Séries de Fourier

Séries de Fourier
1. Compléments sur les fonctions définies par morceaux......................................................p.1
Définition de la continuité par morceaux pour une fonction définie sur un intervalle fermé borné.
ℝ
_espace vectoriel
Cm ( [ a;b ] ;ℝ )
, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné.
Définition des fonctions de classe
C1
par morceaux sur un intervalle fermé borné.
Définition des fonctions T_périodiques. Cas des fonctions paires ou impaires.
Caractérisation des fonctions T_périodiques continues par morceaux ou de classe
C1
par morceaux sur
ℝ
.
Intégrale sur une période d'une fonction fonction T_périodique continue par morceaux sur
ℝ
.
2. Coefficients et séries de Fourier..................................................................................................p.7
Définition des coefficients de Fourier trigonométriques d'une fonction T_périodique continue par morceaux sur .
Cas des fonctions paires ou impaires. Cas des fonctions
f
telles que
∀x∈ℝ
,
f
(
x+T
2
)
=− f ( x )
.
Sommes partielles de Fourier d'une fonction T_périodique continue par morceaux sur
ℝ
.
3. Théorèmes de convergence...........................................................................................................p.14
Conséquence de la convergence en moyenne quadratique : théorème de Parseval.
Convergence ponctuelle : théorème de Dirichlet.
Cas d'une fonction continue et de classe
C1
par morceaux sur
ℝ
.
∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿
1. Co mpléments sur les fonctions définies par morceaux
Définition des fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle fermé et borné
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle fermé borné
[ a;b ]
et à valeurs dans
ℝ
.
f
est continue par morceaux sur l'intervalle
[ a;b ]
si et seulement s'il existe
n+1
réels
(
ak
)
k∈ ⟦ 0 ;n ⟧
tels que
1)
a=a0<a1< …< an−1<an=b
(subdivision finie de l’intervalle
[ a;b ]
)
2) pour tout entier
k∈ ⟦ 1; n ⟧
la fonction
f
est continue sur l'intervalle ouvert
]
ak−1;ak
[
3) pour tout entier
k∈ ⟦ 1; n ⟧
la restriction de la fonction
f
à l'intervalle ouvert
]
ak−1;ak
[
, notée
f
] ak−1;ak [
, est
prolongeable par continuité à l'intervalle fermé
[
ak−1;ak
]
Exemples et contre-exemples :
Rappel : pour
t∈ℝ
, la partie entière de
t
notée
⌊ t ⌋
est définie par :
{
⌊ t ⌋ ∈ℤ
⌊ t ⌋ ⩽t< ⌊ t ⌋ +1
⇔
{
⌊ t ⌋ ∈ℤ
t−1< ⌊ t ⌋ ⩽t
t→ ⌊ t ⌋ × ⌊ −t ⌋
est continue par morceaux sur
[ −1;2 ]
t→
{
t
⌊
1
t
⌋
sit≠0
1 si t=0
n'est pas continue par morceaux sur
[ −1;2 ]
car...
Séries de Fourier 1/17 pycreach.free.fr - TSI2

t→1
⌊
t
⌋
−t+1
n'est pas continue par morceaux sur
[ −1;2 ]
car...
t→sin
(
1
⌊
t
⌋
−t+1
)
n'est pas continue par morceaux sur
[ −1;2 ]
car...
On note
Cm ( I;ℝ )
l'ensemble des fonctions définies sur l'intervalle I fermé borné continues par morceaux et à valeurs
dans
ℝ
.
Une fonction continue sur un intervalle est aussi continue par morceaux sur cet intervalle :
C0 ( I ; ℝ ) ⊂Cm ( I ;ℝ )
Opération sur les fonctions continues par morceaux
Soient
f
et
g
deux fonctions définies sur un intervalle I, à valeurs dans
ℝ
et continues par morceaux alors :
La fonction somme
f+g:x→f
(
x
)
+g
(
x
)
est continue par morceaux sur I.
