CHAPITRE 4 DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES

GIN 601 – Introduction au calcul matriciel Chap. 4 - 1 Ammar Yahia, Génie Civil
CHAPITRE 4
DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES
Introduction
Dans l’algèbre matricielle, les déterminants occupent une place d’importance tant en théorie
qu’en pratique. C’est que la valeur numérique du déterminant d’une matrice carrée donne toutes
sortes d’information de nature tant algébrique que géométrique sur cette matrice. Dans ce
chapitre, nous traiton des aspects algébriques et géométrique des matrices carrées.
La notion de déterminant peut être abordée de nombreuses façons, par exemple, à partir
d’axiome, de propriétés, de sommes de permutation, etc. Quelques-unes de ces façons sont
présentées dans les cours plus avancés.
Dans le cadre de ce cours, nous introduisons la notion de déterminant par la résolution de
système d’équations linéaires. Il deviendra ensuite possible de résoudre certains systèmes
d’équations linéaires à l’aide de déterminant (notions que nous allons aborder dans le cours
d’algèbre linéaire).
Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette section, l’étudiant (e) pourra utiliser le déterminant. Plus précisément,
l’étudiant sera en mesure de :
- Définir et calculer un mineur,
- Définir et calculer un cofacteur,
- Déterminer la matrice des cofacteurs,
- Calculer le déterminant d’une matrice carrée
- Calculer le déterminant d’une matrice carrée à l’aide de théorèmes,
- Définir la matrice adjointe d’une matrice carrée,
- Définir une matrice singulière et une matrice régulière,
- Déterminer l’inverse d’une matrice carrée

GIN 601 – Introduction au calcul matriciel Chap. 4 - 2 Ammar Yahia, Génie Civil
4.1 Déterminant d’une matrice carrée
Nous pouvons démontrer qu’une matrice carrée A est inversible seulement lorsque nous
pouvions transformer la matrice augmentée de la forme [A | I] en une nouvelle matrice
augmentée de la forme [I | B] où B = A-1.
Dans ce chapitre, nous utiliserons le déterminant d’une matrice carrée pour établir si la
matrice est inversible et pour trouver cette matrice inverse.
Avant de définir le déterminant d’une matrice carrée, nous allons résoudre de façon générale
des systèmes d’équations linéaires où le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations.
Nous pourrons ainsi introduire la notion de déterminant d’une matrice carrée.
Système d’équation linéaire à une équation et à une variable
Soit l’équation : a11x1 = b1, où a11 et b1  IR
Cette équation peut être écrite sous la forme Ax = B de la façon suivante :
[a11][x1] = [b1]
En résolvant l’équation a11x1 = b1 , nous obtenons x1 =
11
1
a
b
, si a11  0
Le terme a11 du dénominateur s’appelle le déterminant de la matrice A, où A = [a11]. Le
déterminant d’une matrice A est noté dét A ou |A|.
Définition: Soit A = [a11]. Le déterminant de la matrice A est défini par dét A = a11
Soit les matrices A = [3] et B = [-6]. Le déterminant des matrices A et B : dét A = 3
et dét B = -6.
Système d’équations linéaires à deux équations et à deux variables
Soit le système d’équations :
S:
b xa xa
b xa xa
2222121
1212111
où aij et bi  IR
Ce système peut être écrit sous la forme Ax = B de la façon suivante :
2221
1211 aa
aa
2
1
2
1b
b
x
x

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Essayons de résoudre ce système par la méthode d’addition :
ab-b xa- xa)4()3(
)4()()2()2(ab- xaa xaa-
)3()1()1(b xa xa
1222211122112211
121222122211221
222212221212211
aaa
a
aaaa
Par conséquent :
)0a-a(
a-a ab-b
x12212211
12212211
122221
1 aasi
aa
a
)0a-a(
a-a ab-b
x12212211
12212211
211112
2 aasi
aa
a
Nous constatons que le dénominateur de x1 est identique à celui de x2. L’expression
(dénominateur) a11a22 – a21a12 s’appelle le déterminant de la matrice A, où A est donnée par :
A =
2221
1211 aa
aa
. Le déterminant de la matrice A
2221
1211 aa
aa
est également noté
2221
1211 aa
aa
Définition: Soit la matrice A =
2221
1211 aa
aa
. Le déterminant de la matrice A est défini par :
dét A = |A| = a11a22 – a21a12
Voici un moyen simple pour retenir la formule de déterminant d’une matrice 2 x 2
Exemples
1) Soit la matrice A =
23
14
. Calculer le déterminant de la matrice A.
2) Soit la matrice B =
33
13
. Calculer le déterminant de la matrice B.
2221
12
a
a
a
11
a
2221
12
a
a
a
11
a
2221
12
a
a
a
11
a
a12a21 a11a22
= a11a22 - a12a21
2221
12
a
a
a
11
a
a12a21 a11a22
= a11a22 - a12a21

GIN 601 – Introduction au calcul matriciel Chap. 4 - 4 Ammar Yahia, Génie Civil
Interprétation géométrique des déterminants
Soit les points A (4, 1), B (2, 3) et les segments de droites reliant ces points à l’origine O (0,
0).
Complétons le parallélogramme OACB,
où C (4+2, 3+1) = C(6, 4).
Calculons l’aire du parallélogramme OACB en calculant l’aire du rectangle OECF et en
soustrayant l’aire des rectangles R1 et R2 de même que celle des triangles T1, T2, T3 et T4.
O(0, 0)
C(6, 4)
E(0, 4)
F(6, 0)
R1
R2
T1
T2
T3
T4
A
B
O(0, 0)
C(6, 4)
E(0, 4)
F(6, 0)
R1
R2
T1
T2
T3
T4
A
B
B(2, 3)
A(4, 1)
O(0, 0)
B(2, 3)
A(4, 1)
O(0, 0)
C(6, 4)
B(2, 3)
A(4, 1)
O(0, 0)
B(2, 3)
A(4, 1)
O(0, 0)
C(6, 4)

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Aire T1 = aire T3 = x
Aire T2 = aire T4 = y
Aire R1 = aire R2 = z
Aire OACB = Aire OECF – 2x – 2y – 2z = (4+2)(3+1) - 2
223x
- 2
214x
- 2 (2 x 1)
= 4 x 3 – 2 x 1
Ainsi l’aire du parallélogramme correspond à
31
24
, c’est-à-dire au déterminant de la
matrice A =
31
24
, dont les colonnes représentent les cordonnées des points A et B (aussi les
composantes des vecteurs
AO
et
BO
).
De façon générale, nous admettons que peu importe la position des points A (a1, a2) et B (b1,
b2) dans le plan, le calcul du déterminant de A =
22
11
ba
ba
permet d’obtenir, à un signe près,
l’aire du parallélogramme engendré par les segments de droite OA et OB.
Exemple
Soit A(4, -2) et B(1, 2), deux points du plan cartésien.
1) Représenter le parallélogramme engendré par les segments de droite OA et OB.
2) Calculer l’aire du parallélogramme
A(4, -2)
O(0, 0)
B(1, 2)
O(0, 0)
A(4, -2)
O(0, 0)
B(1, 2)
O(0, 0)
A(4, -2)
O(0, 0)
B(1, 2)
O(0, 0)
A(4, -2)
O(0, 0)
B(1, 2)
O(0, 0)