physique année scolaire 2014/2015 Fluides visqueux Notes de cours mardi 18 novembre 2014 I- Généralités sur les uides visqueux 1. Forces surfaciques dans un uide Constatations expérimentales de la viscosité s'y retrouver Contrainte normale et contrainte tangentielle en un point : s'y retrouver si l'on jette de l'eau sur une table, celle-ci glisse puis s'arrête. Ainsi, il existe des forces tangentielles (dites forces de viscosité ou de cisaillement) exercées par les couches de uides les unes sur les autres. De même, si l'on réitère l'expérience avec de l'huile, ou mieux encore avec du miel, la distance parcourue par le uide sur la table est plus courte : ces forces de viscosité dépendent de la nature du uide. Plus généralement, toutes les expériences montrent que : • la vitesse d'écoulement d'un uide est une fonction continue du temps mais aussi de l'espace, • la vitesse relative du uide au contact d'un solide est toujours nulle, ce qui n'était pas vrai dans le cas du uide parfait. Il nous faut donc prendre en compte la viscosité du uide pour s'approcher du comportement réel d'un uide. soit un élément de surface d2 S sur une surface S et entourant un point M de S . Le système des forces de −−→ −−→ surface agissant sur d2 S est réductible à une force unique d2 F appliquée en M et à un moment d2 M 0 . −− → − − → On admet que d2 F est inniment petit du premier ordre par rapport à d2 S et d2 M 0 inniment petit −−→ 2 d'ordre supérieur. Lorsque d2 S tend vers zéro, le vecteur dd2F τ qu'on appelle S tend vers un vecteur ~ contrainte en M sur l'élément d2 S . On peut donc écrire, pour d2 S inniment petit : −− → d2 F = ~τ .d2 S −−→ Le vecteur ~τ peut avoir une orientation quelconque par rapport à d2 S . −−→ On peut décomposer la contrainte en une composante normale et une composante tangentielle à d2 S : −− → −−→ −−→ d2 F = d2 F ⊥ + d2 F // la contrainte tangentielle vient de la viscosité du uide, due principalement à l'interaction entre les molécules du uide, qui frottent les unes sur les autres. spé PC page n◦ 1 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Pression la contrainte normale dénit le champ de pression P dans le uide, tel que : dénition −− → −−→ d2 F ⊥ = −P.d2 S (le signe moins traduit que la contrainte normale est dirigée vers l'intérieur par le reste du uide). −−→ La pression est un scalaire, indépendant de l'orientation de d2 S . Les unités de pression sont : • le pascal 1P a = 1N.m−2 (unité du système international), • le bar : 1bar = 105 P a, • l'atmosphère : 1atm = 1, 013.105 P a, • le torr (ou millimètre de mercure), tel que : 760mmHg = 760torr = 1atm = 1, 013.105 P a . 2. Introduction de la viscosité Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimensionnel schéma La gure ?? représente un écoulement unidimensionnel ~v = vx (y). La veine lente (pour y < y0 ) est séparée de la veine rapide (pour y > y0 ) à la cote y0 . Figure 1 Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimensionnel spé PC page n◦ 2 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Expression des forces de viscosité pour un écoulement unidimensionnel dé- nition on peut écrire que la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui la sépare de la veine rapide (pour y > y0 ) est Fx = −η.S ∂vx ∂y où η est par dénition, le coecient de viscosité dynamique du uide. Interprétation s'y retrouver Fluide newtonien s'y retrouver la force de viscosité tend à accélérer les veines lentes et à ralentir les veines rapides. On parle aussi de force de cisaillement. Elles tendent à homogénéiser la vitesse. NB : les forces de viscosité sont donc nulles pour un uide au repos. La viscosité ne joue donc aucun rôle dans l'état d'équilibre d'un uide, contrairement à la pression. on se restreindra aux uides newtoniens, pour lesquels la viscosité ne dépend pas du champ des vitesses (seulement de la nature du uide et de sa température). Viscosités dynamique et cinématique dénition la viscosité dite dynamique se note η . Elle est positive et s'exprime dans le système international en poiseuille 1P l = 1P a.s Le coecient de viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volumique : ν= η s'exprime en m2 .s−1 µ ν a la dimension d'un coecient de diusion... Exemples de valeurs de viscosités tableau Le tableau ?? présente quelques exemples de valeurs de viscosités dynamiques pour quelques uides courants. uide η en Pl ν en m · s 2 −1 air eau −6 18 × 10 15 × 10−6 −3 1, 0 × 10 1, 0 × 10−6 glycérine graisse 0, 870 635 × 10−6 103 1 Table 1 Quelques viscosités dynamiques η et cinématiques ν à 20◦ C et P = 1atm La viscosité dépend de la température tableau Le tableau ?? présente la variation de la viscosité avec la température. température huile de ricin huile d'olive 10◦ C 2420 138 20◦ C 986 84 30◦ C 451 52 40◦ C 231 36 50◦ C 125 24, 5 60◦ C 74 17 70◦ C 43 12, 4 Table 2 Quelques viscosités dynamiques η (en mP l) en fonction de la température spé PC page n◦ 3 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel schéma La gure ?? représente le système, un parallélépipède rectangle d'épaisseur dy suivant Oy et de surface S pour les plans de cote y0 et y0 + dy . Les forces de cisaillement s'exercent sur : • le plan de cote y0 : F~ (y0 ) = −η.S ∂vx∂y(y0 ) ~ux • et sur le plan de cote y0 + dy : F~ (y0 + dy) = +η.S ∂vx (y∂y0 +dy) ~ux Figure 2 Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel 1 Force de cisaillement théorème Pour un écoulement unidimensionnel, ~v = vx ~ux , la force de cisaillement exercée sur un volume élémentaire d3 τ = S.dy est F~cis = η.S.dy∆vx ~ux 3. Etude cinématique des écoulement visqueux Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre un solide et un uide parfait schéma La gure ?? représente un uide visqueux au contact d'un solide (sur la surface xOz ) et d'un uide non visqueux (à l'interface y = ys ). Conditions aux limites sur un solide dénition comme on le vérie expérimentalement, la vitesse d'un uide visqueux s'annule au contact d'un solide (sur la surface xOz ) : ~v (y = 0) = ~vsolide = ~0 si le solide est xe dans le référentiel remarque Pour un uide parfait, seule la composante normale au solide s'annulait. Pour un uide visqueux, la composante tangentielle de la vitesse est aussi nulle. spé PC page n◦ 4 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Figure 3 Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre un solide et un uide parfait 2 Conditions aux limites sur un uide non visqueux théorème la dérivée de la vitesse d'un uide visqueux suivant une direction orthogonale à l'interface xO0 z (en y = ys ) entre deux uides s'annule : ∂vx ∂y =0 y=ys− Exemple de l'écoulement de Poiseuille s'y retrouver on s'intéresse à un uide visqueux, en écoulement stationnaire dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches. En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que les plaques sont parallèles, l'écoulement du uide est partout parallèle aux parois. Le frottement aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques, la vitesse du uide y est nulle (condition de non-glissement). Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement. Prol de vitesse pour un écoulement de Poiseuille schéma La gure ?? représente l'écoulement de Poiseuille. Il s'organise selon un champ de vitesse parabolique : vitesse nulle aux parois et maximale à mi-hauteur. Figure 4 Prol de vitesse pour un écoulement de Poiseuille spé PC page n◦ 5 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 II- Dynamique des uides visqueux 1. Équation de Navier Stokes Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien dé- nition L'équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien en écoulement incompressible est : F~cis = f~cis .d3 τ avec : f~cis = η.∆~v 3 Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen µ. théorème D~v −−→ = µ.~g − grad(P ) + η.∆~v Dt qui peut s'écrire aussi : −−→ − − ∂→ v ∂→ v grad(P ) −−→ → −−→ v 2 −→ − → − − − + v .grad . v = + grad + rot (→ v)∧→ v = ~g − + ν.∆~v ∂t ∂t 2 µ Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel non galiléen retrouver s'y ~ R/R le vecteur rotation de R par rapport aux si l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, avec Ω g référentiels galiléens, il faut ajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force de Coriolis. Soit : µ. D~v −−→ ~ R/R ∧ ~v = µ.~g − grad(P ) + η.∆~v − 2.µ.Ω g Dt Interprétation des diérents termes dans l'équation de Navier Stokes retrouver s'y on reconnaît → − • ∂∂tv : le terme d'inertie dit instationnaire dû à la variation temporelle du champ des vitesses ; • −−→ − → − v .grad .→ v : le terme d'inertie de convection dû au transport de quantité de mouvement par l'écoulement (terme qui confère à l'équation de Navier - Stokes un caractère non linéaire) ; −−→ grad(P ) : le terme dû au champ de pression ; • ~g : le terme dû au champ de pesanteur, • ν.∆~v : le terme dû à la viscosité, rendant compte de la diusion de la quantité de mouvement. • − µ Comparaison entre les équations d'Euler et de Navier Stokes s'y retrouver Caractéristiques de l'équation de Navier Stokes s'y retrouver on retrouve l'équation d'Euler à partir de l'équation de Navier Stockes si on considère le uide comme parfait, c'est à dire sans viscosité. l'équation de Navier Stokes est une équation diérentielle vectorielle (c'est à dire qu'elle donne trois 2 équations diérentielles scalaires). De plus, cette équation est non linéaire (à cause du terme en v − − → − − apporté par → v .grad .→ v ). On pourra souvent, lors de l'étude de petites perturbations (ondes...), négliger ces termes non linéaires. spé PC page n◦ 6 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 2. Nombre de Reynolds Nombre de Reynolds dénition si la dimension caractéristique du problème est L, la vitesse vaut approximativement V , on peut recalculer des équivalents aux grandeurs dans l'équation de Navier Stokes. • −−→ − → − v .grad .→ v ≈ V2 L : le terme d'inertie de convection dû au transport de quantité de mouvement par l'écoulement ; η.V • ν.∆~v ≈ µ.L 2 : le terme de viscosité. Aussi, le nombre de Reynolds est : Re = V.L µ.V.L = η ν Le nombre de Reynolds est le rapport sans dimension de la force volumique d'inertie (terme convectif) sur la force volumique visqueuse (terme diusif). On retiendra qu'il compare les eets inertiels aux eets de viscosité. Exemples de nombres de Reynolds Le tableau ?? présente quelques exemples de nombres de Reynolds dans quelques cas. exemple gros poisson dans l'eau oiseau dans l'air nageur dans l'eau bille dans du miel spermatozoïde dans liquide séminal bactérie dans l'eau glacier manteau terrestre tableau Re 108 106 105 10−2 10−3 10−5 10−11 10−20 Table 3 Quelques exemples de nombre de Reynolds Interprétation du nombre de Reynolds s'y retrouver On peut distinguer deux grands types d'écoulements, diérenciés par la valeur de leur nombre de Reynolds : • si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ; • si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus long que par convection). Notons qu'un uide parfait correspond à Re = ∞. Écoulement laminaire Ecoulements à bas nombre de Reynolds, où le terme diusif prédomine : dénition Re < 2000 un écoulement laminaire. schéma La gure ?? représente un exemple d'écoulement laminaire. Il s'agit d'un écoulement stable : les lignes de courants sont bien dessinées et évoluent lentement au cours du temps. Il peut être permanent ou non permanent, il peut présenter un caractère tourbillonnaire (un vortex dans un évier est un écoulement laminaire). spé PC page n◦ 7 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Figure 5 un écoulement laminaire. remarque Lorsque le nombre de Reynolds augmente, l'écoulement peut présenter un caractère tourbillonnaire, il reste cependant laminaire. Il peut se développer des structures tourbillonnaires cohérentes comme une allée de tourbillons dite allée de von Karman. NB : la valeur critique de Re à partir de laquelle le caractère laminaire disparait dépend fortement du prol de l'obstacle. 4 Diusion de la quantité de mouvement si le uide est incompressible, on aboutit à l'équation locale : théorème ∂ (µ.~v ) η = ∆ (µ.~v ) = ν.∆ (µ.