Pour
λ∈ℝ
, la fonction
λf:x→λf
(
x
)
est continue par morceaux sur I.
La fonction produit
f×g:x→f
(
x
)
×g
(
x
)
est continue par morceaux.
Remarque : les deux premières propriétés assurent que :
Cm ( I,ℝ )
est un
ℝ
espace vectoriel
Le quotient ou la fonction composée de deux fonctions continues par morceaux n'est pas nécessairement continue par
morceaux.
Exemple : la fonction
f:t→ ⌊ t ⌋ −t+1
est continue par morceaux sur
ℝ
et à valeurs dans
] 0;1 ]
la fonction
g:x→1
x
est continue par morceaux sur l'intervalle
] 0;1 ]
la fonction
g∘f:t→1
⌊
t
⌋
−t+1
n'est pas continue par morceaux sur
ℝ
.
Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné
Soient
f
une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné
[ a;b ]
, à valeurs dans
ℝ
et
n+1
réels
(
ak
)
k∈ ⟦ 0 ;n ⟧
tels que :
1)
a=a0<a1<…<an−1<an=b
(subdivision finie de l’intervalle
[ a;b ]
)
2) pour tout entier
k∈ ⟦ 1; n ⟧
la fonction
f
est continue sur l'intervalle ouvert
]
ak−1;ak
[
3) pour tout entier
k∈ ⟦ 1; n ⟧
la restriction de la fonction
f
à l'intervalle ouvert
]
ak−1;ak
[
, notée
f
] ak−1;ak [
, est
prolongeable par continuité à l'intervalle fermé
[
ak−1;ak
]
∫a
bf
(
t
)
dt=∫a0
a1f
(
t
)
dt+ …+∫an−1
anf
(
t
)
dt=∑
k=0
n−1∫ak
ak+1f
(
t
)
dt
Si
f∈C0
( [
a;b
]
,ℂ
)
et
∫a
b
∣
f
(
t
) ∣
dt=0
alors
∀t∈ [ a;b ]
,
f ( t ) =0
En revanche
f∈Cm
( [
a;b
]
;ℂ
)
et
∫a
b
∣
f
(
t
) ∣
dt=0
n'implique pas que
f
soit nulle sur
[ a;b ]
.
Exemple : pour
f:x→ ⌊ x ⌋ + ⌊ −x ⌋ +1
...
Le théorème fondamental de l'analyse n'est pas valide pour les fonctions continues par morceaux.
Exemple : soit
f
définie sur
[ −1;1 ]
par
{
f ( x ) =1 si x⩾0
f ( x ) =−1 si x<0
. Alors pour
x∈ [ −1; 1 ]
,
{
∫0
xf
(
t
)
dt=x si x⩾0
∫0
xf
( t ) dt=−x si x<0
Séries de Fourier 2/17 pycreach.free.fr - TSI2

Donc
∀x∈ [ −1; 1 ]
,
∫0
xf
(
t
)
dt=
∣
x
∣
et
x→
∣
x
∣
n'est pas dérivable en 0.
