interferences localisees : lames prismatiques et anneaux de newton.

OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE
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INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES
ET ANNEAUX DE NEWTON.
PLAN DU COURS
1.
Lames prismatiques. .................................................................................................................................. 2
1.1
Les indices de réfraction. ................................................................................................................... 3
1.2
Expression de la différence de chemins optiques. ............................................................................ 3
1.3
Expression de l’ordre d’interférence. ................................................................................................ 3
1.4
Forme des franges d’interférences. .................................................................................................. 3
1.5
Interfrange. ........................................................................................................................................ 4
1.6
Position des franges. ......................................................................................................................... 4
2. Anneaux de Newton. .................................................................................................................................. 6
2.1
Expression de la différence de chemins optiques. ............................................................................ 6
2.2
Expression de l’ordre d’interférence. ................................................................................................ 7
2.3
Forme des franges. ............................................................................................................................ 7
2.4
Calcul des rayons des anneaux brillants et sombres. ........................................................................ 7
2.5
Observation des anneaux. ................................................................................................................. 8
3. Exemples de calculs. ................................................................................................................................... 8
DESCRIPTION DU CHAPITRE
Après avoir étudié les interférences créées par les lames minces d’épaisseur constante, on passe à l’étude
d’autres systèmes permettant l’observation et l’utilisation de phénomènes d’interférences. Il s’agit ici
d’étudier les interférences obtenues par des lames minces d’épaisseur variable. On envisagera dans ce
cours, l’étude des interférences produites par une lame prismatique ainsi que l’étude des anneaux de
Newton. On cherchera dans les deux cas, à donner l’expression de la différence de marche entre deux
rayons qui interfèrent, l’expression de l’ordre d'interférences, à déterminer la forme des franges
d’interférences et à calculer les positions de ces franges.
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1. Lames prismatiques.
On envoie un faisceau de lumière parallèle sur un prisme de petit angle α. L’incidence est normale sur le
premier dioptre (les rayons arrivent sur le premier dioptre en faisant un angle de 90° avec le dioptre). On
construit alors les deux premiers rayons réfléchis et transmis. On obtient la figure ci-dessous pour la
construction des deux premiers rayons réfléchis :
R1
R2
Rayon incident
Dioptre 1
Dioptre 2
T1
T2
Le rayon incident arrive au point I du premier dioptre. A cet endroit l’épaisseur de la lame prismatique est e
= IJ. Si on note x la distance de l’arête au point I, on obtient e  x. , où α est l’angle (exprimé en radian) au
sommet du prisme. Sur la figure on a uniquement représenté les deux premiers rayons réfléchis et les deux
premiers rayons transmis. La valeur réelle de l’angle α a été considérablement exagérée pour rendre les
constructions plus lisibles. En réalité les rayons R1 et R2 sont très proches l’un de l’autre et de même pour
les deux rayons T1 et T2.
D’un point vue physique, l’onde incidente se divise au point I, pour donner les deux premiers rayons R1 et
R2 qui vont interférer au point d’intersection des droites supportant les rayons R1 et R2. Cette intersection
sera présente au voisinage de la lame, plus exactement dans le cas de la figure ci-dessus, dans la lame. La
même remarque est valable pour les deux rayons T1 et T2.
LES INTERFERENCES OBTENUES PAR DES LAMES PRISMATIQUES
SONT LOCALISEES AU VOISINAGE DE LA LAME.
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1.1 Les indices de réfraction.
On note ni l’indice de réfraction du milieu dans le quel se propage le rayon incident.
On note n l’indice de réfraction de la lame prismatique.
On note nt l’indice du milieu au-delà du dioptre 2.
1.2 Expression de la différence de chemins optiques.
L’expression de la différence de chemins optiques géométrique (entre R1 et R2 ou entre T1 et T2) est : géo =
2.n.e = 2.n.α.x
Pour obtenir l’expression de la différence de chemins optiques totale, il faut tenir la même discussion que
pour les lames d’épaisseur constante (chapitre précédent) sur les réflexions vitreuses et ajouter selon les
cas étudiés un terme supplémentaire égal à /2.
Exemple, pour le cas d’une lame prismatique de verre dans l’air (ni = nt = 1 et n = indice du verre de la
lame), la réflexion en I est vitreuse et celle en J est non vitreuse. Conclusion : entre les deux rayons R1 et R2
qui interfèrent un chemin optique supplémentaire /2 sera ajouté à δgéo pour obtenir δtot. Par contre, pour
les deux rayons transmis, les deux réflexions, en J et K, sont de même nature (non vitreuse), donc pas de
terme supplémentaire.
1.3 Expression de l’ordre d’interférence.
La définition reste :

p  tot

L’expression générale (présence ou pas du terme supplémentaire) de p devient alors :


 tot 2ne    2 2nx   2 2nx
1
, où  peut prendre les valeurs 0 ou 1
p



 




