(x+y) × z

Les nombres hypercomplexes
dans un espace de dimension trois
Article écrit par : Assoul Abdelkarim
Professeur des mathématiques dans l’enseignement secondaire
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23000 Annaba-Algérie
1
Résumé :
Tout point de la droite réelle est l’image d’un nombre réel, tout point du plan
R2 est l’image d’un nombre complexe.
Est-ce que tout point de l’espace R3 est l’image d’un nombre, si ce nombre
existe est ce qu’il est unique, quel est sa forme et ses propriétés.
Dans cet article, on va construire une algèbre dans le corps commutative R et
on va démontrer que cette algèbre est isomorphe à R pour aboutir en fin à
l’existence et l’unicité de ce nombre, sa forme et ses propriétés.
Une suite de ce travail sera une élaboration de cette théorie afin qu’elle soit
utile en mathématiques appliquées, physiques théorique, physique
quantique et spécialement utiliser ce nombre hypercomplexe pour calculer
l’amplitude et remplacer le bit par le qubit afin d’avoir un ordinateur
quantique qui a plus de capacité, plus rapide et plus puissant.
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Historique :
Les quaternions (les nombres hypercomplexes dans un espace de dimension
quatre) furent inventés par l’Irlandais William Rovan Hamilton en 1843.
Hamilton cherchait des manières d’étendre les nombres complexes (qui
peuvent être assimilés à des points d’un plan) à des dimensions plus élevées
de l’espace euclidien Rn.
Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois, mais la dimension quatre
produisit les quaternions(1).
(1)www.fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexe
3
Introduction :
Kantor et Solodovnikov définissent un nombre hypercomplexe comme
élément d’une algèbre réelle unitaire (non nécessairement associative).
Notre travail s’intéresse spécialement par les nombres hypercomplexes dans
un espace de dimension trois, alors on va définir une algèbre (A, +, . , ×) sur
un corps commutative K, muni d’une opération (×) binaire (c’est-à- dire que le
produit de deux éléments de A est un élément de A) qui est bilinéaire c’est-àdire :
Pour tous éléments x, y, z de A et tous éléments α, β de K :
1) (x+y) × z = (x × z) + (y × z)
2) x × (y+z) = (x × y) + (x × z)
3) (α.x) × (β.y) = (α. β) (x × y)
Définition : L’ensemble noté Ŝ des nombres hypercomplexes de dimension
trois est une algèbre non associative et non unifère sur le corps des nombres
réels R.
Tout élément de Ŝ s’écrit de manière unique sous la forme :
s = x + yi + zj ou x, y, z des nombres réels et i, j des nombres imaginaires purs
tel que : i2 = j2 = -1 et i j = j i =0
-En effet, on défini dans Ŝ une opération binaire × (c’est-à-dire que le produit
de deux éléments de Ŝ est un élément de Ŝ) qui est bilinéaire c’est-à-dire que
pour tous éléments s1, s2 et s3 de Ŝ et tous scalaires α, β de R, on a :
1) (s1 + s2) × s3 = (s1 × s3) + (s2 × s3)
2) s1 × (s2 + s3) = (s1 × s2) + (s1 × s3)
3) (α.s1) × (β.s2) = (α. β) (s1 × s2)
De façon que (Ŝ, +, . , ×) soit une R-algèbre
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1. Construction de l’ensemble Ŝ.
1.1 On muni Ŝ de l’addition et de la loi externe (.) définie successivement par :
(+) : Ŝ × Ŝ → Ŝ
((x, y, z), (x`, y`, z`)) → (x+x`, y+y`, z+z`)
(.):R × Ŝ →Ŝ
α. (x, y, z) = (α.x, α.y, α.z)
(Ŝ, +, . ) est un espace vectoriel sur R.
Démonstration :
1) (Ŝ, +) est un groupe commutatif car :
a) + est commutative: ∀ s1, s2 Є Ŝ, s1 + s2 = s2 + s1
b) + est associative: ∀ s1, s2 et s3 de Ŝ, (s1 + s2) + s3 = s1 + ( s2 + s3)
c) + admet un élément neutre e = (0, 0,0)
∀ s Є Ŝ, Ǝ e Є Ŝ / s+e = e+s = s
d) Tout élément (x, y, z) de (Ŝ, +) admet un opposé (-x, -y, -z)
∀ s Є Ŝ, Ǝ s` Є Ŝ / s+ s` = s` +s = e
2) la loi externe (.) vérifie pour tous α, β de R et tous éléments s, s` de Ŝ :
a) α. (s + s`) = (α. s) + (α. s`), distribution de (.) par rapport à l’addition à
gauche dans Ŝ.
b) (α + β). s = (α. s) + (β. s), distribution de (.) par rapport à l’addition à droite
dans R.
c) (α.β).s= α.(β. s), associativité mixte par rapport à la multiplication dans R.
d) 1. s = s, 1 est l’élément neutre multiplicatif du corps R.
