La méthode des graphes. Exemples et applications.

La m´ethode des graphes.
Exemples et applications.
J.-F. Mestre.
Ed.
February 19, 2011
1 Introduction
Soit Sk(N, ε) l’espace des formes paraboliques de poids k, de niveau Net de caract`ere
ε, o`u ket Nsont des entiers ≥1, et εun caract`ere de Dirichlet mod N. Il existe
plusieurs mani`eres d’en construire une base. On peut par exemple utiliser la formule
des traces de Selberg: notons Tr(n) la trace de Tn, le nienne op´erateur de Hecke. La
fonction
f=∞
X
n=1
Tr(n)qn
appartient alors `a Sk(N, ε). L’ensemble des fi=Tifengendre cet espace et cela
permet th´eoriquement d’en obtenir une base. Par exemple, si Nest premier, si
ε= 1, et si k= 2, l’ensemble des fi, 1 ≤i≤g, o`u gest le genre de X0(N), est une
base de S2(N, 1).
Mais mˆeme dans ce cas, qui est le plus favorable, les calculs deviennent rapide-
ment insurmontables: sur un ordinateur de taille moyenne, on ne peut gu`ere esp´erer
traiter des niveaux Nplus gros que 5000 (toujours avec Npremier, poids 2 et car-
act`ere trivial): en effet, le calcul de Tr(n) n´ecessite la connaissance de nombreux
nombres de classes de corps quadratiques imaginaires - dont le discriminant est de
l’ordre de grandeur de n– et, pour avoir la base f1, f2, . . . , fg, il faut calculer Tr(n)
pour n≤g2.
Nous d´ecrivons dans le paragraphe suivant une m´ethode, la “m´ethode des graphes”,
reposant sur des r´esultats de Deuring et Eichler, et d´eveloppe´ee par J. Oesterl´e et
moi-mˆeme, qui permet d’obtenir plus rapidement (au moins dans le cas Npremier)
une base de S2(N, 1).
Dans le second paragraphe, nous indiquons comment cette m´ethode a permis de
montrer que certaines courbes elliptiques d´efinies sur Qsont des courbes de Weil
(ce qui, en l’occurrence, par l’obtention d’une courbe de Weil ad´equate, donne tous
1

les corps quadratiques imaginaires de nombres de classes 3, `a l’aide d’un r´esultat de
Goldfeld et des travaux r´ecents de Gross et Zagier).
Le troisi`eme paragraphe est consacr´e `a la v´erification d’une conjecture de Serre
dans certains cas particuliers, v´erification qui a ´et´e possible grˆace `a la m´ethode
expos´ee dans le premier paragraphe. On sait que cette conjecture, si elle est vraie,
a de nombreuses cons´equences (la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, ainsi que
le th´eor`eme de Fermat, en d´ecouleraient en particulier).
2 La m´ethode des graphes
2.1 D´efinitions et notations
Dans ce qui suit, pd´esigne un nombre premier, N1un entier positif premier `a p. On
pose N=pN1.
Soit
MN=⊕SZ[S]
o`u Sd´ecrit l’ensemble des points supersinguliers de X0(N1) en caract´eristique p,
c’est-`a-dire l’ensemble des couples (E, C) form´es d’une courbe elliptique d´efinie sur
Fpmunie d’un groupe cyclique Cd’ordre N1. Deux tels couples sont identifi´es s’ils
sont, dans un sens ´evident, Fp-isomorphes.
Posons
αS=|Aut(S)|
2,
o`u Aut(S) d´esigne le groupe des Fp-automorphismes de S. On a toujours αS≤12,
et mˆeme, si pne divise pas 6, αS≤3.
On peut alors d´efinir un produit scalaire sur MNpar hS, Si=αSet hS, S0i= 0
si S6=S0. Soit Eis = Pα−1
S[S], et soit
M0
N=nXxS[S] : XxS= 0o
l’orthogonal de Eis.
Pour tout entier n≥1 premier `a p, on d´efinit un op´erateur Tnsur Mpar:
Tn(E, C) = X
Cn
(E/Cn,(C+Cn)/Cn),
o`u Cnparcourt les sous-groupe d’ordre nde Edels que C∩Cn={0}.
Pour tout entier qdivisant N1et premier `a q0=N1/q, on d´efinit de mˆeme des
involutions Wqpar:
Wq(E, C) = (E/q0C, (Eq+C)/q0C),
2

o`u Eqest le groupe des points d’ordre qde E.