2
(selon le nombre de réflexions vitreuses).
1.4 Forme des franges d’interférences.
Pour déterminer la forme (ou géométrie) des franges d’interférences on résout l’équation p=constante.
Puisque les valeurs de n, α et λ sont constantes, la condition p=constante implique e=constante et donc
x=constante. Plus précisément, si on considère tous les rayons lumineux incidents sur le dioptre 1 qui
arrivent sur ce dioptre de façon à ce que la distance point d’incidence-arrête soit la même, ils donneront
chacun deux rayons réfléchis (ou transmis) qui seront caractérisés par une même valeur de p.
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x
Les franges sont rectilignes, parallèles à l’arête du prisme et équidistantes (voir démonstration ci-dessous).
1.5 Interfrange.
L’interfrange est la distance notée i, séparant deux franges de même nature.
Son expression est : i 

2 n
Démonstration :
Soit p l’ordre d’interférence d’une frange située à la distance x de l’arrête, et p’ l’ordre d’interférence de la
frange voisine de même nature (par exemple deux franges brillantes successives ou deux franges sombres
successives) située, elle à la distance x’ de l’arrête. L’interfrange i est la distance entre les deux franges,
donc i = x’-x.
L’expression de p est : p 
L’expression de p’ est : p' 
2 n x

 
2nx'

1
2
 
On écrit la différence p’-p : p' p 
1
2
2nx'

 
1 2nx
1 2n
x' x   2n i

  
2

2


Comme les franges ont même nature et qu’elles sont voisines (la première et la deuxième brillante
Ou encore, la dixième et la onzième sombre), p’-p = 1. On en déduit : i 

2 n
1.6 Position des franges.
Pour déterminer les positions des franges (en général, on cherche les franges brillantes et sombres) on
utilise l’expression de l’ordre d’interférences p.
La valeur de p au niveau de l’arête est donnée par la condition x = 0. On obtient alors :
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p
2nx

 
5
1
1

2
2
Pour une lame prismatique de verre dans l’air, la valeur de p au niveau de l’arête sera égale à 0 en
transmission et à 0,5 en réflexion. On en déduit que l’arête sera vue brillante en transmission et sombre en
réflexion.
L’expression de p montre que si x augmente, p augmente.
On en déduit la valeur de p pour la première frange brillante : p = 1. Les valeurs de n, α et λ étant données,
on peut déduire la valeur de x1 donnant la position de la frange brillante N°1. On fait de même pour la
frange brillante N°2 qui sera, elle, caractérisée par l’ordre d’interférence p = 2.
Pour les franges sombres, la méthode est la même, mais, toujours en prenant l’exemple de la lame
prismatique de verre dans l’air, la frange sombre N°1 en réflexion sera caractérisée par p = 1,5 (0,5 étant
réservé à l’arête) et par p = 0,5 en transmission.
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2. Anneaux de Newton.
Un des dispositifs permettant l’observation des anneaux de Newton est le suivant :
R1
R2
Seuls
les
représentés
rayons
(pour
réfléchis
des
ont
été
raisons
de
commodité !). L’étude est identique à celle
réalisée pour la lame prismatique. On
constate que les deux premiers rayons qui
I
interfèrent se coupent (virtuellement) au
x
voisinage de la lame d’épaisseur variable.
Les
interférences
sont
localisées
au
voisinage de la lame.
2.1 Expression de la différence de chemins optiques.
La différence de marche géométrique est géo = 2.n.e, où n est l’indice de la mince lame d’épaisseur
variable, et e est l’épaisseur de la lame définie par le point d’incidence du rayon incident (voir le segment
en trais épais sur la figure ci-dessus). L’expression de l’épaisseur e en fonction de x est donnée par
l’expression de la flèche (approchée) : e  e0 
x2
où e0 représente la distance entre le sommet de la face
2R
sphérique et le dioptre plan (d’axe x) et R représente le rayon de courbure de la face sphérique de la
lentille. On en déduit l’expression de géo en fonction de x :
 géo  2.n.e0 
nx 2
R
Pour obtenir l’expression de tot il faut encore discuter la présence éventuelle du terme /2.
 Tot  2.n.e0 
nx 2


