math français

P REMIERES NOTIONS DE GEOMETRIE
P OINT , DROITE , DEMI - DROITE , SEGMENT :
a. Point :
Un point est toujours représenté par deux lignes qui se croisent. Il y a trois cas :
Le point se situe ici
Un point n’a pas d’épaisseur (il est infiniment petit), d’où l’importance d’avoir un crayon
bien taillé.
En général, on désigne les points par des lettres majuscules (des lettres différentes pour
des points différents)
b. Droite :
Une droite se trace avec une règle.
Une droite peut se noter de trois façons différentes :
La droite (d). [Attention : d ne désigne pas un point !]
La droite (AB) ou (BA) où A et B sont des points de la droite.
La droite (xy) ou (yx) où x et y sont des directions.
[Attention : x et y ne désignent pas des points !]
Le point M est sur la droite (d) . On note « M ∈ (d) » qui signifie « M appartient à (d) »
Le point N n’est pas sur la droite (d) . On note « N ∉ (d) » qui signifie « N n’appartient
pas à (d) »
Lorsque trois points appartiennent à une même droite (pas nécessairement tracée), on dit
qu’ils sont alignés.
Remarque : Deux points sont toujours alignés.
Attention :
Ne pas oublier les parenthèses.
Une droite est illimitée, ce qui signifie qu’on peut prolonger son dessin autant
que nécessaire.
C
B A
(d)
M
N
A
B
x
y

c. Demi-droite :
Le point A partage la droite (xy) en deux demi-droites notées [A x ) et [A y ).
[O t ) et [MN) sont aussi des demi-droites. A, O et M sont appelés les origines des demi-
droites.
d. Segment (de droite) :
La partie de la droite (AB) située entre A et B (y compris A et B) s’appelle le segment
[AB].
A et B sont ses extrémités.
On peut le mesurer (avec une règle graduée) et sa longueur se note AB.
Ici, AB = 6 cm
Le milieu I du segment [AB] est le point de ce segment tel que IA = IB (= 3cm).
P OSITIONS RELATIVES DE DEUX DROITES :
a. Droites sécantes :
Les droites (d) et (d’) se coupent en I :
on dit qu’elles sont sécantes en I.
I est leur point d'intersection
(c’est le seul point appartenant aux deux droites).
b. Droites parallèles :
Les droites (d) et (d’) n’ont pas de point d’intersection, même en les prolongeant
indéfiniment.
On dit qu’elles sont parallèles.
On note : (d) // (d’)
Remarque :
Les droites (d) et (AB) se superposent.
On dit qu’elles sont confondues.
A
y
x
O
t
M
N
A
B
I
Codag
Codag
I
(d)
(d’)
(d’)
(d)
(d)
B
A

c. Droites perpendiculaires :
Les droites (d) et (d’) se coupent en formant un angle droit (on le vérifie avec une
équerre).
On dit qu’elles sont perpendiculaires.
On note : (d) ⊥ (d’).
Remarque : Deux droites perpendiculaires sont sécantes.
Deux droites sécantes ne sont pas toujours perpendiculaires.
P OSITIONS RELATIVES DE 3 DROITES :
a. Droites concourantes :
Quand trois droites passent toutes par le même point, elles sont concourantes.
Exemples :
Ces trois droites sont concourantes en I. Ces trois droites ne sont pas
concourantes, mais elles sont
sécantes deux à deux
b. Propriétés des figures formées par trois droites :
Propriété 1 (admise) : Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors
ces deux droites sont parallèles entre elles.
Propriété 2 (admise) : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite,
alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Propriété 3 (admise) : Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est
perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
(d)
(d’)
Codag
I A
C
B

LES TRIANGLES :
Définition et vocabulaire :
Définition : Un triangle est une figure géométrique ayant trois côtés.
Vocabulaire :
. A, B et C sont les trois sommets.
. [AB], [AC] et [BC] sont les trois côtés.
. B
A
ˆ
C, A
B
ˆ
C et A
C
ˆ
B sont les trois angles.
. [AC] est le côté opposé au sommet B.
. [AB] est le côté opposé au sommet C.
. [BC] est le côté opposé au sommet A.
Le périmètre du triangle ABC est la somme : AB + BC + CA.
Le triangle rectangle :
Définition : Un triangle rectangle est un triangle ayant deux côtés perpendiculaires.
Exemple :
EAU est un triangle rectangle en A : (EA) ⊥ (AU)
E
A
ˆ
U est un angle droit.
Exercice commenté : Construire un triangle HSM rectangle en H tel que HS = 3 cm et
SM = 5 cm.
On commence par faire un croquis (à main levée) :
• Le triangle SHM est rectangle en H, donc le point M est situé sur la droite qui est
perpendiculaire à (SH) et qui passe par H.
On trace cette droite.
A
B
C
A
U
E
3
5 cm
H
S
M

• SM = 5 cm, donc le point M est situé sur le cercle de centre S et de rayon 5 cm. On
trace une partie de ce cercle, qui coupe la droite en deux points.
Il y a donc deux solutions possibles.
Le triangle SHM dessiné est l’une de ces deux solutions.
Le triangle isocèle :
Définition : Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur.
Exemple :
MER est un triangle isocèle en M : ME = MR
M est le sommet principal.
[ER] est la base.
Les angles
E
ˆ
et
R
ˆ
sont les angles à la base.
Ils sont égaux :
E
ˆ
=
R
ˆ
Le triangle MER a un axe de symétrie : c’est la
médiatrice de [ER].
Propriétés (admises) :
Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Construction (exemple) : Construire un triangle isocèle ABC tel que : AB = AC = 2,5 cm
et BC = 1,5 cm.
Remarque : Puisque AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A et [BC] est sa base.
. On trace un segment [BC] mesurant 1,5 cm.
. On trace le cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.
On trace le cercle de centre C et de rayon 2,5 cm.
. Ces deux cercles se coupent en deux points. Il y a donc deux solutions possibles.
Le triangle ABC tracé est l’une de ces solutions.
Remarque : on se contentera de tracer
les arcs « utiles ».
S
M H
R
E
M
B
A
C