Correction

1 Exercice 4:
1. b1, b2, b3est une BON de IR3(notée par la suite par b):
On calcule la norme de chaque vecteurs:
kb1k=q(√3/2)2+ (1/2)2+ 02= 1
kb2k=q(−1/2)2+ (√3/2)2+ 02= 1
kb3k=√02+ 02+ 12= 1
On vérifie que les vecteurs sont bien orthogonaux entre eux (en vérifiant que leur pro-
duit scalaire soit nul):
b1.b2= (√3/2) ∗(−1/2) + (1/2) ∗(√3/2) + 0 ∗0 = 0
b2.b3= (−1/2) ∗0 + (√3/2) ∗0 + 0 ∗1 = 0
b1.b3= (√3/2) ∗0 + (1/2) ∗0 + 0 ∗1 = 0
2. Même raisonnement avec B1,B2,B3(notée par la suite par B).
3. Matrice de passage Pe→bentre la base canonique e1, e2, e3(notée e) et b1, b2, b3:
On écrit en colonne les coordonnées de la nouvelle base b1, b2, b3en fonction de l’ancienne
e1, e2, e3:
b1b2b3
e1|(√3/2) -1/2 0 |
e2| 1/2 (√3/2) 0 |
e3| 0 0 1 |
Calcul de (Pe→b)(Pe→b)T:
(√3/2) -1/2 0
1/2 (√3/2) 0
0 0 1
(√3/2) 1/2 0
-1/2 (√3/2) 0
0 0 1
=
100
010
001
=Id
(Pe→b)T(Pe→b) + Id.
Matrice de passage Pe→Bentre e1, e2, e3et B1, B2, B3: Même raisonnement que précédem-
ment.
4. On sait que:
(Pb→B) = (Pb→e)(Pe→B) = (Pe→b)−1(Pe→B)
Avec, en tenant en compte les questions précédentes:
1

(Pe→b)−1= (Pe→b)T=
(√3/2) 1/2 0
-1/2 (√3/2) 0
0 0 1
Donc:
Pb→B=
(√3/2) 1/2 0
-1/2 (√3/2) 0
0 0 1
1 0 0
0(√2/2) (√2/2)
0(√2/2) −(√2/2)
=
(√3/2) (√2/4) (√2/4)
-1/2 (√6/4) (√6/4)
0(√2/2) −(√2/2)
De plus:
(Pb→B)(Pb→B)T= ((Pe→b)T(Pe→B))((Pe→b)T(Pe→B))T
= ((Pe→b)T(Pe→B))((Pe→B)T(Pe→b))
= (Pe→b)−1(Pe→B)(Pe→B)−1(Pe→b)
= Id
5.La matrice de passage de udans e1, e2, e3, notée Me, est donnée par:
e1e2e3
e1| 5 0 3 |
e2| 0 2 0 |
e3| 1 0 -1 |
Donc la matrice de udans la base b1, b2, b3, notée Mb, est donnée par:
Mb=Pb→eMuPe→b
Alors:
Mb=
(√3/2) -1/2 0
1/2 (√3/2) 0
0 0 1
5 0 3
0 2 0
1 0 -1
(√3/2) 1/2 0
-1/2 (√3/2) 0
0 0 1
Mb=
17/4 −(3√3)/4 (3√3)/2
−(3√3)/411/4 -3/2
(√3)/2-1/2 -1
De la même manière on calcule MBet on trouve:
MB=
5(3√2)/2 (−3√2)/2
(√2)/21/2 3/2
(−√2)/23/2 1/2
2

2 Exercice 5:
1. Voir définition 1 page 2 du manuel "Pré-requis d’algèbre et d’analyse":
loi : addition de deux fonctions: Pour tout fet gdans C([a, b],IR) la loi +est définie
par:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
Cette loi est:
•interne: f+greste dans C([a, b],IR) somme de deux fonctions continues.
•associative: ((f+g) + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (f+g+h)(x)
•commutative: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (g+f)(x)
•élément neutre: fonction nulle sur [a, b]notée f0:(f+f0)(x) = f(x)
•inverse d’un élément fest −f:(f+ (−f))(x) = f(x)
pour tout λ, µ dans IR on a:
•((λ+µ)f)(x) = λf(x) + µf(x)
•(λ)(f+g))(x) = λf(x) + g(x)
•(λ(µf))(x) = λµf(x)
•(f.Id)(x) = f(x)
Donc C([a, b],IR) est bien un espace vectoriel.
2. Voir définition 3 page 3 du manuel "Pré-requis d’algèbre et d’analyse":
Soient fet gdans C([a, b],IR) et λdans IR, alors:
I(λf +g) = Zb
a
(λf +g)(x)dx =Zb
a
λf(x) + λg(x) = λZb
a
f(x) + λZb
a
g(x) = λI(f) + I(g)
Donc I est bien une application linéaire.
3.Un produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique, positive et définie.
-bilinéaire: Il faut vérifier que < ., . > soit linéaire par rapport à chaques variables,
c’est à dire que les applications suivantes soient sont linéaires:
a) < ., g > avec gfixé dans C([a, b],IR):
< ., g > (f) = Rb
af(x)g(x)dx
b) < f, . > avec ffixé dans C([a, b],IR) :< f, . > (g) = Rb
af(x)g(x)dx
-symétrique: < f, g >=< g, f >.
-positive: < f, f >=Rb
af2(x)dx ≥0
-définie: < f, f >= 0 ⇒Rb
af2(x)dx = 0 ⇒f(x) = 0 sur [a, b]
3