1. Couples de variables aléatoires
S3 Maths 2016-2017 Statistique Couples et vecteurs aléatoires réels
Université de Picardie Jules Verne 2016-2017
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 3
Statistique
Couples et vecteurs aléatoires réels - Théorèmes limites
Dans ce chapitre on présente des résultats utiles au développement de la théorie de l’échantillonage.
1.Couples de variables aléatoires
1.1.Exemples
Lorsqu’on doit étudier simultanément deux variables aléatoires Xet Y, définies respectivement sur deux
espaces probabilisés 1,A1,P1et 2,A2,P2, la définition théorique de la situation doit utiliser un espace
qui "englobe" 1et 2, que l’on appelle espace produit. A un niveau élémentaire, il suffit de connaître la loi
conjointe des deux variables aléatoires, c’est-à-dire l’ensemble des probabilités
-PX,Yx,y PXxYy dans le cas discret
-FX,Yx,yPXxYy dans le cas continu.
1) On lance deux fois de suite la même pièce équilibrée portant le chiffre 1 sur Pile et 0 sur Face. On
désigne respectivement par Xet Yle chiffre obtenu aux 1er et 2ème lancer. On obtient alors la loi conjointe
suivante :
X\Y1 0
11
41
4
01
41
4
On a par exemple PX1Y0 1
4.
2) On dit qu’un couple X,Yde variables aléatoires à densité suit la loi Uniforme (à deux dimensions) sur
le rectangle a,bc,ds’il admet pour densité de probabilité la fonction fX,Ydéfinie sur 2par :
fX,Yx,y
1
badcsi axbet c yd
0 sinon
Cette loi modélise le choix aléatoire et équiprobable d’un point Mdans un rectangle de dimensions
baet dcde façon que la probabilité pour que Mse trouve dans une région donnée Rdu rectangle soit
proportionnelle à l’aire de cette région :
PMRaireR
aire rectangle
On peut alors calculer FX,Yx,yPXxYy
x
yfX,Yu,vdv du.
1.2.Loi conjointe et lois marginales dans le cas discret.
Soit X,Yun couple de v.a.r. discrètes.
Les lois de probabilité de Xet de Ysont la donnée de :
-XXxi,iI, avec Iet YYyj,jJ, avec J;
- pour tous iI,jJ,piPXxiet pjPYyj.
La loi de probabilité de X,Yest la donnée de :
-X,Y XYxi,yj,iI,jJ;
- pour tous iI,jJ,pi,jPX,Yxi,yj PXxiYyj.
Il est possible que certains couples xi,yjsoient de probabilité nulle (valeurs de Xet Yincompatibles).
Stéphane Ducay
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Définitions.
iL’application PX,Y:XY0,1
xi,yjpi,jest appelée loi conjointe du couple X,Y.
iiLes applications PX:X0,1
xipi
et PY:Y0,1
yjpjsont appelées lois marginales de
X,Y. Ce sont les lois de probabilité PXet PYde Xet Y.
Proposition (admise).
Avec les notations précédentes, on a :
ipour tout iI,pi
jJpi,j.iipour tout jJ,pj
iIpi,j.iii
iI
jJpi,j1.
Ainsi, la loi conjointe du couple X,Ydétermine complètement chacune des lois marginales. Nous verrons
plus loin que la réciproque n’est pas vraie.
Proposition (admise).
Avec les notations précédentes, pour toutes parties Aet Bde , on a :
PXAYB
x
i
A
y
j
BPXxiYyj
x
i
A
y
j
Bpi,j.
Représentation de la loi conjointe et des lois marginales.
X\Y y1yjloi de X
x1p1,1 p1,jp1PXx1
xipi,1 pi,jpiPXxi
loi de Y p1PYy1pjPYyj1
Exemple.
Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire deux boules de l’urne.
Soit Xla variable aléatoire égale à 1 si la première boule est blanche, à 0 sinon.
Soit Yla variable aléatoire égale à 1 si la deuxième boule est blanche, à 0 sinon.
On distingue les deux types de tirage avec ou sans remise.
tirages avec remise tirages sans remise
X\Y0 1 loi de X
016
49 12
49 4
7
112
49 9
49 3
7
loi de Y4
73
71
X\Y0 1 loi de X
012
42 12
42 4
7
112
42 6
42 3
7
loi de Y4
73
71
On constate que les lois marginales sont identiques dans les deux cas, alors que les lois conjointes sont
différentes. Cela illustre bien le fait que la donnée des seules lois marginales ne suffit pas pour obtenir la loi
conjointe.
1.2.Indépendance
Un cas très important, en théorie et en pratique, est celui des variables aléatoires indépendantes.
Définition.
Soient Xet Ydeux variables aléatoires réelles. On dit qu’elles sont indépendantes si l’on a, pour tous réels
xet y: - PXxYy PXxPYydans le cas discret.
