Algèbre 2, feuille de TD 1

Algèbre 2, feuille de TD 1
Exercice 1. Soit (G, +) un groupe abélien. On définit une multiplication sur Gen
posant xy = 0 pour tous x, y ∈G. Montrer que (G, +, .)est un anneau.
Est il commutatif ? unitaire ?
Exercice 2. Les sous ensembles suivants de Qsont ils des anneaux vis-à-vis des
opérations usuelles sur les rationnels ?
- Ensemble des nombres rationnels de dénominateurs 1,2ou 4.
- Ensemble des nombres rationnels ayant pour dénominateurs une puissances de 2.
Exercice 3. Soit Aun anneau fini intègre ayant au moins deux éléments. Montrer
que Aest un corps.
Exercice 4. Soit Aun anneau et munissons l’ensemble Z×Ades lois (m, a) +
(n, b) = (m+n, a+b)et (m, a).(n, b) = (mn, na+mb+ab). Montrer que Z×Amuni
de ces opérations est un anneau unitaire. À quelle condition Z×Aest il commutatif ?
Montrer que le sous-ensemble {(0, a)a∈A}est isomorphe à A. Montrer, par un
exemple, que Z×An’est pas en général intègre, même si Al’est.
Exercice 5. Soient Aet Bdeux anneaux unitaires et f:A→Bun morphisme
d’anneaux.
a) Donner un exemple où f(1A)6= 1B.
b) Montrer que si fest surjectif alors f(1A) = 1B.
c) Montrer que si u∈U(A)est tel que f(u)∈U(B)alors f(u−1) = f(u)−1.
d) Donner un exemple où u∈U(A)mais f(u)6∈ U(B).
Exercice 6. Montrer que pour tout anneau unitaire A, il existe un et un seul
morphisme Z→Aqui envoi 1sur 1A.
Exercice 7. Soient met ndes entiers positifs. Trouver des conditions pour qu’il
existe un morphisme d’anneaux Z/mZ→Z/nZ.
Exercice 8. Soient Aun anneau unitaire, nun entier positif et Mn(A)l’ensemble
des matrices carrées n×nà coefficients dans A. Montrer que Mn(A)est un anneau
unitaire pour des lois de compositions que vous préciserez.
Exercice 9. Soit Gun magma associatif et Aun anneau de neutre 0. Considérons
l’ensemble A[G]des suites (ag)g∈Gavec ag= 0 sauf éventuellement pour un nombre
fini d’entre eux.
On définit alors une somme (ag) + (bg) = (ag+bg), et un produit (ag).(bg) = (cg)
avec
cg=X
σ,τ ∈G
στ =g
aσbτ.
Montrer que l’addition et la multiplication sont bien définis. Montrer que (A[G],+, .)
est un anneau. Que peut on dire si Aest unitaire ? Et si Aest commutatif ? Et G
commutatif ?
Exercice 10. Soient Aun anneau commutatif unitaire et I⊂Aun sous-groupe
(pour l’addition). Donner des conditions sur Ipour que A/I soit un anneau.
Exercice 11. Soit n∈Nun entier non nul. Quelle est la caractéristique de
Qn
i=2 Z/iZ? Quelle est la caractéristique de Qi>1Z/iZ?
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Exercice 12. Soit Aun anneau. Un élément a∈Aest dit nilpotent s’il existe
n∈Ntel que an= 0.
a) Donner des exemples d’anneaux ayant des éléments nilpotents non nuls.
b) Supposons que Aest commutatif. Montrer que le sous-ensemble de Aformé des
éléments nilpotents est un idéal.
Exercice 13. Soit Aun anneau et Mune partie de A. On appelle annulateur de
Ml’ensemble Ann(M) = {a∈A| ∀x∈M ax = 0}. Montrer que Ann(M)est un
idéal à gauche de A.
Exercice 14. Soit Aun anneau et x∈A.
i) Montrer que (x) = {ax +xb +nx +Pm
i=1 aixbi|n∈Z, m ∈N, a, b, ai, bi∈A}.
ii) Si Aest unitaire, (x) = {Pm
i=1 aixbi|m∈N, ai, bi∈A}.
iii) Si Aest commutatif (x) = {ax +nx|n∈Z, a ∈A}.
iv) Si Aest commutatif et unitaire alors (x) = Ax.
Exercice 15. Soit f:A→Bun morphisme d’anneaux de noyau N.
i) Montrer que si Jest un idéal premier de Balors f−1(J)est un idéal premier
de A.
ii) Supposons fsurjectif. Montrer que si Iest un idéal premier de Acontenant N
alors f(I)est un idéal premier de B.
iii) Supposant toujours fsurjectif, décrire les idéaux premiers de Ben fonction de
ceux de A.
Exercice 16. Soit Aun anneau commutatif unitaire et Iun idéal de A. Montrer
que les propositions suivantes sont équivalentes :
i) l’idéal Iest maximal ;
ii) pour tout x∈A\Mil existe y∈Atel que 1−xy ∈I.
Exercice 17. Soit Iun idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical de I,
et on note √I, l’ensemble {a∈A| ∃n∈N, n > 0, an∈I}.
i) Montrer que √Iest un idéal de A.
ii) Soient Iet Jdes idéaux de A, montrer que p√I=√Iet √I∩J=√I∩√J.
iii) Montrer que si Iest un idéal de Aet π:A→A/I est le morphisme quotient
alors √I=π−1(p(0)).
Exercice 18. Considérons l’anneau F(R,R)des applications de Rdans Ret, pour
x∈R, notons Ixl’ensemble des applications nulles en x. Montrer que Ixest un
idéal. À quoi est isomorphe F(R,R)/Ix?
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