~v ) ∂t µ qui est l'équation de diusion de la densité volumique de quantité de mouvement (avec comme coecient de diusion, le coecient de viscosité cinématique). On retrouve encore la propension des forces de viscosité à homogénéiser la vitesse. Écoulement turbulent écoulement à fort nombre de Reynolds où la convection est prédominante dénition Re > 2000 Ecoulement turbulent schéma La gure ?? représente un exemple d'écoulement turbulent. Les écoulements turbulents présentent un caractère chaotique où le champ de vitesse possède une grande variabilité spatiale et temporelle. Les lignes de courant s'entremêlent : l'écoulement est instable. Le caractère tourbillonnaire de ce type d'écoulement est très prononcé. Figure 6 Ecoulement turbulent spé PC page n◦ 8 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Caractéristiques des écoulements turbulents s'y retrouver Ces écoulements sont gouvernés par la convection et les termes non linéaires de l'accélération dominent. Ce type correspond également à un mélange important et à une dissipation d'énergie à diérentes échelles (la viscosité jouant à nouveau un rôle dans les petites échelles). Transition entre écoulements laminaire et turbulent : vidéo Transition entre écoulement laminaire et turbulent dans l'espace photo Reynolds réalise le premier, en 1883, une expérience dans laquelle on observe les lignes d'émission d'un colorant injecté dans un écoulement dans un long tube. Selon la vitesse de l'écoulement, Reynolds a pu observer diérents comportements du uide. Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr. Cette transition entre écoulement laminaire et turbulent peut intervenir spatialement : un écoulement peut être initialement laminaire (et tourbillonnaire) puis devenir turbulent, s'il s'agit par exemple d'un jet accéléré, le nombre de Reynolds augmentant le long de l'écoulement ce qui permet de comprendre ce passage d'un caractère laminaire à turbulent. On peut voir sur une photographie d'Humphrey Bogart (prise par Karsh) la transition entre un écoulement laminaire (proche de la cigarette) et un écoulement turbulent (loin de la cigarette). Vous pouvez retrouver la photo sur le site alain.lerille.free.fr. 3. Traînée La portance et la traînée vidéo l'écoulement du uide crée sur un solide deux force : la portance (perpendiculairement à l'écoulement) et la traînée (parallèlement à l'écoulement). Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr. Maître-couple on s'intéresse à un obstacle xe plongé dans un uide d'écoulement uniforme à l'inni dénition ~v∞ = v∞ .~ux La projection de l'obstacle sur un plan x = cste perpendiculaire à l'écoulement présente une surface d'aire S : c'est le maître-couple. Force de traînée dénition la force de trainée est la composante parallèle à l'écoulement de la force ressentie par l'obstacle à cause de l'écoulement. Elle est de la forme : 2 µ.v∞ .S F~trainee = Cx ~ux 2 Le coecient de traînée Cx est sans dimension. Il ne dépend que de la forme de l'obstacle et du nombre de Reynolds. Traînée et maître couple schéma La gure ?? représente l'écoulement du uide qui n'est homogène qu'à l'inni. On se place dans le référentiel où le solide est xe. Inuence de la forme de l'objet sur le coecient de traînée vidéo la traînée dépend de la forme de l'objet : un objet prolé présente un Cx plus faible qu'une surface plane. Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr. spé PC page n◦ 9 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Figure 7 Traînée et maître couple Cx = f (Re) pour diérentes formes d'obstacles. schéma La gure ?? représente l'inuence de la forme de l'obstacle et du coecient de Reynolds Re sur le coecient de traînée Cx . Force de traînée et force de frottement uide s'y retrouver • A forte vitesse (nombre de Reynolds grand), le coecient de traînée Cx est à peu près constant, donc F~trainee = −βv 2 ~ux si Re 1. • A faible vitesse (nombre de Reynolds petit), le coecient de traînée Cx est inversement proportionnel à la vitesse, donc F~trainee = −λ~v si Re 1. 5 Force de traînée exercée sur une sphère exercice On s'intéresse à une sphère de rayon R qui se déplace dans un uide de viscosité η avec la vitesse v . On suppose que le nombre de Reynolds est susamment petit pour pouvoir considérer le coecient de 24 traînée comme Cx = Re . Déterminer la force de traînée exercée par le uide sur la sphère. 4. Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile schéma La gure ?? représente l'écoulement autour d'une sphère immobile. On voit que celui-ci dépend fortement du nombre de Reynolds associé. spé PC page n◦ 10 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Figure 8 Cx = f (Re) pour diérentes formes d'obstacles. Figure 9 Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile spé PC page n◦ 11 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 A faible nombre de Reynolds s'y retrouver A grand nombre de Reynolds s'y retrouver on observe un écoulement symétrique, permanent, rampant et réversible. • Re ≈ 5 : la symétrie de l'écoulement est perdue lorsque le nombre de Reynolds augmente et devient supérieur à 5 : les lignes de courants sont diérentes en aval et en amont, près de la sphère. • Re ≈ 40 : quand le nombre de Reynolds atteint 40, on observe des tourbillons dit de "recirculation" en aval de la sphère. Les tourbillons apparaissent par paire et tournent en sens opposé. L'écoulement possède ainsi un caractère tourbillonnaire très marqué dans cette zone. • Re ≈ 100 : lorsque le nombre de Reynolds augmente, ces tourbillons grandissent et atteignent une taille proche de celle de la sphère. Ils restent cependant stationnaires et cohérents. • Re ≈ 450 : pour cette valeur de Re, les tourbillons se détachent périodiquement de la sphère. Il apparait une allée de tourbillons en aval de la sphère. L'écoulement devient non permanent et a la même allure que pour cet écoulement autour d'un cylindre. On peut observer une allée de tourbillons dite de Van Karman. pour des écoulements à grand nombres de Reynolds Re > 103 l'écoulement derrière la sphère devient instable et non stationnaire. L'écoulement présente deux parties aux comportements distincts : un sillage qui naît à la surface de la sphère (de taille caractéristique proche de celle de la sphère) et le reste de l'écoulement. Le sillage présente un caractère turbulent : le champ de vitesse est très variable dans le temps avec des structures à petite échelle. • Re = 15000 : la couche limite se sépare de la sphère à l'équateur et reste laminaire sur une longueur de l'ordre du rayon. L'écoulement devient instable et turbulent passé cette distance. • Re ≈ 105 : pour ces nombres de Reynolds très élevés, la couche limite (qui était auparavant laminaire) devient turbulente. Le sillage diminue alors de taille. 