Cours Terminale L Nombres rationnels et nombres réels

Cours Terminale L Nombres rationnels et nombres réels
1. Ecriture décimale d'un nombre:
Les nombres décimaux sont les nombres dont la partie décimale est finie.
1.1. Exemples: 3,14; 1 considéré comme 1,0; 2,71828; 0,69; 1,333.
1.2. Définition: Un nombre réel d est dit décimal si et seulement si il existe deux entiers relatifs a et p tels que
d = a × 10p .
1.3. Exemple: 3,14 = 314 × 10 – 2 .
1.4. Exercice: Écrire les nombres suivants sous la forme a × 10p :
15,28; 30,056; 0,098; 2,71828; 1,333333.
Il existe des nombres dont la partie décimale est illimitée. Certains présentent une partie décimale périodique,
c'est-à-dire, qu'à partir d'un certain rang, une suite finie de chiffres est répétée indéfiniment.
Exemples:
1
3
= 0,33333... La partie décimale est illimitée, mais le chiffre 3 est répété indéfiniment.
4
11
= 0,363636... La partie décimale est illimitée, mais les chiffres 3 et 6 sont répétés indéfiniment.
Notation:
4
11
= 0,363636... se note
0,36
.
2. Les nombres rationnels :
Les nombres rationnels sont ceux dont l'écriture décimale présente une partie périodique à partir d'un certain rang.
2.1. Exemple: soit le nombre 3,5727272... =
3,572
= 3,5 + 72×10– 3 + 72×10– 5 +72×10– 7 + ....
On voit apparaître la somme des termes d'une suite géométrique (un) tel que un = 72×10– (2n + 3) = 72×100–n×10– 3 .
La raison de la suite est 100– 1 = 0,01 et le premier terme 72×10– 3 .
La somme Sn des n premiers termes de cette suite est égale à Sn = u0 ×
10,01n
10,01
= 72×10– 3 ×
10,01n
0,99
.
On sait que
lim
n 
0,01n
= 0 car la raison est strictement comprise entre 0 et 1. Donc
lim
n 
10,01n
0,99
=
1
0,99
Donc la limite de cette somme est
lim
n 
Sn
= 72×10– 3 ×
1
0,99
=
0,072
0,99
=
72
990
=
4
55
. Ainsi le nombre
3,5727272... =
3,572
= 3,5 +
4
55
=
35
10
+
4
55
=
375
110
+
8
110
=
393
110
qui est bien un rationnel.
2.2. Technique: La méthode pour obtenir l'écriture fractionnaire:
On pose x =
3,572
; on a 10x =
35,72
et 1000x =
3572, 72
;
donc 1000x – 10x =
3572, 72
–
35,72
= 3572 – 35 = 3537;
donc 990x = 3537 et x =
3537
990
=
393
110
.
2.3. Exercice: a) Trouver les rationnels correspondants aux nombres : 3,142857142857142857... ; 0,66666... ;
0,027027027... ; 0,037037037... ; 1,999999... ; 0,142857142857.... ; 0,428571428571... ; 0,285714285714...
b) Écrire les rationnels suivants dans leur écriture décimale:
2
7
,
239
6
,
4562
3
,
28
13
.
Chaque dénominateur a sa propre période. Trouver la période pour les dénominateurs 3; 7; 9; 11; 13.

2.4. Remarque: En fait, les nombres irrationnels sont ceux qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme du quotient de
deux entiers, c'est-à-dire que la partie décimale du nombre n'est jamais périodique.
2.5. Exemples: 1. Le nombre
2
est irrationnel. Voici une démonstration célèbre, trouvée par Pythagore ou un
mathématicien de son époque:
On suppose que
2
est rationnel, c'est-à-dire qu'il puisse s'écrire comme quotient de deux entiers
p
q
, et on
suppose en plus que ces deux entiers sont premiers entre eux (le plus grand diviseur commun de p et q est 1).
Dans ce cas, p² = 2q² , donc p² est un multiple de 2, donc p aussi. On écrit alors p = 2p' ; on obtient (2p')² = 2q²,
soit 4(p')² = 2q², soit 2p' ² = q² et donc q est un multiple de 2. Donc 2 est un diviseur commun de p et q, ce qui
contredit l'hypothèse de départ. Ce type de raisonnement est appelé « raisonnement par l'absurde », puisque on
suppose un résultat faux pour obtenir une contradiction dans la démonstration.
2. Le nombre  est irrationnel. La première démonstration a été proposée par Lambert en 1761.
3. Le nombre ln2 est irrationnel.
4. Le nombre e (base de la fonction exponentielle) est irrationnel.
En utilisant le modèle de la démonstration de l'irrationalité de
2
, montrer que
3
est irrationnel.
La calculatrice donne
2
 1,414213562 qui est une valeur approchée de
2
à 10– 9 près.