RAISONNEMENT – – ELEMENTS DE LA THEORIE

Algèbre - chap 1 1/8
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
1. ELEMENTS DE LOGIQUE
Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation à laquelle on peut attacher
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse
Exemples : 3 est un nombre impair (assertion vraie).
Paris est la capitale de l’Italie (assertion fausse).
Définition 2 : Un théorème ou proposition est une assertion vraie.
Règles logiques : on admet les règles suivantes
• Principe de non contradiction : on ne peut avoir P vraie et P fausse en même
temps
• Principe du tiers exclu : une propriété qui n’est pas vraie est fausse, et une
propriété qui n’est pas fausse est vraie.
Les opérateurs logiques permettent de combiner des propriétés pour en obtenir de nouvelles :
• Négation : la négation d’une propriété P est notée : non P ou  P ou
P
• Conjonction : ‘ et ’ notée ∧
• Disjonction inclusive : ‘ ou ’ notée ∨
• Implication : notée ⇒
• Equivalence : notée ⇔
Ils sont définis par la table de vérité :
P Q
 P P ∨
∨∨
∨ Q P ∧
∧∧
∧
Q
P ⇒
⇒⇒
⇒ Q P ⇔
⇔⇔
⇔ Q
V V F V V V V
V F F V F F F
F V V V F V F
F F V F F V V
Algèbre 1
– RAISONNEMENT –
– ELEMENTS DE LA THEORIE DES
ENSEMBLES –
1.1 Propositions – Règles logiques
P
V
F
Soit P une assertion, on appelle table de vérité de P la table :
1.2 Opérateurs logiques

Algèbre - chap 1 2/8
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Remarques :
(i) Dans l’implication P ⇒ Q, P s’appelle l’hypothèse et Q la conclusion.
(ii) On peut exprimer l’implication P ⇒ Q de l’une des façons suivantes :
• Pour que P, il faut Q ; Q est une condition nécessaire de P
• Pour que Q, il suffit P ; P est une condition suffisante pour Q
• Si P, alors Q.
(iii) L’implication Q ⇒ P est appelée réciproque de P ⇒ Q
(iv) On peut exprimer l’équivalence logique P ⇔ Q de l’une des façons suivantes :
• Pour que P, il faut et il suffit Q
• P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Q
• P si et seulement si Q
Définition 3 : Un théorème de logique (appelé aussi tautologie) est une assertion vraie
quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent.
Exemples de tautologies :
1.3.1 P ⇒ P
1.3.2  ( P) ⇔ P
1.3.3 P ∨ (  P ) (c’est le principe du tiers exclu)
1.3.4 Lois de Morgan :
a)  ( P ∧ Q) ⇔ ( P ∨  Q )
b)  (P ∨ Q) ⇔ ( P ∧  Q )
c) P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
d) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
1.3.5 L’implication :
a) ( P ⇒ Q ) ⇔ (  P ∨ Q )
b) ( P ⇒ Q ) ⇔ ( Q ⇒  P ) contraposée
1.3.6 Négation d’une implication :
 (P ⇒ Q) ⇔ ( P ∧  Q)
1.3 Tautologie

Algèbre - chap 1 3/8
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2. ENSEMBLES
On introduit trois nouveaux opérateurs (appelés quantificateurs) :
∀ : se lit « quel que soit » ou « pour tout »
∃ : se lit « il existe au moins un»
∃ ! : se lit « il existe un unique»
Attention ! On peut permuter deux quantificateurs identiques, mais on ne peut pas
permuter deux quantificateurs de nature différente.
Définition 4 : On appelle ensemble une collection d’objets, appelés éléments de cet
ensemble.
Notation : Lorsque x est un élément d’un ensemble E, on note x S E ;
Lorsque x n’est pas un élément d’un ensemble E, on note x T E.
Propriété : Négation d’une phrase quantifiée
Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :
 (∀ x ∈ E, P) ⇔ (∃ x ∈E,  P)
 (∃ x ∈ E, P) ⇔ (∀x ∈ E,  P)
Exemples :
1. La négation de la proposition (∀x ∈ E, x.0 = 0) est (∃ x ∈E, x.0 ≠ 0).
2. La négation de la proposition : [ ∀a ∈E ,∀ε>0, ∃ η>0, ∀x∈E, (Ix – aI≤ η ⇒ If(x)-f(a)I≤ ε)]
est : [∃a ∈E , ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈E, (I x – aI ≤ η) ∧ (If(x) – f(a)I > ε) ]
Définition 5 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B ou que A est une
partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( ∀x∈A, x∈B ) . On note alors A ⊂ B.
On note P (E) l’ensemble des parties de l’ensemble E, et on note ∅ la partie vide de E.
Exemple : Pour E = {a ; b}, P (E) = {∅ ; {a},{b} ;{a ; b} }
Propriétés :
• A ⊂ B ⇔ ( x∈A ⇒ x∈B ) ; on a ∅ ⊂ A , A ⊂ A pour tout ensemble A.
• A = B ⇔ ((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ) .
• La négation de A ⊂ B est notée A ⊄ B ceci veut dire : ∃x∈A, x∉B.
• A ≠ B ⇔ ((A ⊄ B) ∨ (B ⊄ A)).
• ((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C)) ⇒ (A ⊂ C) transitivité
Définition 6 : Soient E un ensemble, A et B des parties de E, on note :
C
E
(A) =
A
= { x∈E, x∉A} complémentaire de A dans E
A∩B = {x∈E, x∈A et x∈B} intersection de A et B
A∪B = {x∈E, x∈A ou x∈B} réunion de A et B
A \ B = {x∈A, x ∉B} = A ∩ C
E
(B) différence A moins B
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) différence symétrique de A et B
2.1 Quantificateurs
2.2 Ensemble P
(E)