5. Couche limite Notion de couche limite : s'y retrouver Inuence de la couche limite sur le coecient de trainée s'y retrouver l'écoulement à grand nombre de Reynolds autour d'un obstacle présente deux parties aux caractéristiques très diérentes. Près de l'obstacle, une couche limite apparaît où les phénomènes de viscosité dominent. Dans cette couche limite, l'écoulement prend un caractère tourbillonnaire marqué. La vorticité ainsi créée peut être entraînée par convection dans le sillage de l'obstacle. La couche limite ne possède pas la même taille caractéristique que l'obstacle et présente donc un nombre de Reynolds ReCL diérente de celui de l'écoulement principal. On peut ainsi observer des couches limites laminaires ou turbulentes. En dehors de cette couche limite, l'écoulement présente un caractère plus régulier et plus laminaire. le caractère laminaire ou turbulent de la couche limite inue sur le coecient de trainée. En eet, le passage d'une couche limite laminaire (ReCL > 1000) à turbulente entraîne une réduction de la taille de la couche limite et donc une baisse du coecient de trainée. Le sillage turbulent est signicativement plus petit que le sillage laminaire. La trainée chute. La surface d'une balle de golf est ainsi choisie pour que la couche limite soit turbulente. La couche limite joue un rôle essentiel sur la valeur de la portance et de la traînée d'un obstacle. Les actions mécaniques exercées par l'écoulement sont localisées sur la surface de l'obstacle : la présence d'une couche limite décollée augmente fortement la traînée et diminue la portance. La forme de l'obstacle joue donc un rôle essentiel sur la valeur du Cx par le biais de la couche limite. La forme actuelle des ailes d'avion ou des voitures est étudiée en souerie ou lors de simulations numériques pour limiter le décollement de la couche limite. spé PC page n◦ 12 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Décollement de la couche limite s'y retrouver Modèle du uide parfait et couche limite s'y retrouver on peut observer un décollement de la couche limite lorsque celle-ci atteint une taille de l'ordre de celle de l'obstacle. Les deux zones couche limite - sillage / écoulement hors couche limite sont alors bien délimitées et présentent des trajectoires très diérentes. Pour certains prols (ou inclinaison) d'obstacle, on peut observer un décollement de la couche limite. On observe un décollement de la couche limite avec l'inclinaison de l'obstacle dans laquelle se développe un écoulement qui devient rapidement instable. Le point de décollement de la couche limite peut évoluer avec le nombre de Reynolds, la couche limite décollant plus rapidement de l'obstacle lorsqu'elle est laminaire par exemple. dans le cas de la plupart des écoulements d'air autour d'obstacle (L ≈ 1m, u > 1m/s, ν = 10−5 m2 /s), la couche limite est de faible extension (à l'exception des cas de décollements). Par exemple, pour une voiture : L = 4m, U = 20m/s, le nombre de Reynolds vaut Re = 5.107 et la couche limite a une taille δ = ReLCL = √LRe = 0, 5mm. Ainsi, les forces de viscosité sont prépondérantes dans une ne couche autour de la voiture et sont négligeables dans le reste de l'écoulement compte tenu de la valeur du nombre de Reynolds. On peut alors modéliser l'écoulement par un écoulement parfait. Ecoulement parfait dénition Un écoulement est parfait si tous les phénomènes diusifs et irréversibles sont négligeables : la viscosité est alors nulle, il n'y a pas d'échange d'énergie sous forme de chaleur entre particules. Chaque particule de uide évolue ainsi de manière adiabatique et irréversible : l'écoulement est isentropique. Couche limite et conditions aux limites s'y retrouver Résultante des forces de pression sur un obstacle s'y retrouver C'est au voisinage de l'obstacle que les deux modèles dièrent. Le prol de vitesses correspondant à l'écoulement parfait et le prol de vitesses correspondant à l'écoulement réel sont identiques en dehors de la couche limite ce qui justie bien l'utilisation du modèle de l'écoulement parfait. le modèle de l'écoulement parfait permet de déterminer facilement les champs de pression et pourrait donc permettre de déterminer la résultante des forces de pression, responsable de la portance des avions par exemple. Cependant, par dénition, ces forces de pression s'exercent sur la paroi et donc dans la couche limite où le modèle de l'écoulement parfait ne fonctionne pas. Dans la couche limite, la vitesse dépend principalement de la direction transverse à l'obstacle (ici notée y ) et est dirigée tangentiellement à l'obstacle : l'accélération selon y est donc négligeable. L'inuence du champ de pesanteur sur une hauteur de δ (couche limite d'épaisseur centimétrique) est quasi nulle. ∂p Ainsi, le gradient de pression selon y est nul : ∂y = 0 dans la couche limite. La pression le long de l'obstacle est donc la même que celle déterminée en dehors de la couche limite. Finalement, on peut utiliser l'expression du champ de pression calculée dans le cadre d'un écoulement parfait pour déterminer la résultante des forces de pression sur l'obstacle. Le modèle de l'écoulement parfait est ainsi parfaitement apte à décrire des écoulements à grand nombre de Reynolds hors de la couche limite. spé PC page n◦ 13 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Technique à maîtriser jeudi 20 novembre 2014 I- Les capacités exigibles 1. Forces de viscosité ce qu'il faut savoir faire capacités −→ x Utiliser l'expression fournie dF = η ∂v ux ∂y dS~ −→ Établir sur cet exemple l'expression dF = η∆~v dτ . Utiliser sa généralisation admise pour un écoulement incompressible quelconque. 2. Champ de vitesse ce qu'il faut savoir faire capacités Utiliser l'équation de Navier-Stokes dans un uide newtonien en écoulement incompressible. 