Séminaire Henri Cartan J OHN C. M OORE Algèbres de Hopf universelles Séminaire Henri Cartan, tome 12, no 2 (1959-1960), exp. no 10, p. 1-11 <http://www.numdam.org/item?id=SHC_1959-1960__12_2_A1_0> © Séminaire Henri Cartan (Secrétariat mathématique, Paris), 1959-1960, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire H. CARTAN - J. C. MOORE 12e année, 1959/60, n~ 10 10-01 18 janvier 1960 ALGÈBRES DE HOPF UNIVERSELLES par John C. MOORE Dans cet de base exposé, tous les modules sont des commutatif, fixé de Dedekindo Quand une où fois pour toutes ; parle d’algèbre, on de supposera coalgèbre, désigne K un anneau que K est d’algèbre un an- de Hopf, on suppose toujours que le K-module gradué sous-jacent est connexe, et projectif de type fini (on pourrait travailler sous des hypothèses moins restrictives, mais, pour les applications qu’on a en vue dans les exposés suivants, ces hypothèses suffisent, et les démonstrations sont plus simples). De plus, toutes les algèbres ont une multiplication associative, et toutes les coalgèbres ont une application diagonale associative o Ainsi, une algèbre de Hopf possède une multiplication associative et une application diagonale associative. neau on Nous considérons d’abord le problème ou ou plonger une coalgèbre dans une algèbre de Hopf Il y a deux solutions universelles, selon que l’on considère toutes les algèbres de Hopf, ou seulement les algèbres de Hopf à multiplication consistant à commutative a PROPOSITION 1. - Si un morphisme et r 8 de Hopf est une coalgèbre, il oxisto une algèbre de Hopf T(C) decoalgèbres G â C ~ T(C) , tels A f : C un T(C) que si A morphisme de coalgèbrss, il existe ~ A tel que le diagramme est une algèbre de et Hopf morphisme d’algèbres soit commutatif ~ DÉMONSTRATION. - Soit le conoyau de ~ : K i C ; sous-module des éléments de degré > 0 J(C) est donc canoni- de C . Soit quement isomorphe au l’algèbre de Hopf qui, comme algèbre, est l’algèbre associative libre engendrée par J (C) ; et soit : C ~ T(C) l’application naturelle. Il y a une unique application diagonale A dans T~C~ ~ telle que le diagramme . commutatif, et telle que A soit un morphisme d’algèbres. contient un système de générateurs de l’algèbre l’image de soit et ~ : que PROPOSITION C ~ 2. - Si T(C) C est On notera que est clair satisfont à la propriété universelle désirée. coalgèbre, il existe une une algèbre de Hopf à mul- tiplication commutative L(C) , et un morphisme de coalgèbres 6 : C ~ L(C) que si A est une algèbre de Hopf à multiplication commutative et il existe un unique morphisme d’algèbres de morphisme de f : L C~ ~ A tel que le diagramme , tels un soit commutatif . DÉMONSTRATION. - l’algèbre de Hopf qui, engendré par J~C~ ’ et Soit associative-commutative libre est l’application naturelle, algèbre, comme telle que si ext G ~ l’algèbre C ~L(C) le diagramme universelle désirée est évidemment satis- propriété soit commutatif. Ici encore, la faite par : C ~ L(C) . DÉFINITIONS e t A ~ K , et RAPPELS. - Si De plus tion. naturelle I ~A ) d’une Q(A) .~ Q (A ) = est un I ~.~) algèbre, désigne le noyau de des éléments de degré > 0 de A. (cf. L’algèbre A est triviale si l’applica- une isomorphisme, i. e. I ~A ) = 0 , si coalgèbre C ~ le module P(C) des éléments primitifs est le de l’application naturelle J(C) -~J(C) ~J(C) ~ et est la coimage certaine application. La coalgèbre C est triviale si l’application natu- même, noyau est et est-à-dire le sous-module l’exposé 4) . De A pour relle une est vera que si Hopf souvent isomorphisme, i. C est une coalgèbre triviale, utilisée et désignée par un e. si alors J(C)2 = 0 est (exposé 4). On obserjustement l’algèbre de Autres conventions et commentaires : Pour tout Hom~X = K~ de projectif Si X -~ ~’ : X*. noté sera K-module X* s’appelle même de X* et Le module X 3 le K-module le dual de type fini, il en est de Y est un morphisme de K-modules, alors X , Si X est .