Propriétés des intégrales de fonctions continues par morceaux
Soient
f∈Cm ( [ a;b ] ;ℝ )
et
g∈Cm ( [ a;b ] ;ℝ )
:
Additivité :
∫a
bf
(
t
)
+g
(
t
)
dt=∫a
bf
(
t
)
dt+∫a
bg
(
t
)
dt
Homogénéité :
∀λ∈ℂ
,
∫a
bλf
(
t
)
dt=λ∫a
bf
(
t
)
dt
Croissance de l'intégrale :
si ∀t∈
[
a;b
]
,f
(
t
)
⩾g
(
t
)
alors ∫a
bf
(
t
)
dt⩾∫a
bg
(
t
)
dt
Inégalité triangulaire,
∣ ∫a
bf
(
t
)
dt
∣
⩽∫a
b
∣
f
(
t
) ∣
dt
Remarques : les deux premières propriétés assurent la linéarité de l'application
Cm
( [
a;b
]
;ℂ
)
→ ℝ
f→∫a
bf
(
t
)
dt
Conséquences de l'inégalité triangulaire
Soient
f∈Cm ( [ a;b ] ;ℝ )
et
g∈Cm ( [ a;b ] ;ℝ )
:
∣ ∫a
bf
(
t
)
dt
∣
⩽
(
b−a
)
sup
t∈
[
a;b
]
∣
f
(
t
) ∣
∣ ∫a
bf
(
t
)
×g
(
t
)
dt
∣
⩽sup
t∈
[
a;b
]
∣
f
(
t
) ∣
×∫a
b
∣
g
(
t
) ∣
dt
Démonstration : en vertu de l'inégalité de la moyenne,
∣ ∫a
bf
(
t
)
×g
(
t
)
dt
∣
⩽…
Or
∀t∈ [ a;b ]
,
∣ f ( t ) ∣ ⩽sup
t∈ [ a;b ]
∣ f ( t ) ∣
donc...
Ainsi en vertu de la croissance de l'intégrale pour les fonctions à valeurs réelles, …
□
Définition des fonctions de classe
C1
par morceaux sur un intervalle fermé borné
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
[ a;b ]
et à valeurs dans
ℝ
.
f
est de classe
C1
par morceaux sur l'intervalle
[ a;b ]
si et seulement s'il existe
n+1
réels
(
ak
)
k∈ ⟦ 0 ;n ⟧
tels que
1)
a=a0<a1< …< an−1<an=b
(subdivision de l'intervalle
[ a;b ]
)
2) pour tout entier
k∈ ⟦ 1; n ⟧
la fonction
f
est de classe
C1
sur l'intervalle ouvert
]
ak−1;ak
[
3) pour tout entier
k∈ ⟦ 1; n ⟧
la restriction de la fonction
f
à l'intervalle ouvert
]
ak−1;ak
[
, notée
f
] ak−1;ak [
, est
prolongeable en une fonction de classe
C1
sur l'intervalle fermé
[
ak−1;ak
]
Remarque : Toue fonction polynomiale par morceaux sur un intervalle fermé borné
[ a;b ]
est de classe
C1
par morceaux
sur l'intervalle
[ a;b ]
.
Exemple : la fonction
t→
∣
t
∣
est de classe
C1
par
morceaux sur l'intervalle
[ −1;1 ]
Contre-exemple : la fonction
t→
√
∣ t ∣
n'est pas de classe
C1
par morceaux sur l'intervalle
[ −1;1 ]
:
Séries de Fourier 3/17 pycreach.free.fr - TSI2

t→
{
tsin
(
1
t
)
si t≠0
0 si t=0
n'est pas de classe
C1
par
morceaux sur
[
−1
2;1 2
]
.
t→
{
t
∣
1
t−
[
1
t
]
−1
2
∣
si t≠0
0 si t=0
n'est pas de classe
C1
par
morceaux sur
[ −1;1 ]
.
Rappel : Le théorème de la limite de la dérivée (corollaire du théorème des accroissements finis) permet parfois de
prolonger une fonction dérivée jusqu'au bord d'un intervalle ouvert :
Soit une fonction
f
continue sur
[ a;b ]
et dérivable sur
] a;b ]
.
f 'd
(
a
)
≠lim
x→a
x>a
f '
(
x
)
en général. Cependant, si
lim
x→a
x>a
f '
(
x
)
existe (finie,
+∞
, ou
−∞
) alors
f 'd
(
a
)
=lim
x→a
x>a
f '
(
x
)
.