3. Utilisation du nombre de Reynolds ce qu'il faut savoir faire capacités Évaluer en ordre de grandeur le rapport du terme convectif sur le terme diusif et le relier au nombre de Reynolds dans le cas d'une unique échelle spatiale. Évaluer un nombre de Reynolds pour choisir un modèle de traînée linéaire ou un modèle de traînée quadratique. II- Méthodes 1. Forces de viscosité A) Forces de cisaillement méthode La force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui la sépare de x la veine rapide (pour y > y0 ) est Fx = −η.S ∂v ∂y . La contrainte tangentielle σ exercée sur le plan solide de cote z = z0 est σ = η spé PC dv(z) dz z=z0 . page n◦ 14 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 2. Champ de vitesse B) Appliquer l'équation de Navier Stokes méthode Les inconnues dans l'équation de Navier Stokes sont les trois composantes de la vitesse, la masse volumique et la pression, soit cinq inconnues scalaires. Si on ajoute à l'équation de Navier Stokes la relation locale de conservation de la masse, on dispose de quatre équations scalaires : il nous manque encore une équation pour déterminer parfaitement les inconnues. Bien souvent, il s'agira de relier la masse volumique µ à la pression P , via une relation thermodynamique : µ = f (P ). Citons par exemple : pour ∂µ (uide compressible). les liquides µ = µ0 = cste (uide incompressible), pour les gaz χ = µ1 ∂P Les solutions de l'équation de Navier Stokes devront bien entendu vérier les conditions aux limites, aussi bien spatiales que temporelles : au contact d'un solide, la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle du uide égale à celle du solide, à l'interface entre deux uides, la force de cisaillement est continue, donc la dérivée de la vitesse suivant la normale à l'interface est aussi continue. En projetant suivant une direction, on peut n'avoir plus qu'une équation en pression, qu'on intègre, grâce aux conditions aux limites. La projection suivant une direction orthogonale permet de trouver la vitesse, encore grâce aux conditions aux limites : ~v = ~0 au contact du solide dans le référentiel du solide. 3. Utilisation du nombre de Reynolds C) Nombre de Reynolds méthode D) Forces de traînée méthode Il s'agit de faire un raisonnement sur des ordres de grandeurs. Par exemple, avec le nombre de Reynolds Re = µ.V.L = V.L η ν il y a deux cas biens marqués : si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ; si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus long que par convection). On parlera d'écoulement laminaire si Re < 2000. 2 de trainée est de la forme : F~trainee = Cx µ.v2∞ .S ~ux . Suivant la valeur du nombre de Reynolds, on 24 trois comportements : si Re < 1, Cx = Re , si Re ∈ 103 ; 105 , Cx ≈ cst, autour de Re = 5.105 , La force discerne Cx chute brusquement. III- Exercices 1. Forces de viscosité 1.1) Contrainte exercée par un ruissellement laminaire Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est : ~v = µ.g. sin α (2.δ − z) .z.~ux 2.η où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide. 1) Quelle est la contrainte tangentielle σ exercée sur le plan incliné ? σ = µ.g. sin α.δ . 1.2) Contrainte exercée par le déplacement d'une plaque dans un uide spé PC page n◦ 15 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Soient deux grandes plaques parallèles, l'espace entre les plaques étant rempli d'un uide donné. La plaque inférieure (en y = 0) est xe, tandis que la plaque supérieure (en y = ∆y ) est entraînée par une force constante ~ = V.~ux . F~0 = F0 .~ux , et on constate qu'elle est animée d'une vitesse constante V Il s'exerce donc sur la plaque une force, dirigée parallèlement à la plaque et opposée à F~0 : c'est la force de viscosité, notée F~ . Le uide en contact avec la plaque supérieure va y adhérer et va donc être animé de la vitesse V~ = V.~ux , tandis que le uide en contact avec la plaque xe aura une vitesse nulle. La vitesse d'écoulement au sein du uide est en tout point parallèle à l'axe Ox, mais son module dépend de la cote y : ~v = vx (y).~ux . Si la distance y et la vitesse V ne sont pas trop grandes, on constate que le prol des vitesses est une droite. x 1) Exprimer ∂v ∂y . Les expériences ont d'autre part montré que la force F0 à exercer sur la plaque supérieure pour l'entraîner à la vitesse constante V , varie proportionnellement avec la surface de la plaque, avec la vitesse V et inversement avec ∆y . 2) Déterminer la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui la sépare de la veine rapide (pour y > y0 ). V Fx = −η.S ∆y . 1.3) Contrainte exercée par un écoulement de Poiseuille cylindrique On considère un écoulement de Poiseuille permanent dans un tube cylindrique d'axe Oz , de section circulaire et de rayon R : v(r) = − R2 dp 4 η dz 1− r2 R2 Déterminer la projection des forces de cisaillement. σ(r) = r dp 2 dz . 2. Champ de vitesse 2.4) Ecoulement entre deux cylindres L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses : ~v (~r, t) = A.r + B r .~uθ 1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres en R1 et R2 . 2) Que se passe-t-il dans le cas où Ω1 = Ω2 = Ω ? A= Ω2 .R22 −Ω1 .R12 R22 −R12 et B = (Ω1 −Ω2 ).R22 .R12 . R22 −R12 2.5) Ecoulement au dessus d'un plan oscillant L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des vitesses suivant : ~v (~r, t) = A.e−k.y . cos (ω.t − k.y) .~ux Vérier que les conditions aux limites sont correctes. ~v (y = 0) = A. cos (ω.t) .~ux et ~v (y → +∞) = ~0. spé PC page n◦ 16 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 2.6) Loi de Darcy Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques horizontaux, de rayon a et de longueur ` (a `), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence de pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur. On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est caractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz tel que : v(r) = ∆p f (r) 4.η.` où f (r) = r2 + B.r + C est une fonction polynomiale d'ordre deux de la distance r à l'axe du tube. Déterminer v(r). v(r) = ∆p 4.η.` a2 − r 2 . 2.7) Ecoulement de Poiseuille plan Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η s'écoule entre deux plans parallèles éloignés de δ suivant l'axe Oz . On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme : ~v = v (z) .~ux où ~ux est parallèle aux plans, orienté dans le sens de l'écoulement. On négligera l'eet de la pesanteur devant celui des forces de pression. Déterminer v (z). ~v = 1 ∆P η ∆x (δ − z) .z.~ux . 2.8) Ecoulement de Poiseuille cylindrique On considère l'écoulement permanent d'un uide de viscosité η (écoulement de Poiseuille) dans un tube cylindrique d'axe Oz , de section circulaire et de rayon R. On admet que la vitesse est ~v (r, z, θ) = vz (r)~uz ; que la pression ne dépend que de z et que et la variation de la pression est constante le long de l'axe z . On négligera la pesanteur. Déterminer la vitesse du uide. 2 v(r) = − 4Rη dp dz 1− r2 R2 . 2.9) Champ des vitesses dans un ruissellement laminaire Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme : ~v = v (x, z) .