~ X** est un isomorphisme. f * : Y* .~ X* est défini X par : L’ application f* s’appelle Soit maintenant A PROPOSITION 3. - Si la duale de f . algèbre ayant pour m~ultiplication , ~ : alors A* est une coalgèbre avec application diagonale 03A6* : A* ~ A* ~ A* , et A ** ~ A . Des considérations analogues s’appliquent aux coalgèbres, ainsi qu’aux algèbres de Hopf. Rappelons que la duale d’une algèbre de Hopf est encore une algèbre de Hopf. une A e st une algèbre, il existe une algèbre de Hopf U(A) ~ A tels que si C est une algèbre de Hopf morphisme d’algèbres n : et f : C -~ A un morphisme d’algèbres, il existe un unique morphisme d’algèbres de Hopf f s C ~ U(A) tel que le diagramme et un soit commutatif. DÉMONSTRATION. Inapplication La Il suffit de prendre proposition 3 est duale 4 . - Si A tion diagonale commutative que si si f :p C est C -> A d’algèbres de une e st Hopf algèbre un. T(A*)*, 03C0 : U(A) ~ A étant A~ ~ T (A~‘~ . duale de à : PROPOSITION U(A) = de la est une M~A ~ ~ de proposition 1. algèbre, et un il existe algèbre morphisme d’algèbres n une de Hopf à ~ applica- M~A ~ .~ A ~ tels Hopf dont l’application diagonale est commutative, et morphisme d’algèbres de Hopf, il exi st e un uni que morphisme C ~ M(A) rendant commutatif le diagramme DÉMONSTRATION. - Il étant duale de Pour que A* ~ L(A*) . : C PROPOSITION 5. -Soit 3° M(A) = L(A*)* , l’application 03C0 : suffit, de poser alors : coalgèbre ; une l’application diagonale de Hopf T(C) (resp. L(C) ) l’application diagonale de la coalgèbre l’algèbre soit commutative il faut et il suffit que de soit commutative. C La démonstration est évidente à PROPOSITION 6. - Si est est est C un isomorphisme. Si un isomorphisme. A partir des définitions. coalgèbre, l’application naturelle une algèbre, l’application naturelle une est de Ceci résulte aussitôt des définitions. On observera que les deux assertions l’énoncé sont duales l’une de l’autre. Xn le X est produit tensoriel de n exemplaires de X. Si A est une algèbre, A~ désignera l’algèbre, produit la tensoriel de n exemplaires de A . Si C est une coalgèbre, en désignera coalgèbre, produit tensoriel de n exemplaires de C. DÉFINITIONS. - Soit 7t En et la (i + est X le groupe n sur Si me si lettre, sur nous n noterons lettres. Si est la o on a : , fait opérer 03C0n C , ,, une trivialement sur de l’énoncé L(G) provient ~ opère module, la i-ème ..., entier > 0 ’ il existe soit un épimorphisde 03C0n-modules, lorsqu’on L(C) . DÉMONSTRATION. - L’application n cation un transposition qui échange coalgèbre. Si q est un en entier n tel que l’application naturelle n : dans les degrés q . De plus, Ln est un morphisme PROPOSITION 7. - Soit un module, symétrique particulier, l)-ieme un est composée de en l’appliseconde partie et de fournie par la multiplication dans L(C) . La du fait que la multiplication de L(C) est commutative. première partie suit L(O) comme algèbre. On La notera PROPOSITION 8. - Soit entier degrés dans les De tel que n 03C0n plus, vialement que ~ (J ~ C ) ) du fait C q ue Ln est système de générateurs morphisme de coalgèbres. est q . est Si une un un entier > 03C0n : M(A) ~ An l’application naturelle un morphisme de 03C0n -modules, lorsqu’on fait opérer 03C0n Duale de la précédente. 