2 Exercice 5:
1. Voir définition 1 page 2 du manuel "Pré-requis d’algèbre et d’analyse":
loi : addition de deux fonctions: Pour tout fet gdans C([a, b],IR) la loi +est définie
par:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
Cette loi est:
•interne: f+greste dans C([a, b],IR) somme de deux fonctions continues.
•associative: ((f+g) + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (f+g+h)(x)
•commutative: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (g+f)(x)
•élément neutre: fonction nulle sur [a, b]notée f0:(f+f0)(x) = f(x)
•inverse d’un élément fest −f:(f+ (−f))(x) = f(x)
pour tout λ, µ dans IR on a:
•((λ+µ)f)(x) = λf(x) + µf(x)
•(λ)(f+g))(x) = λf(x) + g(x)
•(λ(µf))(x) = λµf(x)
•(f.Id)(x) = f(x)
Donc C([a, b],IR) est bien un espace vectoriel.
2. Voir définition 3 page 3 du manuel "Pré-requis d’algèbre et d’analyse":
Soient fet gdans C([a, b],IR) et λdans IR, alors:
I(λf +g) = Zb
a
(λf +g)(x)dx =Zb
a
λf(x) + λg(x) = λZb
a
f(x) + λZb
a
g(x) = λI(f) + I(g)
Donc I est bien une application linéaire.
3.Un produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique, positive et définie.
-bilinéaire: Il faut vérifier que < ., . > soit linéaire par rapport à chaques variables,
c’est à dire que les applications suivantes soient sont linéaires:
a) < ., g > avec gfixé dans C([a, b],IR):
< ., g > (f) = Rb
af(x)g(x)dx
b) < f, . > avec ffixé dans C([a, b],IR) :< f, . > (g) = Rb
af(x)g(x)dx
-symétrique: < f, g >=< g, f >.
-positive: < f, f >=Rb
af2(x)dx ≥0
-définie: < f, f >= 0 ⇒Rb
af2(x)dx = 0 ⇒f(x) = 0 sur [a, b]
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