~ux où ~ux est parallèle au plan incliné, orienté dans le sens de l'écoulement et ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide. 1) Montrer qu'alors v (z) uniquement. 2) Déterminer le champ de pression P (x, z) dans le uide. 3) Déterminer v (z). spé PC page n◦ 17 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 P (x, z) = −µ.g. cos α. (z − δ) + Patm et ~v = µ.g. sin α 2.η (2.δ − z) .z.~ux . 2.10) Champ des vitesses dans un amortisseur hydraulique On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un piston de longueur ` et de rayon R0 = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz (r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable à un champ vz (x) puisque a R. 1) Exprimer l'équation diérentielle suivie par vz (x). 2) Trouver vz (x) dans le référentiel du cylindre (le piston se déplace avec la vitesse vp ). 1) 2) 2 ∆p −F η ddxv2z = dp dz = ` = `.π.R2 . v −F vz = 2η.`.π.R2 (x − a) .x − ap x. 3. Utilisation du nombre de Reynolds 3.11) Nombre de Reynolds associé à une voiture On s'intéresse à une voiture qui se déplace dans l'air de viscosité η = 18.10−6 P l avec la vitesse v = 100km/h. Calculer le nombre de Reynolds. Qualier l'écoulement. Re ≈ 2.106 . 3.12) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'eau d'un robinet On s'intéresse à un tuyau d'eau de diamètre intérieur d = 12mm. Justier le fait que pour un débit volumique D1 = 0, 2L/min, l'écoulement est laminaire et pour un débit D2 = 10L/min, l'écoulement est turbulent. Re1 = 3.102 < 2000 et Re2 = 2.105 > 2000. 3.13) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'huile sur un plan incliné On s'intéresse à une mince couche d'huile (de viscosité η = 1, 0P l, masse volumique µ = 1, 0.103 kg/m3 ) d'épaisseur e = 1mm, qui coule le long d'un plan zOx incliné d'un angle α = 30◦ . Son champ des vitesse est de la forme ~v = µ.g. sin α y. (2.e − y) .~ux 2η L'écoulement est-il laminaire ? Re = 2.10−2 donc l'écoulement est laminaire. 3.14) Nombre de Rossby dans l'atmosphère 1) Ecrire l'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen. On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement, L une dimension horizontale caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (noté Ro ) d'un écoulement le rapport sans dimension entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans la précédente équation. 2) Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10m.s−1 et L = 1000km . Commenter le résultat obtenu. 3) Même chose pour un écoulement d'air dans une pièce : U = 1m.s−1 et L = 10m . spé PC page n◦ 18 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Dans l'atmosphère : Ro ≈ négligeables. U L.Ω = 0, 14 et dans une pièce Ro ≈ U L.Ω = 1375 : les forces de Coriolis sont 3.15) Forces de viscosité dans un amortisseur hydraulique On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un piston de longueur ` et de rayon R0 = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz (r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable vp −F à un champ vz (x) puisque a R. On admet que vz = 2η.`.π.R 2 (x − a) .x − a x, où vp est la vitesse du piston et F la force exercée par l'opérateur. 1) Exprimer le débit volumique Dv : 1.a) à partir du champ de vitesse vz (x) 1.b) grâce à une autre relation. 2) En déduire la relation qui lie la vitesse vp et F . F ≈ 6.π.η.`.vp R a3 . 3 Résolution de problème vendredi 21 novembre 2014 Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés. L'aérodynamisme du cycliste Extraits de l'article "Méthodes d'évaluation de l'aérodynamisme en cyclisme" par P. Debraux disponible sur le site "Sciences du Sport . com" Comment rouler plus vite en vélo ? En cyclisme, diérentes forces s'opposent à l'avancement du cycliste et de sa bicyclette et limitent sa vitesse de déplacement. À vitesse élevée (> 40 km · h−1 ), la traînée aérodynamique est la plus importante de toutes ces forces. Pour se représenter son importance, il faut savoir que 90% de la puissance produite par un cycliste sert à vaincre cette résistance. L'aérodynamisme est une problématique de premier plan pour la recherche en cyclisme, l'objectif principal étant d'améliorer les performances. Durant les courses cyclistes, et plus particulièrement lors des épreuves de "Contre-la-montre", les diérences de temps entre les athlètes peuvent être minimes. L'optimisation des paramètres aérodynamiques du cycliste et de sa bicyclette peuvent être déterminants pour augmenter la vitesse de déplacement pour une même production de puissance. Or, pour minimiser la résistance aérodynamique, il est important de connaître ses paramètres déterminants, de savoir comment les évaluer et de pouvoir déterminer leur évolution en fonction de la position du cycliste et de sa vitesse de déplacement. La résistance aérodynamique est directement proportionnelle à l'aire frontale projetée du cycliste (le maître couple) et de sa bicyclette (Ap , en m2 ), au coecient de traînée (CD , sans unité), à la masse volumique de l'air (ρ, en kg · m−3 ) et au carré de la vitesse d'écoulement du uide sur le corps du cycliste (vf , en m · s−1 ) : RA = 0, 5 × Ap × ρ × CD × vf2 spé PC page n◦ 19 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Le coecient de traînée (CD , sans unité) (également appelé coecient de forme ou CX ) est utilisé pour modéliser les facteurs complexes de forme, de position et les ux d'air agissant sur le corps du cycliste en déplacement. Indurain lors de son record de l'heure (1994) présentait un CD = 0, 65. L'aire frontale projetée représente la portion du corps qui peut être vue par un observateur placé exactement en face de ce corps. L'aire frontale projetée est dépendante de la taille et de la masse corporelle du cycliste, de la position du cycliste sur la bicyclette et de l'équipement utilisé (e.g., casque, forme du cadre, vêtements). Enoncé 1) Déterminer l'ordre de grandeur du coecient de traînée d'un cycliste. Travaux pratiques vendredi 21 novembre 2014 La moitié de la classe fait un TP de mécanique des uides sur les écoulements visqueux et la tension supercielle. spé PC page n◦ 20 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Approche documentaire vendredi 21 novembre 2014 Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Louis Fabre et Daphné Faujour feront un exposé. Ecoulements visqueux dans le corps Etienne Guyon Matière et matériaux - Belin. Comment fonctionnent le