03C0n On notera que l’application diagonale M(A ) -~ M(A )n et de l’application En outre ri est un morphisme d’algèbres. notera On et COMMENTAIRES. - Si L (X) l’algèbre I(A) = X , avec se monomorphisme tri- M(A) . DÉMONSTRATION. - on un un q . est sur DÉFINITIONS il existe 0 , soit de on do Hopf C L( est C). une M(X) l’algèbre notera propose maintenant de définir morphisme d’algèbres une de Hopf si A de naturelle coalgèbre triviale, même, De composée est est une avec J (C) ~ ~ ~ algèbre triviale, M(A) . application naturelle : Hopf. Une telle application existe pour deux raisons : tout d’ abord, il y. a une proj ection naturelle d,e J (M(X) ) sur X, et par suite il existe un morphisme naturel d’algèbres 03BB1 : L (M(X) ) ~ L(X) ; puisdéfinit un unique morphisme d’algèbres que L(M(X)J est une algèbre de de Hopf ~, : tel que est l’application canonique des algèbres. En second li eu, l’inclusion induit un morphisme de coalgèbres ) : M(X) -~ M(L(X) ) ; puisque M(L (X) ) est une algèbre de Hopf, il existe un unique morphisme d’algèbres de Hopf qui sera un ?~ : tel que cation canonique des de .~ L (M(x) j ~,G ~ ’z ~ est l’appli- coalgèbres. ~; n’est pas toujours isomorphisme d’algèbres de Hopf ; mais il en est ainsi sous des hypothèses particulières. Supposons maintenant que X soit un module libre à un générateur x de degré 2n ; écrivons [x] pour X , Une base pour le K-module libre le L([x]) un se compose des éléments K-module libre y (x ) ’ ... ; de plus se y. (x ) 1, x , x2 , ... ; compose des éléments y. (x) = (i , j) 1 = 03B3i+j (x) , une x = base pour Yl(x) , THÉORÈME 1. ,l’ application - Si X est un module libre à 03B : L(M(X) ~ est Considérons l’algèbre libre (x ayant pour étant à la générateurs xl’ i-ième place). élémentaires des lettres On a (yr symétriques élémentaires s. pour sl’ ... formée des éléments invariants par algèbre est commutative-libre un générateur x~k de de ré x isomorphisme d’algèbre ( L (~ x ~~~ k . Soient où ... ~ de 2n ~ 0 ’ Hopf. l’algèbre commutative désigne 1 ~ e .. ® x ~ ~ ... s k les fonctions symétriques C’est considérons l’application : ... ~ = o ... 3 un 1 , ... , k . Par ailleurs, les fonctions , s k engendrent la sous-algèbre de le groupe symétrique sur k lettres ; et cette i = (L ( ~x~ ~ ~ en ses générateurs. que ~ Il s’ en suit o X est un degrés ~2kn . L’ image de À est contenue dans l’algèbre des fonctions symétriques élémentaires, et par conséquent ~, est un isomorphisme dans les Puisque k a pu être choisi arbitrairement, il s’ ensuit que ~, est degrés isomorphisme en isomorphisme. un On observera quo 2 , si, dans la démonstration il n’est pas nécessaire de supposer que DÉFINITIONS de K nit comme est et NOTATIONS. - Si 2 , l’algèbre de suit les éléments x est de précédente, le degré de degré pair Hopf K x ou sera est de soit si la caractéristique pair. caractéristique notée B(x) . On défi- B’(x) : l’algèbre de Hopf B(x) , les éléments ... ) forment une base du K-module P(B(x)) PROPOSITION 9. - Dans ( k=1, ... , n , des éléments primitifs. DÉMONSTRATION. - Montrons d’abord que les éléments évident pour k = 1 ; supposons-le vrai pour k n . sont D’après primitifs. C’est la relation (l)~ on a : Ceci est égal à : Ainsi p n ~x~ primitif, . est par récurrence n . sur Considérons maintenant l’ application naturelle : On a 6(p.(x))=x~ =0 pour k > 1 ~ et par suite = x, Ceci récurrence, on trouve que 0(p-~(x))== exprime que le sous-espace de P(B(x)) engendré par les éléments p~(x) ~ p~(x) ~ s’applique isomorphiquement sur I(L[x]) ; d’après la proposition 6, c’est le sousespace de tous les éléments de P(B(x))y ce qui prouve la présente proposition. k > 1 . Par pour conséquente Supposons que le degré de y morphisme d’algèbres de Hopf PROPOSITION 10. -’ il existe Alors, par un soit r fois le B(y) f : degré de x. tel que : . pour SS. la caractéristique DÉMONSTRATION. - f’(y) tel que = de Il y xr j. K est le morphisme est f unique. unique morphisme d’algèbres : a un cette zéro, application f : induit B ~~r ~ ~ B(x) , et on a un diagramme commutatif : f On a f possède et zéro$ = la = propriété désirée. p.