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1.2 On muni Ŝ de l’opération binaire × définie par :
×:Ŝ × Ŝ Є→Ŝ
((x, y, z), (x`, y`, z`)) → (x x`- y y`- z z`, x y` + x`y, x z` + x`z)
L’opération binaire × est binaire.
On effet pour tous éléments s1, s2 et s3 de Ŝ et tous scalaires α, β de R, on a :
a) (s1 + s2) × s3 = (s1 × s3) + (s2 × s3)
b) s1 × (s2 + s3) = (s1 × s2) + (s1 × s3)
c) (α.s1) × (β.s2) = (α.β) (s1 × s2)
De ce qui précède et par un simple calcul, on constate que (Ŝ, +, . , ×) est une
R-algèbre.
2. Immersion de R dans Ŝ.
Désignons par Ʈ = {(𝐱, 𝟎, 𝟎)ЄŜ |𝐱Є𝑹}
L’application f : R → Ʈ qui à tout x associe l’élément (x, 0, 0) est une bijection
de R dans Ʈ (évident)
. f est un isomorphisme pour l’addition car : pour tous x et x` de R, on a :
f (x) + f (x`) = (x,0,0) + (x`,0,0) = (x+ x`, 0,0) = f (x + x`)
. f est un isomorphisme pour la multiplication car: pour tous x et x` de R,
On a: f (x) × f (x`) = (x, 0, 0) × (x`, 0, 0) = (x × x`, 0, 0) = f (x × x`)
On immerge R dans Ŝ, en prenant R = Ʈ, alors on pose pour tout élément x
de R, (x, 0,0) = x.
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Or les points particuliers J (0, 1,0) et K (0, 0,1) sont les images des nombres
imaginaires pures i et j, on déduit :
i2 = i × i = (0, 1,0) × (0, 1,0) = (-1, 0,0) = -1
j2 = j × j = (0, 0,1) × (0, 0,1) = (-1, 0,0) = -1
i × j = (0, 1,0) × (0, 0,1) = (0, 0,0) = 0
Remarque : Une base de l’algèbre Ŝ sur le corps commutatif R est constituée
des éléments 1, i, j.
La table de multiplication est la suivante :
.
1
i
j
1
1
i
j
i
i
-1
0
j
j
0
-1
3. Propriétés :
Si s et s` deux éléments de Ŝ tel que : s = x +y i +z j et s` = x`+y`i +z`j, alors:
1)
2)
3)
4)
s = 0 <=> x = y = z = 0
s = s` <=> x = x` et y = y` et z = z`
s+ s` = (x+ x`) + (y+ y`) i + (z+ z`)
s × s` = (x x` - y y`- z z`) + (x y` + x`y) i +(x z` + x`z) j
Définition : si s Є Ŝ tel que : s = x +y i +z j, alors :
Re (s) = x est la partie réelle de s et
Im (s) = y i +z j est la partie imaginaire de s
Remarque: On peut considérer Im (s) = (𝒚𝒙) dans la base {𝒊, 𝒋}
7
5. Le conjugué d’un nombre hypercomplexe dans un espace de dimension
trois :
Définition : Soit s Є Ŝ tel que : s = x +y i +z j, alors le nombre :
͞ ͞
s = x - y i - z j s’appelle le conjugué de s.
