4.1. Droites et plans perpendiculaires : Théorèmes de base (a)

ENSA Marseille - s1ue5 08_09 Cours de Géométrie Descriptive
4.1. Droites et plans perpendiculaires : Théorèmes de base (a)
Théorème 1: une droite parallèle à une droite d’un plan P est parallèle à ce plan.
(d’) y
(δ’)
(D)
(d)
(δ)
(∆)
y’
N.B. cette droite n’est pas parallèle à toutes les droites du plan P.
Théorème 2: un angle droit dans l’espace se projette sur un plan selon un angle droit si et
seulement si un de ses côtés est parallèle à ce plan
Théorème 3: si une droite D est parallèle à un plan P, toute droite perpendiculaire à D se
projette sur ce plan, perpendiculairement à la projection de la droite D
P
(D)

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4.2. Droites et plans perpendiculaires : Théorèmes de base (b)
Théorème 4: lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.
(D)
y
y
Théorème 5: pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit qu’elle soit
perpendiculaire à deux droites concourantes de ce plan.
(L)
(D1)
(D1’)
(D2’)
y
(D2)

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4.3. Construction d’un plan parallèle à un autre et passant par un point M
a. le plan donné (plan directeur) est défini par deux droites sécantes
(d’)
(d1’)
m’
a’
(δ1’)
(δ’)
y y’
(δ)
(d1)
a
m
(d)
(δ1)
Théorème utilisé : une droite parallèle à une droite d’un plan P est parallèle à ce plan.
Méthode: Par le point M on fait passer deux droites, (D1) et (Δ1), parallèles à deux droites
sécantes connues, (D) et (Δ), du plan directeur.
Etapes :
i) par m dessin de la projection horizontale (d1) // (d) de la parallèle (D1) à (D)
ii) par m dessin de la projection horizontale (δ1) // (δ) de la parallèle (Δ1) à (Δ)
iii) par m’ dessin de la projection horizontale (d1’) // (d’) de la parallèle (D1) à (D)
iv) par m’ dessin de la projection horizontale (δ1’) // (δ’) de la parallèle (Δ1) à (Δ).

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4.4. Construction d’un plan parallèle à un autre et passant par un point M
b. le plan donné (plan directeur) est défini par ses traces
( ) (Q’) ( )
. . m’ ( )
y . . α . . ( ) (P’) y’
. . ( ) (Q )
( )
m
(P)
( ) ( )
Méthode:
- un plan horizontal passant par M coupe le plan recherché par une horizontale, le plan recherché
étant parallèle au plan Ω défini par les traces (P), (Q), ses horizontales sont parallèles à la trace
horizontale (P) de Ω.
- un plan frontal passant par M coupe le plan recherché par une frontale, le plan recherché étant
parallèle au plan Ω défini par les traces (P), (Q), ses frontales sont parallèles à la trace frontale (Q’)
de Ω .
Etapes :
v) par m dessiner la projection horizontale (h1 ) d’une horizontale du plan (P1,,α1,Q1)
vi) par m’dessiner la projection frontale (h1’) d’une horizontale du plan (P1,α1,Q1)
vii) intersection de (h1) avec la ligne de terre -> 1
viii) le rappel de 1 sur (h1’) -> 1’ point de la trace frontale du plan recherché,
ix) la parallèle à (Q’) passant par 1 -> (Q1’) trace frontale du plan recherché.
.
x) par m’ dessin de la projection frontale (f1’) d’une frontale du plan (P1,α1,Q1)
xi) par m dessin de la projection horizontale (f1) d’une frontale du plan (P1,α1,Q1)
xii) intersection de (f1’) avec la ligne de terre -> 2’
xiii) le rappel de 2’ sur (f1) -> 2 point de la trace frontale du plan recherché,
xiv) la parallèle à (P ) passant par 2 -> (P1)trace frontale du plan recherché.
.
xv) (P1 ,α ,Q1’) est la trace du plan recherché.

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4.5. Par un point mener la perpendiculaire à un plan (axonomérie de l’épure de résolution)
a. cas ou le plan est défini par ses traces
Orthogonalité (dans l’espace : rappel)
Deux droites sont orthogonales (dans l’espace) si elles admettent des parallèles qui sont coplanaires et
orthogonales (dans le plan de la coplanarité de ces parallèles).
Lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont respectivement
orthogonales aux traces de même nom du plan.
Autrement dit:
(i) la projection horizontale de la droite est perpendiculaire aux projections horizontales des
horizontales du plan.
(ii) la projection frontale de la droite est perpendiculaire aux projections frontales des frontales du
plan.
m’ (f’)
(F)
(Q)
F
M (h’)
(f)
(H)
N
(h)
(P)
α
y’ H
m