(y) = et par suite l’application Les formules récurrentes donnant les éléments montrent alors l’unicité de f si la caractéristique de ... K est degré de y est r fois le degré de x , on peut considérer que B(y) est une sous-algèbre de Hopf de B(x) , grâce à la proposition précédente. On peut donc considérer l’algèbre de Hopf quotient B (x~%/~B (y ) , Le fait que c’est bien une algèbre de Hopf résulte de .la proposition 6 de l’exposé 4. CONVENTION. -’ Si le PROPOSITION 11. - Soient de x degré n 9 1° Q(B(x)/ B(y) q 0 = 2° Si r est degré de y q ~ 0 Si r e st 4° Si p est premier et entiers > 0 , unité de K , r n étant pair 9 soient mod n ; . = 0 si 3° une des K 9 l’image de libre de base r rn ; alors : si unité de une et n q = kn , B(x)//B(y) la = avec si k~0 q ~ 0 mod rn , et est mod r ; e st commutative-libre comme algèbre ; caractéristique de K étant quel que soit k > 0 , l’image l’application naturelle B (x) ~ B (x~/%B (y ) e st 1 ’ idé al engendré par e st libre de base p ~ et le noyau de i les éléments . Yk(x)P DEMONSTRATION. - On observe d’abord que les peuvent être obtenues à tensorisant (surZ ) Q(A ® Z K) Q(A) ® Z K par K. En .On a = De des partir algèbres B (x ) ~ B(y) caractéristique alors Les assertions 1°, 2°, K de et algèbres correspondantes sur l’anneau Z 9 outre, si A est une Z-algèbre, on a une est zéro, ceci décomposables : implique que : première moitié de 4° résultent de là aussitôt. En l’exposé 4, l’assertion 2° implique 3°. Il reste donc et la utilisant le théorème 4 de 1 à prouver la seconde partie de 4°. Sous les hypothèses faites, y i Supposons que, pour i en suite exacte : de sorte que l’on a, modulo les éléments plus et si la k > 0 . pour tous les j ~ y. 1 ~y) ~ ’y r ~x~p ; alors : = P Par suite y.(y) - y L(x) 0 est pour j est > 1, et primitif; y.J (y) on a = yr de cet élément dans puisque l’image (x)p ’ prouve la qui ce première moi- tié de l’assertion 4. PROPOSITION 12. - Soient de x 1° degré n ~ L’algèbre de et y de et n degré rn. r est Hopf tel que 2° L’algèbre de Hopf n isomorphe f : à l’algèbre de B(x) ~ B(y) f (y (x) ) Yk(y) , = B(x)BBB(y) étant pair ; soient Alors : cette dernière étant définie par l’ épimorphisme f : > 0 , des entiers pour est commutative-libre comme Hopf induit par i ~0 mod r ; algèbre ; 3° La suite : est exacte. DÉMONSTRATION. De plus le dual du En vertu du théorème 1, on a B(x) = B(x)* et B(y) = diagramme à condition d’identifier L[y]* et M[y] , L[x]* et M[x] . Ceci prouve l’asser- tion 1. On a la suite exacte : et, par suite, si on montre que L est un monomorphisme, la proposition démontrée grâce à la proposition 1 de l’exposé 4. sera 10-11 Soit w-1 , w. autres valeurs de j , =Y-(x) w,. mod =0 (j > 0) . Définissons w. r pour les posant : en r pour j , L’application composée : envoie en w. librem nt engendrée, com e algèbre com uta ive, par que j ~ 0 tels j 1 ~ wj . mod Donc r . sa degré kn ; q~ si 0 composante Alors w = w Yy"~ . 6 B(x)BBB(y) , est degré q soit par la condition que degré 0 si l’unique élément ayant q~ Hopf est de définissons si q ~ 0 et est mod de y algèbre les éléments wj relatifs H == composante dans définissons et cette aux proposition. Ceci prouve la l’algèbre B(x) REMARQUE. - Considérons tion que w. 0 cette sa et est de composante définissons mod n ~ et soit propriété, par la condi- Y y est w~ une degré w Y].~ q tel que est sa degré kn unité, et en . 0