Contrôle no 1 : Nombres réels, Egalités, Equations Série

Contrôle no1 : Nombres réels, Egalités, Equations
Série no1 - 22 septembre 2011
1. Les ensembles suivants, munis de l’opération citée, ne sont pas des groupes commutatifs.
Pour chacun, citez la (les) propriété(s) mise(s) en défaut.
(a) N,+
Les éléments de Nne sont pas symétrisables. L’opposé du naturel xest le nombre
négatif xqui n’appartient pas à N.
(b) R
0,·R
0est l’ensemble des réels strictement négatifs
L’opération n’est pas interne. Le produit de deux réels négatifs est positif.
De plus le neutre pour la multiplication (1) n’appartient pas à R
0.
2. (a) Compléter l’énoncé du principe d’équivalence : "Les carrés de deux nombres sont
égaux ssi ..."
Les carrés de deux nombres sont égaux ssi les nombres sont égaux ou opposés.
(b) Démontrer.
Hyp : A, B R
Th : A=Bou A=BA2=B2
Dém : Voir cours
(c) Que devient cet énoncé si les deux nombres sont de mêmes signe ? Justifier
Les carrés de deux nombres positifs sont égaux ssi les deux nombres sont égaux.
(d) Citer deux autres principes d’équivalence relatifs aux équations. Voir cours
3. Résoudre l’équation x221 = 100
x2
CE : x6= 0
x221 = 100
x2x421x2100 = 0
C’est une équation bicarrée. Posons y=x2. L’équation devient y221y100 = 0.
On a = 441 + 4 ·100 = 841 = 292. D’où
y221y100 = 0 y=21 + 29
2ou y=21 29
2
y= 25 ou y=4
Par suite, x2= 25 ou x2=4
| {z }
impossible
1
x= 5 ou x=5
S = {−5,5}.
4. Soit El’ensemble ]1,1[. On définit sur El’opération (interne et partout définie) ?
par
x?y=x+y
1 + xy .
E, ? admet-il un élément neutre ? Si oui, lequel ? Justifier.
L’opération ?admet un neutre nsi nE:xE, n ? x =x=x?n.
Un élément neutre néventuel doit donc vérifier
n?x=xn+x
1 + nx =x
n+x=x(1 + nx)(comme l’opération est partout définie, 1 + xy 6= 0)
n=nx2
n= 0 ou x21=0
On peut faire le même raisonnement pour x?n.
L’élément neutre est donc n= 0.
BONUS : E, ? est-il symétrisable ? Justifier.
L’opération ?est symétrisable nsi xE, yE:x?y=n=y ? x.
Comme le neutre est 0, le symétrique yde xdoit donc vérifier
x?y= 0 x+y
1 + xy = 0
x+y= 0 (comme l’opération est partout définie, 1 + xy 6= 0)
y=x
On peut faire le même raisonnement pour y ? x.
Le symétrique de xest donc x.
2
Contrôle no1 : Nombres réels, Egalités, Equations
Série no2 - 22 septembre 2011
1. Les ensembles suivants, munis de l’opération citée, ne sont pas des groupes commutatifs.
Pour chacun, citez la (les) propriété(s) mise(s) en défaut.
(a) N,·
(b) Q
0,·Q
0est l’ensemble des rationnels strictement négatifs
2. (a) Compléter l’énoncé du principe d’équivalence : "Les cubes de deux nombres sont
égaux ssi ..."
(b) Démontrer.
(c) Citer deux autres principes d’équivalence relatifs aux équations.
3. Résoudre l’équation x2+ 21 = 100
x2
4. Soit El’ensemble ]1,1[. On définit sur El’opération (interne et partout définie) ?
par
x?y=x+y
1xy .
Cette opération admet-elle un élément neutre ? Si oui, lequel ? Justifier. BONUS : E, ?
est-il symétrisable ? Justifier.
3
1 / 3 100%

Contrôle no 1 : Nombres réels, Egalités, Equations Série

La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !