Correction

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Exercice 4:
1. b1 , b2 , b3 est une BON de IR3 (notée par la suite par b):
On calcule la norme de chaque vecteurs:
kb1 k =
q √
( 3/2)2 + (1/2)2 + 02 = 1
√
kb2 k = (−1/2)2 + ( 3/2)2 + 02 = 1
√
kb3 k = 02 + 02 + 12 = 1
q
On vérifie que les vecteurs sont bien orthogonaux entre eux (en vérifiant que leur produit scalaire soit nul):
√
√
b1 .b2 = ( 3/2) ∗ (−1/2)
+
(1/2)
∗
(
3/2) + 0 ∗ 0 = 0
√
b2 .b3 = (−1/2)
∗
0
+
(
3/2)
∗
0
+
0
∗
1=0
√
b1 .b3 = ( 3/2) ∗ 0 + (1/2) ∗ 0 + 0 ∗ 1 = 0
2. Même raisonnement avec B1 ,B2 ,B3 (notée par la suite par B).
3. Matrice de passage Pe→b entre la base canonique e1 , e2 , e3 (notée e) et b1 , b2 , b3 :
On écrit en colonne les coordonnées de la nouvelle base b1 , b2 , b3 en fonction de l’ancienne
e1 , e2 , e3 :
b2
√b1
-1/2
e1 | ( 3/2) √
e2 |
1/2
( 3/2)
e3 |
0
0
b3
0
0
1
|
|
|
Calcul de (Pe→b )(Pe→b )T :
√
( 3/2)
1/2
0
-1/2
0
√
( 3/2) 0
0
1
√
0
( 3/2) √1/2
1
-1/2
( 3/2) 0 = 0
0
0
0
1
0
1
0
0
0 = Id
1
(Pe→b )T (Pe→b ) + Id.
Matrice de passage Pe→B entre e1 , e2 , e3 et B1 , B2 , B3 : Même raisonnement que précédemment.
4. On sait que:
(Pb→B ) = (Pb→e )(Pe→B ) = (Pe→b )−1 (Pe→B )
Avec, en tenant en compte les questions précédentes:
1
(Pe→b )−1
Donc:
Pb→B
√
( 3/2)
= -1/2
0
√
( 3/2) √1/2
0
= (Pe→b )T = -1/2
( 3/2) 0
0
0
1
0
√1/2
( 3/2) 0
0
1
1
0
0
√
( 3/2)
√0
√0
(√2/2) ( √2/2) = -1/2
( 2/2) −( 2/2)
0
√
√
(√2/4) (√2/4)
(√6/4) ( √6/4)
( 2/2) −( 2/2)
De plus:
(Pb→B )(Pb→B )T
= ((Pe→b )T (Pe→B ))((Pe→b )T (Pe→B ))T
= ((Pe→b )T (Pe→B ))((Pe→B )T (Pe→b ))
= (Pe→b )−1 (Pe→B )(Pe→B )−1 (Pe→b )
= Id
5.La matrice de passage de u dans e1 , e2 , e3, notée Me , est donnée par:
e1
e1 | 5
e2 | 0
e3 | 1
e2
0
2
0
e3
3
0
-1
|
|
|
Donc la matrice de u dans la base b1 , b2 , b3 , notée Mb , est donnée par:
Mb = Pb→e Mu Pe→b
Alors:
√
( 3/2) √
-1/2
0
Mb =
1/2
( 3/2) 0
0
0
1
5
0
1
0 3
2 0
0 -1
√
3)/4
17/4
−(3
√
Mb = −(3
11/4
√ 3)/4
( 3)/2
-1/2
√
( 3/2)
-1/2
0
√
(3 3)/2
-3/2
-1
De la même manière on calcule MB et on trouve:
√
√
2)/2
(−3
5
(3
2)/2
√
MB = ( √2)/2
1/2
3/2
3/2
1/2
(− 2)/2
2
0
√1/2
( 3/2) 0
0
1
2
Exercice 5:
1. Voir définition 1 page 2 du manuel "Pré-requis d’algèbre et d’analyse":
loi : addition de deux fonctions: Pour tout f et g dans C([a, b], IR) la loi + est définie
par:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
Cette loi est:
• interne: f + g reste dans C([a, b], IR) somme de deux fonctions continues.
• associative: ((f + g) + h)(x) = f (x) + g(x) + h(x) = (f + g + h)(x)
• commutative: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = (g + f )(x)
• élément neutre: fonction nulle sur [a, b] notée f0 : (f + f0 )(x) = f (x)
• inverse d’un élément f est −f : (f + (−f ))(x) = f (x)
pour tout λ, µ dans IR on a:
• ((λ + µ)f )(x) = λf (x) + µf (x)
• (λ)(f + g))(x) = λf (x) + g(x)
• (λ(µf ))(x) = λµf (x)
• (f.Id)(x) = f (x)
Donc C([a, b], IR) est bien un espace vectoriel.
2. Voir définition 3 page 3 du manuel "Pré-requis d’algèbre et d’analyse":
Soient f et g dans C([a, b], IR) et λ dans IR, alors:
I(λf + g) =
Z
b
a
(λf + g)(x)dx =
Z
b
λf (x) + λg(x) = λ
a
Z
b
f (x) + λ
a
Z
b
g(x) = λI(f ) + I(g)
a
Donc I est bien une application linéaire.
3.Un produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique, positive et définie.
-bilinéaire: Il faut vérifier que < ., . > soit linéaire par rapport à chaques variables,
c’est à dire que les applications suivantes soient sont linéaires:
a) < ., g > avecR g fixé dans C([a, b], IR):
< ., g > (f ) = ab f (x)g(x)dx
b) < f, . > avec f fixé dans C([a, b], IR) : < f, . > (g) =
Rb
a
f (x)g(x)dx
-symétrique: < f, g >=<
g, f >.
Rb 2
-positive: < f, f >= a fR (x)dx ≥ 0
-définie: < f, f >= 0 ⇒ ab f 2 (x)dx = 0 ⇒ f (x) = 0 sur [a, b]
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