Enfin, on d´efinit une involution Wppar Wp=−Frobp, o`u Frobpest l’endomorphisme
de MNqui transforme (E, C) en (Ep, Cp). (Le fait qu’il s’agit d’une involution refl`ete
le fait que les points supersinguliers sont d´efinis sur Fp2.)
Ces divers op´erateurs poss´edent les propri´et´es suivantes: l’ensemble des Wqet des
Tn,npremier `a N, engendre un semi-groupe commutatif d’op´erateurs hermitiens par
rapport au produit scalaire h·,·i. Les Tncommutent entre eux pour tout npremier
`a p. Si q=q1q2,q1et q2premiers entre eux, et si n=n1n2,n1et n2premiers entre
eux et premiers `a p, on a Wq=Wq1Wq2et Tn=Tn1Tn2.
Par ailleurs, pour tout ddivisant N1, on a un morphisme φdde MNvers MN/d
qui transforme (E, C) en (E, dC). Ce morphisme commute aux Tn,npremier `a N,
et aux Wq, pour qdivisant N/d. Pour ddivisant N1et premier `a N1/d, on a la
formule
Tdφd=φd(Td+Wd)
2.2 Un isomorphisme avec S2(N)
On consid`ere ici l’espace S2(N) des formes paraboliques de poids 2 sur le groupe
Γ0(N), muni de sa structure naturelle de T-module, o`u Test l’alg`ebre de Hecke [1].
Th´eor`eme 2.1. Il existe un isomorphisme, compatible avec l’action des op´erateurs
de Hecke, entre l’espace vectoriel M0
N⊗Cet le sous-espace de S2(N) engendr´e par
les newforms de niveau Net les oldforms provenant des formes paraboliques de poids
2 et de niveau pd,ddivisant N1.
Remark 2.2. Supposons N(ou N1, cela revient au mˆeme) sans facteur carr´e. On
peut alors d´eterminer facilement le sous-espace de M0
Ncorrespondant aux newforms
de S2(N): il s’agit du sous-espace form´e des xtels que, pour tout ddivisant N1, on
ait
φd(x) = φd(Wd(x)) = 0.
En particulier, si N=pq,qpremier, c’est le sous-espace de Mpq intersection du
noyau de φqet de φqWq.
2.3 Rapport avec les alg`ebres de quaternions
Les matrices des op´erateurs Tnagissant sur MNne sont rien d’autre que les matrices
de Brandt classiques [15], construites d’ordinaire `a partir d’alg`ebres de quaternions.
En effet, soit Bp,∞l’alg`ebre de quaternions sur Qramifi´ee en pet l’infini, soit
Oun ordre d’Eichler de niveau N1(d´efini par Eichler [6] dans le cas o`u N1est sans
facteur carr´e, et d´efini dans le cas g´eneral par Pizer [14]), et soient I1, I2, . . . , Ihdes
repr´esentants des classes d’id´eaux `a gauche de O.
3

Soient Oiles ordres `a droite (i.e., normalisateurs `a droite) des id´eaux Ii, et eile
nombre des unit´es de Oi. La matrice de Brandt B(n)=(b(n)
i,j ) a lors comme terme
g´en´eral
b(n)
i,j =e−1 j· |{α:α∈I−1 jIi,Nor(α) Nor(Ij)/Nor(Ii) = n}|,
o`u Nor est la norme sur Bp,∞(la norme d’un id´eal ´etant le pgcd des normes de ses
´el´ements non nuls).
Dans le langage des courbes supersinguli`eres en caract´eristique p, on peut donner
de ces matrices, o`u plus exactement de leurs transpos´ees l’interpr´etation suivante:
Soit Sun point supersingulier comme en I.1, c’est-`a-dire une courbe elliptique
supersinguli`ere Ed´efinie sur Fpmunie d’un groupe Ccyclique d’ordre N1. L’anneau
des endomorphismes O1de Sest un ordre d’Eichler de niveau N1. A tout autre
point supersingulier S0= (E0, C0), associons l’ensemble IS,S0des homomorphismes
de Svers S0, i.e. l’ensemble des homomorphismes αde Esur E0qui envoient Csur
C0. C’est de mani`ere ´evidente un id´eal `a droite sur O1, et l’id´eal inverse n’est autre
que IS0,S. On peut alors montrer que tout id´eal `a droite de O1est obtenu de cette
mani`ere, et que tout ordre d’Eichler de niveau N1est anneau d’endomorphismes d’un
point supersingulier S. Il est alors clair que le term g´en´eral b(n)
i,j de la nieme matrice
de Brandt est le nombre d’isog´enies de Sivers Sj(les points supersinguliers ´etant
convenablement index´es), deux telles isog´enies ´etant identifi´ees si elles diff`erent par
un automorphisme de Sj. On retrouve donc la matrice de l’op´erateur Tnagissant
sur le module MN.
