(x+y) × z

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Les nombres hypercomplexes
dans un espace de dimension trois
Article écrit par : Assoul Abdelkarim
Professeur des mathématiques dans l’enseignement secondaire
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23000 Annaba-Algérie

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Résumé :
Tout point de la droite réelle est l’image d’un nombre réel, tout point du plan
R2 est l’image d’un nombre complexe.
Est-ce que tout point de l’espace R3 est l’image d’un nombre, si ce nombre
existe est ce qu’il est unique, quel est sa forme et ses propriétés.
Dans cet article, on va construire une algèbre dans le corps commutative R et
on va démontrer que cette algèbre est isomorphe à R pour aboutir en fin à
l’existence et l’unicité de ce nombre, sa forme et ses propriétés.
Une suite de ce travail sera une élaboration de cette théorie afin qu’elle soit
utile en mathématiques appliquées, physiques théorique, physique
quantique et spécialement utiliser ce nombre hypercomplexe pour calculer
l’amplitude et remplacer le bit par le qubit afin d’avoir un ordinateur
quantique qui a plus de capacité, plus rapide et plus puissant.

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Historique :
Les quaternions (les nombres hypercomplexes dans un espace de dimension
quatre) furent inventés par l’Irlandais William Rovan Hamilton en 1843.
Hamilton cherchait des manières d’étendre les nombres complexes (qui
peuvent être assimilés à des points d’un plan) à des dimensions plus élevées
de l’espace euclidien Rn.
Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois, mais la dimension quatre
produisit les quaternions(1).
(1)www.fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexe

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Introduction :
Kantor et Solodovnikov définissent un nombre hypercomplexe comme
élément d’une algèbre réelle unitaire (non nécessairement associative).
Notre travail s’intéresse spécialement par les nombres hypercomplexes dans
un espace de dimension trois, alors on va définir une algèbre (A, +, . , ×) sur
un corps commutative K, muni d’une opération (×) binaire (c’est-à- dire que le
produit de deux éléments de A est un élément de A) qui est bilinéaire c’est-à-
dire :
Pour tous éléments x, y, z de A et tous éléments α, β de K :
1) (x+y) × z = (x × z) + (y × z)
2) x × (y+z) = (x × y) + (x × z)
3) (α.x) × (β.y) = (α. β) (x × y)
Définition : L’ensemble noté Ŝ des nombres hypercomplexes de dimension
trois est une algèbre non associative et non unifère sur le corps des nombres
réels R.
Tout élément de Ŝ s’écrit de manière unique sous la forme :
s = x + yi + zj ou x, y, z des nombres réels et i, j des nombres imaginaires purs
tel que : i2 = j2 = -1 et i j = j i =0
-En effet, on défini dans Ŝ une opération binaire × (c’est-à-dire que le produit
de deux éléments de Ŝ est un élément de Ŝ) qui est bilinéaire c’est-à-dire que
pour tous éléments s1, s2 et s3 de Ŝ et tous scalaires α, β de R, on a :
1) (s1 + s2) × s3 = (s1 × s3) + (s2 × s3)
2) s1 × (s2 + s3) = (s1 × s2) + (s1 × s3)
3) (α.s1) × (β.s2) = (α. β) (s1 × s2)
De façon que (Ŝ, +, . , ×) soit une R-algèbre

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1. Construction de l’ensemble Ŝ.
1.1 On muni Ŝ de l’addition et de la loi externe (.) définie successivement par :
(+) : Ŝ × Ŝ  Ŝ
((x, y, z), (x`, y`, z`))  (x+x`, y+y`, z+z`)
( . ) : R × Ŝ  Ŝ
α. (x, y, z) = (α.x, α.y, α.z)
(Ŝ, +, . ) est un espace vectoriel sur R.
Démonstration :
1) (Ŝ, +) est un groupe commutatif car :
a) + est commutative:  s1, s2 Є Ŝ, s1 + s2 = s2 + s1
b) + est associative:  s1, s2 et s3 de Ŝ, (s1 + s2) + s3 = s1 + ( s2 + s3)
c) + admet un élément neutre e = (0, 0,0)
 s Є Ŝ, Ǝ e Є Ŝ / s+e = e+s = s
d) Tout élément (x, y, z) de (Ŝ, +) admet un opposé (-x, -y, -z)
 s Є Ŝ, Ǝ s` Є Ŝ / s+ s` = s` +s = e
2) la loi externe (.) vérifie pour tous α, β de R et tous éléments s, s` de Ŝ :
a) α. (s + s`) = (α. s) + (α. s`), distribution de (.) par rapport à l’addition à
gauche dans Ŝ.
b) (α + β). s = (α. s) + (β. s), distribution de (.) par rapport à l’addition à droite
dans R.
c) (α.β).s= α.(β. s), associativité mixte par rapport à la multiplication dans R.
d) 1. s = s, 1 est l’élément neutre multiplicatif du corps R.