Cours Terminale L Nombres rationnels et nombres réels 1. Ecriture décimale d'un nombre: Les nombres décimaux sont les nombres dont la partie décimale est finie. Exemples: 3,14; 1 considéré comme 1,0; 2,71828; 0,69; 1,333. Définition: Un nombre réel d est dit décimal si et seulement si il existe deux entiers relatifs a et p tels que d = a × 10p . Exemple: 3,14 = 314 × 10 – 2 . Il existe des nombres dont la partie décimale est illimitée. Certains présentent une partie décimale périodique, c'est-à-dire, qu'à partir d'un certain rang, une suite finie de chiffres est répétée indéfiniment. Exemples: 1 3 = 0,33333... La partie décimale est illimitée, mais le chiffre 3 est répété indéfiniment. 4 = 0,363636... La partie décimale est illimitée, mais les chiffres 3 et 6 sont répétés indéfiniment. 11 4 Notation: = 0,363636... se note 0, 36 . 11 2. Les nombres rationnels : Les nombres rationnels sont ceux dont l'écriture décimale présente une partie périodique à partir d'un certain rang. Exemple: soit le nombre 3,5727272... = 3,572 . On pose x = 3,572 ; on a 10x = 35, 72 et 1000x = 3572, 72 ; donc 1000x – 10x = 3572, 72 – 35, 72 = 3572 – 35 = 3537; 3537 393 donc 990x = 3537 et x = = qui est bien un rationnel. 990 110 Exercice: Trouver les rationnels correspondants aux nombres : 3,142857142857142857... ; 0,66666... ; 0,027027027... ; 0,037037037... 2 239 4562 28 , , , . Ecrire les rationnels suivants dans leur écriture décimale: 7 6 3 13 Remarque: En fait, les nombres irrationnels sont ceux qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme du quotient de deux entiers, c'est-à-dire que la partie décimale du nombre n'est jamais périodique. Exemples: 1. Le nombre 2 est irrationnel. Voici une démonstration célèbre, trouvée par Pythagore ou un mathématicien de son époque: p On suppose que 2 est rationnel, c'est-à-dire qu'il puisse s'écrire comme quotient de deux entiers , et on q suppose en plus que ces deux entiers sont premiers entre eux (le plus grand diviseur commun de p et q est 1). Dans ce cas, p² = 2q² , donc p² est un multiple de 2, donc p aussi. On écrit alors p = 2p' ; on obtient (2p')² = 2q², soit 4(p')² = 2q², soit 2p' ² = q² et donc q est un multiple de 2. Donc 2 est un diviseur commun de p et q, ce qui contredit l'hypothèse de départ. Ce type de raisonnement est appelé « raisonnement par l'absurde », puisque on suppose un résultat faux pour obtenir une contradiction dans la démonstration. 2. Le nombre est irrationnel. La première démonstration a été proposée par Lambert en 1761. 3. Le nombre ln2 est irrationnel.