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Propriétés : lois de Morgan
Soient A, B et C des ensembles :
• A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A (commutativité)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C et A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativité)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivité)
•
A
B
A
B
∩
=
∪
•
A
B
A
B
∪
=
∩
Notation : soit (E
i
)
i∈N
une famille de parties de E, on note :
i
i
E
∈
∪
ℕ
= {x ∈ E / ∃
∃∃
∃ i ∈N , x ∈ E
i
} et
i
i
E
∈
∩
ℕ
= {x ∈ E /
∀
i ∈N , x ∈ E
i
}
Définition 7 : I ⊂ N ; (E
i
)
i∈I
une famille de parties d’un ensemble E est une partition de E si :
i
i I
2i j
i
E E
(i; j) I /i j, E E
i I , E
∈
∪ =
∀ ∈ ≠ ∩ =∅
∀ ∈ ≠∅
Exemple : E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} E
1
={1 ; 2 ; 3} E
2
={4 ; 5} E
3
={6} (E
i
)
i∈{1,2,3}
est une
partition de E.
Définition 8 : Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F
l’ensemble : E × F = { x = (x
1 ;
x
2
) , x
1
∈ E , x
2
∈ F }
Exemple : Soient E = {1 ; 2}, F = {a ; b ; c}.
E × F = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c)} mais (a ; 1) ∉ E × F.
Remarques :
(i) Cette définition s’étend au produit cartésien d’une famille d’ensembles.
(ii) On note E × E = E
2
.
3.1 Transitivité
De [ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R) ] on déduit (P ⇒ R).
3.2 Syllogisme
De [P ∧ (P ⇒ Q)] on déduit Q
3.3 Disjonction des cas
De [ (P ⇒ Q) ∧ ( P ⇒ Q)] on déduit Q
Remarque : La démonstration de ( P ⇒ Q) peut également faire l’objet d’une disjonction de
cas.
2.3 Partition
2.4 Produit cartésien
3. PRINCIPAUX TYPES DE RAISONNEMENT

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3.4 Contraposition
De (P ⇒ Q) on déduit que ( Q ⇒  P)
3.5 Raisonnement par l’absurde
Pour montrer ( P ⇒ Q ), on suppose ( P ∧  Q ), et on montre que cela entraîne une
contradiction.
Remarque : le raisonnement par l’absurde utilise le résultat suivant : ( P ⇒ Q ) ,  (P ∧ Q)
3.6. Méthode du contre exemple
Pour montrer  (P ⇒ Q) , il suffit d’exhiber un cas ( P ∧ Q )
3.7 Démonstration par récurrence
Théorème 1 : (principe de récurrence)
Si une partie A de
ℕ
vérifie la propriété : 0 ∈ A et ∀nSN (n∈A) ⇒ (n+1 ∈A), alors A = N.
Ce principe fondamental permet de démontrer des propriétés dépendant d’un entier naturel n.
Récurrence simple :
Soit n
0
∈
ℕ
et P(n) une propriété portant sur un entier n tel que n ≥ n
0
.
Pour prouver la validité de P(n) pour tout n ≥ n
0
il faut et il suffit que l’on ait :
- P(n
0
) vraie (initialisation)
- ∀ n ≥ n
0
: [P(n) ⇒ P(n+1)] (hérédité).
Récurrence forte :
Soit n
0
∈
ℕ
et P(n) une propriété portant sur un entier n tel que n ≥ n
0
.
Pour prouver la validité de P(n) pour tout n ≥ n
0
il faut et il suffit que l’on ait :
- P(n
0
) vraie
- ∀n ≥ n
0
: [ (∀k∈
0
n ;n
P(k)) ⇒ P(n+1) ].
Définition 9 : Ce type de raisonnement s’appelle raisonnement par récurrence.
4. RELATIONS
Définition 10: Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F un
triplet (E ; F ; G) où G est une partie de E × F (appelé graphe de la relation).
On dit que le couple (x ; y) ∈ E × F vérifie la relation R lorsque (x ; y) ∈ G. On le note x R
RR
R y.
Si E = F une relation binaire de E vers E est simplement dite relation sur E.
Définition 11 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que :
R est réflexive si ∀x ∈ E x R x
R est symétrique si ∀(x ; y) ∈ E
2
x R y ⇒ y R x
R est transitive si ∀(x ; y ; z)∈E
3
, ( x R y ) ∧ ( y R z ) ⇒ x R z
R est antisymétrique si ∀(x ; y)∈E
2
, ( x R y) ∧ (y R x ) ) ⇒ x = y
4.1 Définitions