où la valeur de  est égale à 0 ou 1 (en fonction du nombre de réflexions
R
2
vitreuses).
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2.2 Expression de l’ordre d’interférence.
On en déduit l’expression de l’ordre d’interférences :
p
2.n.e0


nx 2
1

R
2
Prenons l’exemple du dispositif d’une lame parallèle posée (donc en contact, donc e0 = 0) sur une lentille
plan convexe. Entre la lame et la lentille, il y a de l’air.
En réflexion : p 
x2 1

R 2
En transmission : p 
x2
R
2.3 Forme des franges.
La forme des franges est donnée par la condition p = constante (on utilisera ici l’expression de p en fonction
de x) : p 
2.n.e0


nx 2
1

R
2
. Pour que la valeur de p reste constante il faut que x reste constant. La
symétrie du problème donne le résultat suivant : les franges sont circulaires et centrées sur l’axe optique de
la lentille : ce sont des anneaux. Dans le cas où il y a contact entre la lame à faces planes et parallèles et le
dioptre sphérique de la lentille, au centre de la figure, x = 0. On en déduit que le centre de la figure est
sombre en réflexion et brillant en transmission.
2.4 Calcul des rayons des anneaux brillants et sombres.
Pour le calcul des rayons (ou diamètres) des anneaux on utilise l’expression de p en fonction de x. Au centre
de la figure d’interférences, la valeur de p (notée p0) est minimum. Lorsque x augmente, p augmente. Donc
l’ordre d’interférence du premier anneau brillant est le premier entier supérieur à p0. L’ordre d’interférence
du premier anneau sombre est le premier nombre du type k+0,5 (où k est un entier) supérieur à p0. L’ordre
d’interférence d’un anneau étant caractérisé, on peut alors calculer la valeur de x qui correspond au rayon
de l’anneau recherché.
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2.5 Observation des anneaux.
Pour observer les interférences, on utilise un instrument d’optique de type loupe ou viseur. On peut
également prendre une photographie (le plan du négatif étant alors conjugué du plan où sont localisées les
franges d’interférences).
3. Exemples de calculs.
Exemple n°1 : anneau de Newton. On observe en réflexion les interférences produites en éclairant en
incidence normale un dispositif d’anneaux de newton. Le rayon de courbure de la face sphérique est de 1m.
L’indice de l’air est égal à 1. Il y a contact entre la lame plane et la lentille. La longueur d’onde est =546
nm. Calculer les diamètres des trois premiers anneaux brillants.
Solution :
L’ordre d’interférence entre les deux rayons réfléchis est : p 
x2 1

R 2
Au centre de la figure d’interférence, x = 0 et p0 = 0,5. Donc les ordres d’interférence des trois premiers
rayons sont 1, 2 et 3. On peut maintenant calculer les diamètres :
2
1 er anneau : p1  1 
x1
1

R 2


1
9
R  0,5.546 .10 .1  0,52 mm
2


1
9
R  1,5.546 .10 .1  0,64 mm
2


1
9
R  2,5.546 .10 .1  0,83 mm
2
le rayon de l’anneau 1 est : x1  1 
le rayon de l’anneau 2 est : x 2   2 
le rayon de l’anneau 3 est : x 3   3 
Exemple n°2 : lame prismatique. On considère un prisme de petit angle  = 5’ d’indice 1,5. Il est éclairé en
incidence normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d’onde  = 550 nm. L’ordre
d’interférence est : p 
n x


1
nx
en réflexion et p 
en transmission. L’ordre d’interférence calculé
2

sur l’arête est 0,5 en réflexion et 0 en transmission. On en déduit que l’arête est vue sombre en réflexion et
brillante en transmission.
En réflexion :


La frange n°k brillante a pour abscisse : x k   k 
La frange n°k sombre a pour abscisse x k  k .
1 
. .
2  n

.
n
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En transmission :
La frange n°k brillante a pour abscisse : x k  k .



.
n
La frange n°k sombre a pour abscisse x k   k 
1 
. .
2  n
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