé le conjugué de zet noté z
Le réel q(Re(z))2+ (Im(z))2est appelé le module de zet noté jzj
3

Université Ibn Khaldoun de Tiaret.
Département d’Informatique.
Module:Algèbre 1 (1ere Année LMD)
F iche de T :D N 05
Exercice 1:
Exercice 2:
Exercice 3:
4