coude ou le genou ? Comment s'écoule le sang dans les vaisseaux sanguins ? Ces questions simples mettent en jeu la viscosité des écoulements uides. Au repos et soumis à l'action de forces extérieures, un uide (liquide ou gaz) a un comportement comparable à celui d'un solide. La compression et la dilatation d'un solide sous l'eet de forces ou de changements de température ont en eet leur équivalent pour un uide : la pression hydrostatique. Elle s'exerce perpendiculairement aux parois du récipient contenant le uide, et correspond aux contraintes normales pour un solide. Intéressons-nous aux propriétés d'un liquide en mouvement. Alors que plusieurs grandeurs telles que rigidité et dureté caractérisent la diversité des comportements mécaniques des matériaux solides, un seul coecient - la viscosité- est susante pour décrire les écoulements des uides simples (dits newtoniens) en écoulement. Il faut pour cela se limiter à des écoulements à des vitesses subsoniques, pour lesquels on peut considérer que la masse volumique des uides ne dépend pas de la vitesse (par opposition au cas des écoulements supersoniques, où la compressibilité est responsable du bang). S'il est d'usage courant de considérer que l'huile est visqueuse et que l'eau ne l'est pas, c'est inexact ! Même l'air possède une viscosité, et le préxe hydro s'applique aussi aux écoulements gazeux. Nous verrons quelques propriétés de ces écoulements visqueux. L'expérience modèle de cisaillement à l'aide d'un liquide placé entre deux plaques de verre parallèles en mouvement l'une par rapport à l'autre permet précisément de dénir la notion de viscosité, comme nous le verrons ci-dessous. Alors que, dans un solide une contrainte de cisaillement donnée entraîne spé PC page n◦ 21 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 une certaine déformation xe, dans un liquide, elle donnera lieu à une vitesse (ou un taux) de déformation En eet, dans le cas du cisaillement d'un liquide le glissement des couches les unes contre les autres se poursuit indéniment dans le temps : tant que la force est appliquée, l'angle de cisaillement croît constamment et il y a écoulement du liquide. Le liquide peut lui aussi être soumis à une traction un let de miel qui coule (Fig. 1a) rappelle l métallique que l'on étire, à ceci près que lorsqu'on applique une force xe, le l adopte une déformation constante, tandis que le let s'allonge, s'allonge... et nit par rompre. Ce qui compte dans le cas du liquide, c'est en fait la vitesse du uide, et non le déplacement lui-même. La viscosité qui fait glisser Dans un let de miel qui s'étire, la vitesse varie le long de l'axe du déplacement. La viscosité résiste aux changements de la vitesse du let, qui accélère le long de son axe en tombant. En pâtisserie, le let de sucre fondu peut -ainsi être caractérisé par sa viscosité, en le laissant se vider avec une petite cuillère. Le cuisinier aura en outre une sensation directe de la viscosité en faisant glisser l'un sur l'autre un peu de ce sucre fondu entre le pouce et l'index : la force qui résiste au cisaillement est proportionnelle à la viscosité. Une forme plus contrôlée de cette expérience consiste à placer une goutte de liquide entre deux plaques de verre parallèles, distantes de d, dont l'une est xe et l'autre en mouvement à la vitesse V (Fig. 1b). Le rapport V /d est le gradient de vitesse qui mesure comment le liquide, xe au niveau de la plaque immobile, atteint la vitesse V au contact de la face mobile. Dans cette situation de cisaillement, tout se passe comme si des couches liquides parallèles aux plaques superposées glissaient les unes contre les autres, et que les forces moléculaires locales de viscosité résistaient au glissement relatif. La contrainte de cisaillement est le quotient de la force F s'opposant au glissement par la surface S de plaques couverte par le liquide. Elle est proportionnelle au gradient de vitesse et à la viscosité η , caractéristique du liquide. Cette relation entre gradient, contrainte et viscosité s'exprime simplement à l'aide de la formule : F ηV = S d Le tableau 2 montre la grande diversité des phénomènes où intervient la viscosité, ainsi que la vaste gamme de valeurs rencontrées. L'air est-il visqueux ? Voici une expérience simple qui va vous convaincre du caractère visqueux de l'air. Faites glisser, en la lançant au- dessus d'une surface lisse, une feuille de papier légère mais rigide. Elle se déplace sur une grande distance horizontale tout en restant pratiquement parallèle à la table. L'air mis en mouvement sous la feuille (du fait de sa viscosité) engendre des forces de pression qui maintiennent la feuille légèrement surélevée. Si on recommence après avoir percé la feuille d'une dizaine de petits trous, cette surpression intérieure disparait par suite du contact de l'air intérieur et externe. Lancée dans les mêmes conditions, la feuille percée s'arrête très rapidement. La lubrication Une expérience simple, consistant à faire glisser une feuille de papier sur une surface, permet de comprendre que la lubrication par un uide est due à l'écoulement uide induit par le déplacement d'une surface par rapport à l'autre. Il existe de très nombreuses manifestations de la lubrication, en particulier en sciences du vivant. Ainsi, les poumons sont entourés par les plèvres. Il s'agit d'une enveloppe double : la plèvre externe est solidaire de la cage thoracique, tandis que la plèvre interne est solidaire du tissu pulmonaire. Lorsque le poumon se gone (au moment de l'inspiration), il doit pouvoir bouger librement par rapport à la cage thoracique. Ce n'est possible que grâce à une mince couche de liquide pleural qui permet aux. deux plèvres de glisser l'une sur l'autre. En cas de pleurésie, l'inammation perturbe les qualités du liquide pleural et le mouvement du poumon devient douloureux. Il en va de même pour le péricarde, l'enveloppe double qui entoure le c÷ur. Le péricarde interne est solidaire du c÷ur, le péricarde externe de la cage thoracique. Les battements du c÷ur sont facilités par le glissement l'un sur l'autre des deux feuillets péricardiques, rendu possible par la présence d'un liquide péricardique lubriant. Lors d'une péricardite, les battements cardiaques deviennent douloureux et le frottement des deux feuillets l'un sur l'autre produit un bruit caractéristique, audible à l'auscultation, que