D’autre part, si `a tout couple de points supersinguliers (S, S0) on associe la fonc-
tion
θS,S0(q) = X
α
qdeg α
o`u αparcourt les morphsimes de Svers S0, on retrouve les fonctions θclassique-
ment associ´ees aux id´eaux d’ordres de quaternions, ou, si l’on pr´ef`ere, aux formes
quadratiques enti`eres d´efinies positives `a 4 variables.
Il est alors facile de montrer que, si PxS[S] est un ´el´ement de MN⊗Cvecteur
propre de tous les op´erateurs de Hecke, et si f(q) est la forme modulaire correspon-
dante, on a, pour tout S0:
xS0f(q) = X
S
xSθS,S0
ce qui permet en th´eorie de trouver `a partir des xSles coefficients ande f. En
pratique, malheureusement, le calcul d’un andemande la connaissance de toutes les
isog´enies de degr´e narrivant vers S0, et il ne semble pas y avoir d’algorithme simple
pour cela.
N´eanmoins, dans certains cas, il existe une autre m´ethode pour calculer les coef-
ficients de fqui ce prˆete plus facilement au calcul:
supposons donc ici Npremier (donc ´egal `a p) ou Nde la forme pq, o`u qest
premier et X0(q) de genre 0 (donc q= 2,3,5,7 ou 13).
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Dans l’appendice, nous donnons dans chacun de ces cas une ´equation de X0(q)
de la forme xy =pk, ainsi que l’action de op´erateurs de Hecke T2et T3sur X0(q),
qui est donn´ee par une ´equation ´etonnament simple compar´ee `a celle des polynˆomes
modulaires Φ2(j, j0) et Φ3(j, j0) (qui donnent l’action de T2et T3sur X0(1), param´etr´e
par l’invariant modulaire j, cf. le paragraphe 2.4).
Posons u=xsi N=pq et u=jsi N=p. Le d´eveloppement de Fourier de uau
voisinage de l’infini est alors 1/q +···. Soit f(q) = Panqnune newform normalis´ee
de niveau Net poids 2 correspondant `a un vecteur PxS[S] de M0
N⊗K, o`u K
est l’extension de Qengendr´ee par les an. Il existe alors un id´eal premier ℘de K
au-dessus de ptel qu’on a:
XxSu(S)f(q)dq
q≡XxS
du
u−u(S)(mod ℘).(1)
(Il s’agit d’une congruence entre s´eries de Laurent en q).
Supposons par exemple que fcorresponde `a une courbe de Weil de conducteur
N, donc que les ansoient dans Z. Les xSsont alors dans Z, et on peut montrer
que PxSu(S)6= 0. On connait donc les anmod ppour tout n. Mais l’in´egalit´e de
Hasse |al|<2√lpour lpremier montre qu’en fait on les connait exactement pour
n < p2/16.
2.4 Construction explicite du r´eseau MN
Dans ce paragraphe, nous supposons pour simplifier que Nest impair. Supposons
connu un mod`ele explicite de la courbe X0(N1), ainsi que l’action de l’op´erateur de
Hecke T2sur ce mod`ele (cf. Appendice).
Il nous fait d’abord trouver un point supersingulier. Notons qu’ils sont tous
d´efinis sur Fp2. Par exemple, supposons pour simplifier N=p. On cherche d’abord
si pest inerte dans l’un des 9 corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 1.
Si oui, on peut prendre pour valeur de jinitiale l’invariant modulaire de la courbe `a
multiplications complexes par l’anneau des entiers du corps correspondant. Si non,
on peut connaˆıtre une liste des polynˆomes minimaux des invariants modulaires de
courbes elliptiques `a multiplications complexes par des corps quadratiques imagi-
naires de petit nombre de classes, et appliquer la mˆeme m´ethode. Il faut ici r´esoudre
dans Fp2une ´equation polynomiale, ce qui se fait en log pop´erations – tout au moins
probabilistiquement. Supposons enfin que toutes ces tentatives aient ´echou´ees; il
reste la possibilit´e d’´enum´erer toutes les valeurs de Fpjusqu’`a en trouver une super-
singuli`ere. On sait qu’il en existe toujours dans Fp, mais malheureusement en assez
petit nombre – de l’ordre de grandeur du nombre de classes de Q(√−p), soit environ
√p.
Supposons donc connu un point supersingulier S1. La connaissance de l’action
de T2sur le mod`ele donn´e de X0(N1) nous permet d’obtenir les trois points super-
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