Algèbres de contraction et forêts préordonnées

Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres de contraction et forêts préordonnées
Anthony Mansuy
30 avril 2013
Anthony Mansuy Algèbres de contraction et forêts préordonnées

Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
Une algèbre est une famille (A,m,1A)où :
1Aest un K-espace vectoriel.
2m:A×A−→ Aest bilinéaire. On note m(x,y) = x.y.
31A∈A.
Avec les axiomes suivants :
1Associativité : pour tous x,y,z∈A,(x.y).z=x.(y.z).
2Unité : pour tout x∈A, 1A.x=x.1A=x.
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Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
On reformule ces axiomes en termes de diagrammes
commutatifs. Pour cela il faut linéariser met 1A:
m:A⊗A−→ A
x⊗y−→ x.yν:K−→ A λ−→ λ.1A.
Les axiomes s’expriment alors de la manière suivante :
Associativité Unité
m◦(m⊗Id) = m◦(Id ⊗m)m◦(Id ⊗ν) = m◦(ν⊗Id) = Id
A⊗A⊗Am⊗Id //
Id⊗m
A⊗A
m
A⊗Am//A
K⊗Aν⊗Id //
≈
%%
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JA⊗A
m
A⊗K
Id⊗ν
oo
≈
yyt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
A
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Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
Une cogèbre est une famille (C,∆, ε), où :
1Cest un K-espace vectoriel.
2∆ : C−→ C⊗Cest une application linéaire.
3ε:C−→ Kest une application linéaire.
Avec les axiomes suivants (obtenus en dualisant les axiomes
pour les algèbres) :
Coassociativité Counité
(∆ ⊗Id)◦∆=(Id ⊗∆) ◦∆ (ε⊗Id)◦∆=(Id ⊗ε)◦∆ = Id
C⊗C⊗C C ⊗C
∆⊗Id
oo
C⊗C
Id⊗∆
OO
C
∆
oo
∆
OOK⊗C C ⊗C
ε⊗Id
ooId⊗ε//C⊗K
C
≈
eeK
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
∆
OO
≈
99
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
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Algèbres de Hopf : Définitions et exemples
Algèbre de Hopf de contraction
Forêts préordonnées
Définitions
Algèbres de Hopf de battage et de battage contractant
Algèbre de Hopf d’arbres
Notations de Sweedler : pour tout x∈C, on écrit :
∆(x) = X
x
x(1)⊗x(2).
Les axiomes de cogèbre se reformulent alors :
1Coassociativité : pour tout x∈C,
X
x,x(1)x(1)(1)⊗x(1)(2)⊗x(2)=X x,x(2)
x(1)⊗x(2)(1)⊗x(2)(2).
2Counité : pour tout x∈C,
X
x
εx(1)x(2)=X
x
x(1)εx(2)=x.
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