La Leçon

4ème – Ch. 8
Chapitre 8
Triangle rectangle : cosinus.
Voir : 5ème, chapitres 4, 5 et 6 ; 4ème, chapitre 5.
I)
Côté adjacent
Définition :
Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu est déterminé par deux côtés. L’un de
ces côtés est l’hypoténuse, l’autre est appelé le côté adjacent à l’angle.
Exemple :
C
Le côté adjacent
n
à ACB
L'hypoténuse
A
B
n
Le côté adjacent* à l'angle ABC
(*sous-entendu : autre que l’hypoténuse.)
II)
Cosinus d’un angle aigu
A) Propriété (Application au triangle rectangle)
Propriété :
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport entre la
longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse.
Traduction par une figure codée :
Hypothèses
C
Si
alors
A
B
Conclusion
BA
cos n
ABC =
BC
et
CA
cos n
ACB =
CB
Remarques :
• « cos n
ABC » se lit « cosinus de l’angle n
ABC ».
• Le cosinus permet de calculer des longueurs de côtés et des mesures d’angles.
AB
BA
• Si cos n
ABC =
, alors AB = BC × cos n
ABC et BC =
.
BC
cos n
ABC
• Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est un nombre (sans unité)
compris strictement entre 0 et 1.
B) Calculatrice
Attention ! On vérifie que la calculatrice est bien en mode degré.
En général, on obtient une valeur approchée.
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4ème – Ch. 8
Exemples :
• Pour calculer le cosinus d’un angle de 42° :
cosinus
42°
?
On tape, cos 42 =.
On écrit, cos42° ≈ 0,74.
• Pour calculer la mesure de l’angle aigu dont le cosinus vaut 0,7 :
cosinus
0,7
?
On tape 2nd cos 0,7 = ou cos–1 0,7 =.
n = 0,7 d’où xOy
n ≈ 45,6°.
On écrit, cos xOy
III)
Applications
A) Angle
Exemple :
C
?
7
•
On a dans le triangle ABC rectangle en A
d’hypoténuse [BC], CA = 7 et CB = 11.
• On peut alors utiliser la définition du cosinus.
CA
• On peut ainsi déduire que, cos n
ACB =
CB
7
Donc cos n
ACB =
d’où n
ACB ≈ 50,5°.
11
11
A
B
B) Longueur
Exemples :
1)
?
I
30°
T
D’où TI =
8 cm
8 cm
(la valeur exacte) et TI ≈ 9,2 cm (une valeur approchée arrondie à
cos 30°
0,1 près).
2)
D
? 60
A
R
Dans le triangle TRI, rectangle en R, on peut écrire :
n = TR donc cos30 = 8
cos ITR
TI
TI
cos 30 8
(4ème proportionnelle)
1
TI
J
•
•
•
10
ADJ rectangle en D.
Cosinus.
n = AD donc cos 60 = AD
cos DAJ
AJ
10
d’où AD = 10 × cos60 et TI = 5.
IV)
Vocabulaire
Le mot cosinus vient du latin « co » ou « cum » qui signifie « avec » et de « sinus »
qui signifie « cavité ». Le cosinus d’un angle est le quotient des deux côtés qui ont
en commun cet angle.
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