Le cas des raccords de fonctions dérivées est plus délicat :
f
dérivable sur
[ a;b ]
et sur
[ b;c ]
n'implique pas en général que
f
soit dérivable sur
[ a;c ]
Mais si de plus
f ' d ( b ) =f ' g ( b )
alors
f
est dérivable en
b
et
f ' ( b ) =f 'd ( b ) =f 'g ( b )
Opération sur les fonctions de classe
C1
par morceaux
Soient
f
et
g
deux fonctions de classe
C1
sur un intervalle
[ a;b ]
, à valeurs dans
ℝ
.
La fonction somme
f+g:x→f
(
x
)
+g
(
x
)
est de classe
C1
par morceaux sur
[ a;b ]
.
Pour
λ∈ℝ
, la fonction
λf:x→λf
(
x
)
est de classe
C1
par morceaux sur
[ a;b ]
.
La fonction produit
f×g:x→f
(
x
)
×g
(
x
)
de classe
C1
par morceaux sur
[ a;b ]
.
Démonstration : cf opérations sur les fonctions de classe
C1
sur les subdivisions
[
ai;ai+1
]
. □
Remarque : les deux premières propriétés assurent que l'ensemble de fonctions de classe
C1
sur
[ a;b ]
est un
ℝ
espace
vectoriel.
Définition des fonctions T_périodiques
Soient T un réel strictement positif et
f
une fonction définie sur
ℝ
et à valeurs dans
ℝ
.
La fonction
f
est T-périodique si et seulement si
∀x∈ℝ , f ( x+T ) =f ( x )
Remarque : si
f
est T-périodique alors
∀k∈ℤ
,
∀x∈ℝ
,
f ( x+k×T ) =f ( x )
.
Exemple :
x→1
⌊
x
⌋
−x+1
est une fonction 1_périodique car...
Si
f
est T-périodique alors
f
est totalement
déterminée par sa restriction à un intervalle du type
[ a;a+T [
ou
] a;a+T ]
. En effet soit
a∈ℝ
,
T>0
et une
fonction
g; [ a;a+T [ →ℝ
. Si
f
est T_périodique et
∀x∈ [ a;a+T [
,
f ( x ) =g ( x )
alors pour
x∈ [ a+kT ; a+ ( k+1 ) T [
avec
k∈ℤ
,
f ( x ) =f ( x−kT ) =g ( x−kT )
car
x−kT ∈ [ a;a+T [
.
Exemple : Soit
f
la fonction 1 périodique telle que
∀x∈ [ 0; 1 [
,
f ( x ) =
√
x
alors pour
x∈ [ 10;11 [
,
f ( x ) =…
pour
x∈ [ −11;−10 [
,
f ( x ) =…
Séries de Fourier 4/17 pycreach.free.fr - TSI2

Remarque : pour
a<b
, si
f
est
b−a
_périodique et
∀x∈ [ a;b [
,
f ( x ) =g ( x )
alors :
∀x∈ℝ
,
f ( x ) =g
(
x− ( b−a )
⌊
x−a
b−a
⌋ )
Exemples de code Python permettant de représenter graphiquement la fonction 3_périodique
f
telle que :
∀x∈ [ −1; 2 [
,
f ( x ) =2x+4
:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
def f(x):
if -1<=x<2:
return 2*x+4
if x>=2 :
return f(x-3)
if x<-1 :
return f(x+3)
X=[-10+k/100 for k in range(0,2000)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
plt.show()
Pour une représentation graphique sans les segments
verticaux :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
def f(x):
return 2*x+4
X=[-1+k/100 for k in range(300)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
for k in range(-3,3):
plt.plot(X+3*k*np.ones(len(X)),Y)
plt.show()
Si
f
est une fonction T_périodique paire ou impaire alors
f
est entièrement déterminée par sa restriction à
l'intervalle du type
[
0; T
2
]
.
Exemple : soit
f
la fonction impaire 4_périodique définie par :
f ( 0 ) =f ( 2 ) =0
et si
x∈ ] 0; 2 [
alors
f ( x ) =2x+4
.
Séries de Fourier 5/17 pycreach.free.fr - TSI2