les médecins décrivent comme le crissement du cuir d'une chaussure neuve. spé PC page n◦ 22 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Dans les articulations, un liquide lubriant, la synovie, ralentit l'usure des cartilages lorsqu'ils glissent les uns sur les autres. C'est ce liquide qui, en sortant de ses enveloppes, provoque des spectaculaires ÷dèmes articulaires lors de certaines entorses. Dans un autre registre, sans le liquide lacrymal, les paupières ne pourraient pas bouger sur la cornée. La lubrication intervient aussi dans les sports de glisse où une ne couche d'eau liquide limite le frottement entre le sol (neige, eau, glace) et un support. Enn, dans les paliers de lubrication en mécanique, un cylindre est en rotation par rapport à un autre cylindre xe. Un liquide visqueux (généralement de l'huile) placé entre les deux se fait entraîner par la rotation. Les pressions créées par l'écoulement du liquide induisent des forces qui s'exercent sur les cylindres et les maintiennent séparés. Plomberie sanguine Aujourd'hui, nous savons que la circulation sanguine est un très subtil problème de plomberie dans lequel un uide visqueux plutôt complexe - le sang - circule, grâce à une pompe, dans des tuyaux qui se divisent et risquent de se boucher. Les débits sanguins peuvent être mesurés par échographie, avec le même principe général d'eet Doppler à l'÷uvre dans les radars d'autoroute : la diérence de fréquence entre une onde acoustique incidente sur le sang en mouvement et l'onde rééchie est en eet proportionnelle à la composante de la vitesse dans la direction de l'onde. Que se passe-t-il lorsqu'un liquide s'écoule dans un tube cylindrique ? Il est freiné par son frottement visqueux, à la fois à l'intérieur du volume et contre les parois. La vitesse varie suivant la distance à l'axe du tube : elle est nulle au voisinage des parois et maximale au centre du tube (Fig. 2). Pour vaincre ce frottement dû au glissement relatif des couches uides, il faut appliquer une diérence de pression entre l'entrée et la sortie, la perte de charge. Le château d'eau responsable de l'alimentation en eau domestique doit ainsi se situer plus haut que les habitations, pour que la pression hydrostatique y soit supérieure à celle au niveau du robinet. Dans le cas d'un vaisseau sanguin, la pompe cardiaque assure une surpression (qu'on mesure à l'aide d'un tensiomètre médical) pour vaincre les eets de viscosité. Le débit Q dans un tube cylindrique augmente proportionnellement à la perte de charge ∆P/L, qui pousse le liquide suivant la foi de Poiseuille. Celle-ci rappelle la loi d'Ohm exprimant la relation entre l'intensité du courant électrique dans un conducteur et la diérence de potentiel à ses bornes. En revanche, la loi de variation du débit avec la section est très diérente de celle des conducteurs électriques. Cela tient à la variation parabolique de la vitesse à l'intérieur du tube : pour un diamètre de tube deux fois plus petit, le débit est seize fois plus faible ! Cette variation peut surprendre mais, en l'absence de viscosité (uide parfait), la vitesse serait uniforme dans toute la section du tube et le débit serait uniquement proportionnel à cette section, comme pour un conducteur électrique. De façon générale, la perte de charge est d'autant plus importante que le liquide est visqueux, le diamètre du tube petit, et ses parois rugueuses. Ainsi, on uidie le sang (souvent avec de l'aspirine) pour éviter des thromboses après un accident vasculaire. L'utilisation d'EPO (érythropoïétine), qui n'est autorisée que pour certains traitements médicaux, entraîne une augmentation notable du nombre de globules rouges dans le sang et une amélioration des performances sportives, mais se doper à l'EPO accroît notablement la viscosité du sang, qui devient pâteux, avec des risques graves pour la santé (hypertension ou embolie). Dans des tubes de petit diamètre, tels que les capillaires sanguins, la viscosité, à elle seule, permet de caractériser l'écoulement une fois que la géométrie du tube (section, longueur) a été dénie. Si la loi de Poiseuille s'applique bien pour la canalisation rigide d'un tuyau de plomberie, cela se complique pour nos vaisseaux dont les parois sont élastiques. Cette élasticité permet cependant aux vaisseaux d'amortir les variations périodiques du débit qu'impose la pompe cardiaque -du moins tant qu'ils sont en bon état. Grâce à cette déformabilité, le sang circule dans des capillaires dont le diamètre est inférieur à celui d'un globule rouge. Enoncé spé PC page n◦ 23 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 1) Ecoulement de Couette 1.a) En se plaçant dans la géométrie de la gure 1.a, où la vitesse est ~v = v(y)~ux , exprimer le gradient −−→ grad v(y) en fonction de V et d. 1.b) En reprenant la relation donnant la contrainte de cisaillement du texte, donner dans la géométrie unidimensionnelle l'expression de la force F~ s'opposant au glissement par la surface S de plaques couverte par −−→ le liquide à l'aide de grad v(y). 1.c) En faisant enn un bilan des forces de viscosité pour un système qui est un parallélépipède rectangle d'épaisseur dy suivant Oy et de surface S pour les plans de cote y0 et y0 + dy , montrer que la force de viscosité par unité de volume peut s'écrire d3 F~ = η.∆~v d3 τ 2) Ecoulement de Poiseuille On s'intéresse maintenant à un uide qui s'écoule (comme dans la gure 2 du document) dans un tube cylindrique de rayon R d'axe Oz qui dénit un repère cylindrique. Le champ de vitesse est alors de la forme ~v = v(r)~uz . On donne le laplacien scalaire en cylindrique : ∆f = ∂ µ2 .µ3 ∂f ∂ µ3 .µ1 ∂f ∂ µ1 .µ2 ∂f 1 . + . + . µ1 .µ2 .µ3 ∂r µ1 ∂r ∂θ µ2 ∂θ ∂z µ3 ∂z où µ1 = 1, µ2 = r et µ3 = 1. 3 2.a) Que devient dans ce cas l'expression de la force de viscosité par unité de volume dd3Fτ~ ? −−→ 2.b) Exprimer grad P dans ce cas, en fonction de ∆P et L. 2.c) Appliquer l'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire et en négligeant la vitesse. On calculera la dérivé convective de la vitesse. 2.d) Déterminer l'expression de v(r) grâce aux conditions aux limites. 2.e) Exprimer le débit Q et vérier, comme le dit le texte, que "Q augmente proportionnellement à la perte de charge ∆P/L" et que "pour un diamètre de tube deux fois plus petit, le débit est seize fois plus faible". spé PC page n◦ 24 Janson de Sailly