Contrôle no 1 : Nombres réels, Egalités, Equations Série

Contrôle no1 : Nombres réels, Egalités, Equations
Série no1 - 22 septembre 2011
1. Les ensembles suivants, munis de l’opération citée, ne sont pas des groupes commutatifs.
Pour chacun, citez la (les) propriété(s) mise(s) en défaut.
(a) N,+
Les éléments de Nne sont pas symétrisables. L’opposé du naturel xest le nombre
négatif −xqui n’appartient pas à N.
(b) R−
0,·où R− 0est l’ensemble des réels strictement négatifs
L’opération n’est pas interne. Le produit de deux réels négatifs est positif.
De plus le neutre pour la multiplication (1) n’appartient pas à R−
0.
2. (a) Compléter l’énoncé du principe d’équivalence : "Les carrés de deux nombres sont
égaux ssi ..."
Les carrés de deux nombres sont égaux ssi les nombres sont égaux ou opposés.
(b) Démontrer.
Hyp : A, B ∈R
Th : A=Bou A=−B⇔A2=B2
Dém : Voir cours
(c) Que devient cet énoncé si les deux nombres sont de mêmes signe ? Justifier
Les carrés de deux nombres positifs sont égaux ssi les deux nombres sont égaux.
(d) Citer deux autres principes d’équivalence relatifs aux équations. Voir cours
3. Résoudre l’équation x2−21 = 100
x2
CE : x6= 0
x2−21 = 100
x2⇔x4−21x2−100 = 0
C’est une équation bicarrée. Posons y=x2. L’équation devient y2−21y−100 = 0.
On a ∆ = 441 + 4 ·100 = 841 = 292. D’où
y2−21y−100 = 0 ⇔y=21 + 29
2ou y=21 −29 2
⇔y= 25 ou y=−4
Par suite, ⇔x2= 25 ou x2=−4
| {z }
impossible
1

⇔x= 5 ou x=−5
S = {−5,5}.
4. Soit El’ensemble ]−1,1[. On définit sur El’opération (interne et partout définie) ?
par
x?y=x+y
1 + xy .
E, ? admet-il un élément neutre ? Si oui, lequel ? Justifier.
L’opération ?admet un neutre nsi ∃n∈E:∀x∈E, n ? x =x=x?n.
Un élément neutre néventuel doit donc vérifier
n?x=x⇔n+x
1 + nx =x
⇔n+x=x(1 + nx)(comme l’opération est partout définie, 1 + xy 6= 0)
⇔n=nx2
⇔n= 0 ou x2−1=0
On peut faire le même raisonnement pour x?n.
L’élément neutre est donc n= 0.
BONUS : E, ? est-il symétrisable ? Justifier.
L’opération ?est symétrisable nsi ∀x∈E, ∃y∈E:x?y=n=y ? x.
Comme le neutre est 0, le symétrique yde xdoit donc vérifier
x?y= 0 ⇔x+y
1 + xy = 0
⇔x+y= 0 (comme l’opération est partout définie, 1 + xy 6= 0)
⇔y=−x
On peut faire le même raisonnement pour y ? x.
Le symétrique de xest donc −x.
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Contrôle no1 : Nombres réels, Egalités, Equations
Série no2 - 22 septembre 2011
1. Les ensembles suivants, munis de l’opération citée, ne sont pas des groupes commutatifs.
Pour chacun, citez la (les) propriété(s) mise(s) en défaut.
(a) N,·
(b) Q−
0,·où Q− 0est l’ensemble des rationnels strictement négatifs
2. (a) Compléter l’énoncé du principe d’équivalence : "Les cubes de deux nombres sont
égaux ssi ..."
(b) Démontrer.
(c) Citer deux autres principes d’équivalence relatifs aux équations.
3. Résoudre l’équation x2+ 21 = 100
x2
4. Soit El’ensemble ]−1,1[. On définit sur El’opération (interne et partout définie) ?
par
x?y=x+y
1−xy .
Cette opération admet-elle un élément neutre ? Si oui, lequel ? Justifier. BONUS : E, ?
est-il symétrisable ? Justifier.
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