La Leçon

4ème – Ch. 8
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Voir : 5ème, chapitres 4, 5 et 6 ; 4ème, chapitre 5.
I) Côté adjacent
Définition :
Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu est déterminé par deux côtés. L’un de
ces côtés est l’hypoténuse, l’autre est appelé le côté adjacent à l’angle.
Exemple :
L'hypoténuse
A
C
B
Le côté adjacent
Le côté ad
j
acent* à l'an
g
le ABC
à ACB
n
n
(*sous-entendu : autre que l’hypoténuse.)
II) Cosinus d’un angle aigu
A) Propriété (Application au triangle rectangle)
Propriété :
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport entre la
longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse.
Traduction par une figure codée :
Hypothèses Conclusion
Si
A
C
B
alors
cos
n
ABC = BA
BC
et
cos
n
ACB = CA
CB
Remarques :
• « cos
n
ABC » se lit « cosinus de l’angle
n
ABC ».
• Le cosinus permet de calculer des longueurs de côtés et des mesures d’angles.
• Si cos
n
ABC = BA
BC , alors AB = BC × cos
n
ABC et BC =
n
cos
AB
ABC
.
• Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est un nombre (sans unité)
compris strictement entre 0 et 1.
B) Calculatrice
Attention ! On vérifie que la calculatrice est bien en mode degré.
En général, on obtient une valeur approchée.
Chapitre 8
Triangle rectangle : cosinus.

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Exemples :
• Pour calculer le cosinus d’un angle de 42° :
42° ?
cosinus
On tape, cos 42 =. On écrit, cos42° ≈ 0,74.
• Pour calculer la mesure de l’angle aigu dont le cosinus vaut 0,7 :
0,7
?cosinus
On tape 2nd cos 0,7 = ou cos–1 0,7 =.
On écrit, cos
n
xOy = 0,7 d’où
n
xOy ≈ 45,6°.
III) Applications
A) Angle
Exemple :
AB
C
7
11
?
• On a dans le triangle ABC rectangle en A
d’hypoténuse [BC], CA = 7 et CB = 11.
• On peut alors utiliser la définition du cosinus.
• On peut ainsi déduire que, cos
n
ACB = CA
CB
Donc cos
n
ACB = 7
11 d’où
n
ACB ≈ 50,5°.
B) Longueur
Exemples :
1)
30°
8 cm
?
TR
I
Dans le triangle TRI, rectangle en R, on peut écrire :
cos
n
ITR = TR
TI donc cos30 = 8 TI
TI1
830cos (4ème proportionnelle)
D’où TI = 8cm
cos30° (la valeur exacte) et TI ≈ 9,2 cm (une valeur approchée arrondie à
0,1 près).
2)
10
?
A
DJ
60
• ADJ rectangle en D.
• Cosinus.
• cos
n
DAJ = AD
AJ donc cos 60 = 10
AD
d’où AD = 10 × cos60 et TI = 5.
IV) Vocabulaire
Le mot cosinus vient du latin « co » ou « cum » qui signifie « avec » et de « sinus »
qui signifie « cavité ». Le cosinus d’un angle est le quotient des deux côtés qui ont
en commun cet angle.