-PXxYy PXxPYydans le cas continu.
Exemples
Dans les exemples du paragraphe 1.1. et dans le cas avec remise ci-dessus, Xet Ysont indépendantes.
Stéphane Ducay
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1.3.Opérations sur une ou deux variables aléatoires
1.3.1.Changement d’origine et d’échelle
Il arrive souvent que l’on effectue une transformation affine XaX bsur une variable aléatoire X,a
étant le paramètre de changement d’échelle, et ble paramètre de changement d’origine. Il est important de
savoir comment se comportent les paramètres associés à cette nouvelle variable. On a les résultats suivants :
EaX baEXb;VaraX ba2VarX;aX b|a|X.
Une variable aléatoire d’espérance nulle est appelée variable aléatoire centrée ; une variable aléatoire
d’écart-type 1 est appelée variable aléatoire réduite.
Ainsi, à toute variable aléatoire Xd’écart-type non nul, on peut associer la variable aléatoire XEX
X
centrée réduite. Cette transformation est indispensable pour l’utilisation de la plupart des tables (comme celle
de la loi normale).
1.3.2.Somme et produit de deux variables aléatoires
Propriétés.
Soient Xet Ydeux variables aléatoires réelles admettant une espérance mathématique et une variance.
1) XYet XY sont des variables aléatoires. 2) On a toujours EXYEXEY.
3) Si Xet Ysont indépendantes, alors EXYEXEYet VarXYVarXVarY.
1.4.Covariance.Coefficient de corrélation
Lorsqu’on considère deux variables aléatoires simultanément, il faut définir un indicateur pour leur liaison
(on pourrait aussi dire leur dépendance), qui viendra compléter les paramètres qui les caractérisent chacune
séparément (espérance mathématique, variance, écart-type).
Définitions et propriétés.
Soient Xet Ydeux variables aléatoires réelles admettant une espérance mathématique et une variance.
On appelle covariance de Xet Yle réel CovX,YEXEXYEY EXYEXEY.
On appelle coefficient de corrélation linéaire de Xet Yle réel X,YCovX,Y
VarXVarYCovX,Y
XY.
De même que la variance de Xest homogène à X2et la variance de YàY2, la covariance de Xet Yest
homogène au produit XY. On en déduit immédiatement que le coefficient de corrélation de Xet Yest un
nombre sans dimension. Ces principales propriétés sont les suivantes :
- on a toujours 1X,Y1
- si Xet Ysont indépendantes, alors X,Y0CovX,Y; mais la réciproque est fausse : il peut se
trouver (par hasard !) que X,Y0CovX,Ysans que Xet Ysoient indépendantes.
- on a |X,Y|1 si et seulement si il existe une relation affine entre Yet X, c’est-à-dire YaX b; si
|X,Y|est proche de 1, Xet Yprennent des valeurs "peu" dispersées par rapport à une liaison affine.
Par ailleurs, de façon générale, on a VarXYVarXVarY2CovX,Y.
2.Vecteurs aléatoires.
Considérant nvariables aléatoires réelles X1,X2, ..., Xn, on peut généraliser "assez facilement" les notions
de loi conjointe et d’indépendance (mutuelle), et les opérations de somme et produit. On a en particulier
E
i1
nXi
i1
nEXi, et lorsque les Xisont indépendantes, Var
i1
nXi
i1
nVarXi. De façon générale,
on a Var
i1
nXi
i1
nVarXi2
1ijnCovXi,Xj. On peut de plus démontrer les résultats suivants.
1) a) Si Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes de lois Binomiales Bn1;pet Bn2;p, alors
XYsuit la loi Bn1n2;p.
b) Si X1,X2, ..., Xmsont mvariables aléatoires indépendantes de lois Binomiales Bn1;p,Bn2;p, ...,
Bnm;p, alors
i1
mXisuit la loi Binomiale Bn1n2nm;p.
c) Si X1,X2, ..., Xnsont nvariables aléatoires indépendantes de même loi Binomiale B1;p
(c’est-à-dire Bernoulli Bp), alors
i1
nXisuit la loi Binomiale Bn;p.
Stéphane Ducay
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2) a) Si Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes de lois Normales N
1;1
et N
2;2
,
alors XYsuit la loi N12;1
22
2.
b) Si X1,X2, ..., Xnsont nvariables aléatoires indépendantes de lois Normales N1;1,N2;2, ...,
Nn;n, alors
i1
nXisuit la loi N12n;1
22
2n
2.
c) Si X1,X2, ..., Xnsont nvariables aléatoires indépendantes de même loi Normale N;, alors
i1
nXi
suit la loi Nn;n.
3.Convergence
3.1.Formule des épreuves répétées
On considère une épreuve aléatoire à laquelle est associé un espace probabilisé ,A,P, et une variable
aléatoire réelle X. Si l’on répète nfois, de façon indépendante, cette épreuve, on obtient une situation
d’épreuves répétées, à laquelle est associée une suite X1,X2, ..., Xnde nvariables aléatoires qui sont :
- définies sur le même espace probabilisé ,A,P;
- de même loi ;
- indépendantes (mutuellement).
On dit parfois que les Xisont des copies (indépendantes) de la variable aléatoire parente X.
Supposons que Xadmette une espérance mathématique et un écart-type 0 (c’est-à-dire de variance
2). Il en est alors de même pour les Xi. Définissons les variables aléatoires Sn
i1
nXi(somme des Xi) et
Xn1
n
i1
nXi(moyenne des Xi). On a alors les résultats suivants :
ESnn,VarSnn2;Snn
EXn,VarXn2
n;Xn
n
Exemple
On effectue une expérience aléatoire au cours de laquelle un évènement Aa la probabilité pde se réaliser.
Considérant la variable aléatoire Xqui, une fois l’expérience réalisée, prend la valeur 1 si Aest réalisé et 0
sinon, on a X0,1,PX1pet PX01p. On dit que Xsuit la loi de Bernoulli Bp; on
peut remarquer qu’il s’agit de la loi Binomiale B1,p. On parle alors d’épreuve de Bernoulli. On a de plus
EXpet VarXp1p.
Répétant nfois cette même expérience aléatoire, et désignant par Xila variable aléatoire qui prend la
valeur 1 si Aest réalisé au cours de la i-ème expérience, et 0 sinon, alors on a bien une suite X1,X2, ..., Xnde
nvariables aléatoires qui sont de même loi de Bernoulli Bpque Xet indépendantes (mutuellement).
La variable aléatoire Sn
i1
nXi, qui désigne alors le nombre de réalisations de Aau cours des n
expériences, suit la loi Binomiale Bn,p.
On a bien ESnnp nEXet VarSnnp1pnVarX.
3.2.Loi faible des grands nombres
3.2.1.Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Le problème est de donner une consistance quantitative à la remarque déjà faite que, plus l’écart-type
d’une variable est faible, plus sa distribution est concentrée autour de sa moyenne.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit Xune variable aléatoire espérance mathématique et un écart-type .
Alors, pour tout réel t0, P|X|t1
t2.
Stéphane Ducay
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3.2.2.Loi faible des grands nombres
Etant donnée une situation d’épreuves répétées, auxquelles sont asociées les moyennes (variables
aléatoires) Xn, la propriété exprimée par le théorème suivant est la convergence en probabilité de la suite Xn
vers la variable aléatoire égale à l’espérance mathématiques . Ce théorème se démontre de façon simple à
partie de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Théorème
Soit une suite infinie Xide variables aléatoires indépendantes, de même espérance mathématique et
de même écart-type .
Alors, pour tout réel t0, on a lim
nP|Xn|t0.
Ce qui équivaut à lim
nPtXnt1.
Il faut comprendre qu’il s’agit de convergence en probabilité, qui n’est pas la convergence des fonctions
usuelles. Il est toujours possible que l’écart toit dépassé pour de très grandes valeurs de n, mais c’est de plus
en plus improbable.
3.3.Théorème central limite
Dans le chapitre précédent, on a déjà vu l’approximation de la loi Binomiale par la loi Normale. Ceci
montre qu’une somme de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli peut être approchée
par la loi Normale. Ce résultat est en fait plus général, et s’applique à toute autre loi que celle de Bernoulli.
Théorème
Soit une suite infinie Xide variables aléatoires indépendantes, de même espérance mathématique et
de même écart-type .
Soit la variable aléatoire ZnXn
n
Snn
net soit FZ
n
sa fonction de répartition.
Alors, pour tout réel x, on a lim
nFZ
n
xlim
nPZnx
x1
2e
t2
2
dt x.
Ainsi, si X1,X2, ..., Xnsont nvariables aléatoires indépendantes de même loi espérance mathématique
et de même écart-type , on dira que lorsque nest suffisamment grand, Xn
nsuit approximativement la loi
normale N0;1, autrement dit que Xnsuit approximativement la loi normale N;
n.
A noter que grâce aux résultats du paragraphe 2. si X1,X2, ..., Xnsont nvariables aléatoires indépendantes
de même loi Normale N;, alors Xnsuit (exactement) la loi normale N;
n. En effet,
i1
nXiest une
somme de nvariables aléatoires indépendantes de même loi normale N;donc
i1
nXisuit la loi normale
N;222Nn;n2. On en déduit que X1
n
i1
nXisuit la loi
normale N1
nn;1
nn2N;
n.
Stéphane Ducay
5
6
1
/
6
100%