Remarque : Si s Є Ŝ tel que : s = x +y i +z j et ͞s͞ = x - y i - z j son conjugué
alors :
1) s + ͞s͞ = 2x = 2 Re (s)
2) s - ͞s͞ = 2(y i +z j) = 2 Im (s)
3) s × ͞s͞ = x2 + y2 + z2
Propriétés du conjugué:
Si s, s` Є Ŝ tel que : s = x +y i +z j et s` = x`+y`i +z`j, alors:
1) s̿ = s
2) (͞s͞ +͞ s͞`͞)͞ = ͞s͞ + s͞`
3) (͞s͞ ×͞ ͞s͞`͞)͞ = ͞s͞ × s͞`
4) (͞s͞ n) = (͞s͞)n ,
n Є N-{𝟎}
5) (͞1͞/͞s͞)͞ = 1/ (͞ s͞) ,
s ‡0
6) (͞s͞/͞s͞`͞)͞ = ( ͞s͞ )/( s͞` ) ,
8
s`‡0
Démonstration:
1) s̿ = s, évident
2) (͞s͞ +͞ s͞`͞)͞ = (͞x͞+͞ ͞x͞`͞) ͞+͞ ͞(͞y͞+͞ ͞y͞`͞)͞i͞ ͞+͞ ͞(͞z͞+͞ ͞z͞`͞)j͞ =(x+ x`) - (y+ y`)i - (z+ z`)j
=(x - yi - zj) + (x` - y`i - z`j) = ͞s͞ + s͞
3) (͞s͞ ×͞ ͞s͞`͞)͞ = ͞(͞x͞x͞`͞-͞ ͞y͞ ͞y͞`͞-͞z͞ ͞z͞`͞)͞+͞(͞x͞y͞`͞+͞x͞`͞y͞)͞i͞+͞(͞x͞ ͞z͞`͞+͞x͞`͞z͞) ͞j͞
= (x x` - y y`- z z`) - (x y` + x`y) i - (x z` + x`z) j
s͞ × s͞` = (x -y i -z j) × (x`-y`i - z`j)
= (x x` - y y`- z z`) - x y`i -x z`j - x` y i - x` z j
= (x x` - y y`- z z`) - (x y` + x`y) i - (x z` + x`z) j
4) On peut facilement démontrer par récurrence que pour tout entier
(͞s͞ n) = (͞s͞)n
naturel n, on a :
5) pour s ‡0,
𝟏
𝒔
=
=
(͞1͞/͞s͞)͞ =
1/( ͞s͞ ) =
=
𝟏
=
𝐱 +𝐲 𝐢 +𝐳 𝐣 (𝐱 +𝐲 𝐢 +𝐳 𝐣)(𝐱−𝐲𝐢−𝐳𝐣)
(𝐱−𝐲𝐢−𝐳𝐣)
(𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝐳 𝟐 )
𝒙
𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳
𝒙
𝐱𝟐
+ 𝐲𝟐
+ 𝐳𝟐
𝟏
+
𝟐 -
𝒚
𝐱𝟐+ 𝐲𝟐 + 𝐳
𝒚
𝐱𝟐
+ 𝐲𝟐
+ 𝐳𝟐
𝟐 i-
𝐢+
(𝐱+𝐲𝐢+𝐳𝐣)
=
𝐱−𝐲 𝐢−𝐳 𝐣 (𝐱−𝐲 𝐢−𝐳 𝐣)(𝐱+𝐲𝐢+𝐳𝐣)
𝒙
𝐱𝟐
(𝐱−𝐲𝐢−𝐳𝐣)
=
+ 𝐲𝟐
+ 𝐳𝟐
+
𝒚
𝐱𝟐
+ 𝐲𝟐
+ 𝐳𝟐
I+
𝒛
𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐
𝒛
𝐱𝟐
=
+ 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐
𝐣
(𝐱+𝐲𝐢+𝐳𝐣)
(𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝐳 𝟐 )
𝒛
𝐱𝟐
j
+ 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐
j
4) (͞s͞/͞s͞`͞)͞ = (͞s͞ ͞×͞ ͞(͞1͞/͞ ͞s͞`͞)͞)͞ =( ͞s͞ ) × (͞1͞/͞ ͞s͞`͞)͞ = ( ͞s͞ ) × (1/( s͞` ) ) =( ͞s͞ )/( s͞` )
9
6. Le module d’un nombre hypercomplexe dans un espace de dimension trois:
Définition: Si s Є Ŝ tel que s = x +y i +z j, alors :
│s│=√𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝐳 𝟐
s’appelle le module de s
Remarque :
1) │s│= √𝒔𝐬͞
2) Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) de l’espace, si M(x, y, z) est l’image
du nombre s = x +y i +z j, alors : │s│= OM
Propriétés :
Pour tous nombres s et s` de Ŝ tel que s = x +y i +z j et s` = x`+y`i +z`j, on a:
1) │s│= 0 ⇔ s = 0
2) │s│≥ 0
3) │s × s` │ = │s│×│ s` │
4) │sn│ = │s│n, n Є N-{𝟎}
𝟏
𝟏
𝒔
│𝐬│
𝒔
│𝐬│
𝐬`
│ 𝐬` │
5) │ │=
6) │ │=
10
,
s ‡0
, s`‡0
Démonstration:
Pour éviter trop de calcul, on peut procéder comme suit :
1) et 2) évident
3) │s × s` │= √(𝒔𝐬`) ͞(͞𝐬͞ ͞𝐬͞`͞)͞ =√𝐬 𝐬`𝐬͞ 𝐬͞` = √𝐬 𝐬͞ √𝐬` 𝐬͞` = │s│×│ s` │
𝐧
4) │sn│=√(𝐬𝐧 )(𝐬͞𝐧͞ ) √𝐬𝐧 (͞𝐬͞)𝐧 =(√𝐬 𝐬͞ ) = │s│n, n Є N-{𝟎}
𝟏
𝟏 𝟏
𝒔
𝐬͞
5) │ │= √ 𝒔
=
𝟏
√𝐬 𝐬͞
=
𝟏
│𝐬│
, s ‡0
𝒔
𝟏
𝟏
𝟏
𝐬`
𝐬`
𝐬`
│ 𝐬` │
6) │ │= │s × │=│s│×│ │ = │s│×
=
│𝐬│
│ 𝐬` │
, s`‡0
Remarque : Soit M(x, y, z) l’image du nombre s = x +y i +z j dans un repère
orthonormé (O, I, J, K) de l’espace.
