Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres de contraction et forêts préordonnées
Anthony Mansuy
30 avril 2013
Anthony Mansuy Algèbres de contraction et forêts préordonnées
Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
Une algèbre est une famille (A,m,1A)où :
1Aest un K-espace vectoriel.
2m:A×AAest bilinéaire. On note m(x,y) = x.y.
31AA.
Avec les axiomes suivants :
1Associativité : pour tous x,y,zA,(x.y).z=x.(y.z).
2Unité : pour tout xA, 1A.x=x.1A=x.
Anthony Mansuy Algèbres de contraction et forêts préordonnées
Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
On reformule ces axiomes en termes de diagrammes
commutatifs. Pour cela il faut linéariser met 1A:
m:AAA
xyx.yν:KA
λλ.1A.
Les axiomes s’expriment alors de la manière suivante :
Associativité Unité
m(mId) = m(Id m)m(Id ν) = m(νId) = Id
AAAmId //
Idm
AA
m
AAm//A
KAνId //
%%
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JAA
m
AK
Idν
oo
yyt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
A
Anthony Mansuy Algèbres de contraction et forêts préordonnées
Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
Une cogèbre est une famille (C,, ε), où :
1Cest un K-espace vectoriel.
2∆ : CCCest une application linéaire.
3ε:CKest une application linéaire.
Avec les axiomes suivants (obtenus en dualisant les axiomes
pour les algèbres) :
Coassociativité Counité
(∆ Id)∆=(Id ∆) ∆ (εId)∆=(Id ε)∆ = Id
CCC C C
Id
oo
CC
Id
OO
C
oo
OOKC C C
εId
ooIdε//CK
C
eeK
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
OO
99
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Anthony Mansuy Algèbres de contraction et forêts préordonnées
Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
Notations de Sweedler : pour tout xC, on écrit :
∆(x) = X
x
x(1)x(2).
Les axiomes de cogèbre se reformulent alors :
1Coassociativité : pour tout xC,
X
x,x(1)x(1)(1)x(1)(2)x(2)=X
x,x(2)
x(1)x(2)(1)x(2)(2).
2Counité : pour tout xC,
X
x
εx(1)x(2)=X
x
x(1)εx(2)=x.
Anthony Mansuy Algèbres de contraction et forêts préordonnées
1 / 44 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !