4.1. Droites et plans perpendiculaires : Théorèmes de base (a)

4.1. Droites et plans perpendiculaires : Théorèmes de base (a)
Théorème 1: une droite parallèle à une droite d’un plan P est parallèle à ce plan.
(d’)
y
(δ’)
(D)
(d)
(δ)
(∆)
y’
N.B. cette droite n’est pas parallèle à toutes les droites du plan P.
Théorème 2: un angle droit dans l’espace se projette sur un plan selon un angle droit si et
seulement si un de ses côtés est parallèle à ce plan
Théorème 3: si une droite D est parallèle à un plan P, toute droite perpendiculaire à D se
projette sur ce plan, perpendiculairement à la projection de la droite D
P
(D)
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4.2. Droites et plans perpendiculaires : Théorèmes de base (b)
Théorème 4: lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.
(D)
y
y
Théorème 5: pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit qu’elle soit
perpendiculaire à deux droites concourantes de ce plan.
(L)
(D1)
(D1’)
(D2’)
y
(D2)
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4.3. Construction d’un plan parallèle à un autre et passant par un point M
a. le plan donné (plan directeur) est défini par deux droites sécantes
(d’)
(d1’)
m’
a’
(δ1’)
(δ’)
y
y’
(δ)
(d1)
a
m
(d)
(δ1)
Théorème utilisé : une droite parallèle à une droite d’un plan P est parallèle à ce plan.
Méthode: Par le point M on fait passer deux droites, (D1) et (Δ1), parallèles à deux droites
sécantes connues, (D) et (Δ), du plan directeur.
Etapes :
i)
ii)
iii)
iv)
par m dessin de la projection horizontale
par m dessin de la projection horizontale
par m’ dessin de la projection horizontale
par m’ dessin de la projection horizontale
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(d1) // (d)
(δ1) // (δ)
(d1’) // (d’)
(δ1’) // (δ’)
de la parallèle (D1) à (D)
de la parallèle (Δ1) à (Δ)
de la parallèle (D1) à (D)
de la parallèle (Δ1) à (Δ).
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4.4. Construction d’un plan parallèle à un autre et passant par un point M
b. le plan donné (plan directeur) est défini par ses traces
(
)
(Q’)
. .
y. .
. .
(
m’
α
. .
)
( )
( ) (P’)
( ) (Q )
y’
(
)
m
(P)
(
)
(
)
Méthode:
- un plan horizontal passant par M coupe le plan recherché par une horizontale, le plan recherché
étant parallèle au plan Ω défini par les traces (P), (Q), ses horizontales sont parallèles à la trace
horizontale (P) de Ω.
- un plan frontal passant par M coupe le plan recherché par une frontale, le plan recherché étant
parallèle au plan Ω défini par les traces (P), (Q), ses frontales sont parallèles à la trace frontale (Q’)
de Ω .
Etapes :
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
xi)
xii)
xiii)
xiv)
xv)
par m dessiner la projection horizontale (h1 ) d’une horizontale du plan (P1,,α1,Q1)
par m’dessiner la projection frontale
(h1’) d’une horizontale du plan (P1,α1,Q1)
intersection de (h1) avec la ligne de terre -> 1
le rappel de 1 sur (h1’) -> 1’ point de la trace frontale du plan recherché,
la parallèle à (Q’) passant par 1 -> (Q1’) trace frontale du plan recherché.
.
par m’ dessin de la projection frontale (f1’) d’une frontale du plan (P1,α1,Q1)
par m dessin de la projection horizontale (f1) d’une frontale du plan (P1,α1,Q1)
intersection de (f1’) avec la ligne de terre -> 2’
le rappel de 2’ sur (f1) -> 2 point de la trace frontale du plan recherché,
la parallèle à (P ) passant par 2 -> (P1)trace frontale du plan recherché.
.
(P1 ,α ,Q1’) est la trace du plan recherché.
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4.5. Par un point mener la perpendiculaire à un plan (axonomérie de l’épure de résolution)
a. cas ou le plan est défini par ses traces
Orthogonalité (dans l’espace : rappel)
Deux droites sont orthogonales (dans l’espace) si elles admettent des parallèles qui sont coplanaires et
orthogonales (dans le plan de la coplanarité de ces parallèles).
Lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont respectivement
orthogonales aux traces de même nom du plan.
Autrement dit:
(i) la projection horizontale de la droite est perpendiculaire aux projections horizontales des
horizontales du plan.
(ii) la projection frontale de la droite est perpendiculaire aux projections frontales des frontales du
plan.
m’
(f’)
(F)
(Q)
F
M
(h’)
(f)
(H)
N
(h)
(P)
α
y’
H
m
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4.6. par un point M mener (L) la perpendiculaire
à un plan : (épure de l’isométrie du § 4.5)
(cas ou le plan Ω est défini par ses traces P,α,Q’)
(l’)
(Q’)
m’
Il s’agit là d’une figure théorique :
dans le cas général les droites (H) et (F)
ne se coupent pas en N.
(ici N = pied de la droite (L) sur le plan Ω)
y’
(f’)
n’
(h’)
α
(P’)'
(Q)
y
(f)
n
(h)
(P)
Méthode simplifiée résultante :
P horizontale de Ω et Q frontale de Ω ,
sont 2 droites du plan Ω concourantes en α.
P et Q vérifient donc les principes énnoncés en § 4.5.
Pour construire (L), il suffit de tracer (l) ⊥ P et (l’) ⊥ Q’
m
(l)
(Q’)
m’
Attention :
dans ce cas le pied N de la droite (L) sur le plan Ω
n’est pas connu, mais il peut être déterminé
aisément en faisant passer par la droite (L)
un plan auxiliaire Γ vertical ou de bout.
démarche : (T)=Γ∩Ω et Ν=(Τ)∩(L).
y’
(l’)
α
(P’) y
(Q)
(l)
(P)
m
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4.7. Par un point M hors d’un plan P, mener une perpendiculaire à ce plan
(épure de résolution)
(d’)
(∂’)
( l’)
a’
3’
( f ’)
m’
2’
1’
(h’)
4’
y
y’
(h)
1
(f)
4
m
3
2
a
(l)
(d)
(∂)
On utilise successivement les théorèmes 5 et 2
Utilisation du théorème 5 : on construit une droite (L) telle que les projections de l’angle que fait (L) avec deux
concourantes dans plan P déterminé par les droites (D) et (∆), se projette suivant un angle droit sur le plan frontal et le
plan horizontal. On choisit pour cela des droites qui garantissent que les angles en question possèdent cette propriété ;
soit pour ce faire : une horizontale (H) et une frontale (F) du plan P.
Utilisation du théorème 2 : la droite (L) ainsi construite a ses projections (l) et (l’) respectivement perpendiculaires à la
projection horizontale de (H) et à la projection frontale de (F), du plan P.Cette droite est donc perpendiculaire au plan P.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
dessin de la projection frontale (h’) d’une horizontale du plan P défini par (D) et (∆)
intersection de (h’) avec (d) et (∂) -> 1’, 2’
rappel de 1’, 2’ -> 1, 2 projection horizontale (h)
dessin de la projection horizontale (f) d’une frontale du plan P défini par (D) et (∆)
intersection de ( f ) avec (d) et (∂) -> 3, 4
rappel de 3, 4 -> 3’, 4’ -> projection frontale (f’)
dessin de (l ) par m perpendiculaire à (h) en projection horizontale
dessin de (l’) par m’ perpendiculaire à (f’) en projection frontale
la droite (L) est la perpendiculaire au plan (P) défini par les droites (D) et (Δ)
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4.8. Par un point construire un plan perpendiculaire à une droite (épure de résolution) :
(cas où la droite (L) passe par le point M)
Soit la droite (L) soit le point M, par M construire un plan perpendiculaire à (L).
(l’)
( ‘)
( ‘)
m’
y
y’
( )
(
)
m
(l)
On utilise de nouveau les théorème 5 et 2 :
Utilisation du théorème 5 : on construit deux droites concourantes du plan recherché, telles que les projections des
angles que font ces deux droites avec (L) se projettent suivant des angles droits sur le plan frontal et le plan horizontal.
On choisit pour cela des droites qui confèrent cette propriété aux angles en question.
Soit : une horizontale (H) et un frontale (F).
Utilisation du théorème 2 : les droites (H) et (F), ainsi construites sont concourantes et toutes deux perpendiculaires à
la droite (L) .
Le plan déterminé par les droites (H) et (F) est donc perpendiculaire à la droite (L) .
x)
xi)
xii)
xiii)
xiv)
construction, par m’ de la projection frontale (h’) d’une horizontale passant par M
par m, construction de (h) perpendiculaire à (l) projection horizontale de (L)
par m, construction de la projection horizontale (f) d’une frontale passant par M
par m’, construction de (f’) perpendiculaire à (l’) projection frontale de (L)
les droites (H) et (F) définissent un plan perpendiculaire à la droite (L)
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