Les coordonnées cylindriques en mathématiques sont de la forme :
{
𝒙 = 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒚 = 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒛 = 𝝆 𝐜𝐨𝐬 𝝋
Avec 𝝆 =│s│=√𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝐳 𝟐
, 𝜽 = (→ ,→ ) ) , 𝝋 = (→ ,→ ) et N(x, y, 0)
𝑶𝑰 𝑶𝑵
𝑶𝑲 𝑶𝑴
d’où on conclu :
s = x +y i +z j = 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽 +𝐢 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝐣 𝝆 𝐜𝐨𝐬 𝝋
s = 𝝆 (𝐣 𝐜𝐨𝐬 𝝋 + e𝜽i 𝐬𝐢𝐧 𝝋 ) = 𝝆 ( eπ/2 j 𝐜𝐨𝐬 𝝋 + e𝜽i 𝐬𝐢𝐧 𝝋 )
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7. Les racines carrées d’un nombre hypercomplexe dans un espace de
dimension trois :
Définition : Soit s Є Ŝ tel que s = x + y i + z j, on appelle la racine carrée du
nombre s, le nombre δ = a + bi + cj tel que s = δ2
Méthode pour trouver les racines carrées d’un nombre hypercomplexe dans
un espace de dimension trois :
Si s Є Ŝ tel que s = x + y i + z j est un nombre donné et δ = a + bi + cj, sa racine
carrée, alors :
𝐚𝟐 − 𝐛𝟐 − 𝐜 𝟐 = 𝐱
𝐲
𝐛
=
2
s = δ => {
𝟐𝐚
𝐳
𝐜=
𝟐𝐚
On remplace la deuxième et la troisième équation dans la première
équation, on trouve : a4 – x a2 – (
𝐲𝟐 + 𝐳𝟐
𝟒
)=0
Δ = x2+y2+z2 >0, on a une solution positive :
𝟏
a2 = (x+√𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝐳 𝟐 )
𝟐
Alors: a = √
Pour a=√
𝒙+√𝚫
𝟐
𝒙+√𝚫
𝟐
ou a =−√
𝒙+√𝚫
𝟐
, on trouve b =
𝒚
√𝟐𝒙+𝟐√𝚫
𝒙+√𝚫
Pour a=−√
, on trouve b =
𝟐
et c =
−𝒚
√𝟐𝒙+𝟐√𝚫
𝒙+√𝚫
𝟐
δ2 = − δ1
12
+
𝒚
√𝟐𝒙+𝟐√𝚫
i+
𝒛
√𝟐𝒙+𝟐√𝚫
j
√𝟐𝒙+𝟐√𝚫
et c =
Alors on a deux racines carrées opposés ;
δ1 = √
𝒛
−𝒛
√𝟐𝒙+𝟐√𝚫
Bibliographie :
1. www.fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexe
2. (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia
en anglais intitulé « Hypercomplex number »(voir la liste des auteurs).
3. A.DONEDDU , Cours De Mathématiques,Tome 1 Structures Fondamentales,LIBRAIRIE
VUIBERT PARIS 1984
4. (en) I. L. Kantor et A. S. Solodovnikov, Hypercomplex Numbers : An Elementary
Introduction to Algebras, c. 1989, New York: Springer-Verlag, traduit en anglais par A.
Shenitzer (original en russe).
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