Exercices

Universit´ edelaM
´
editerran´ ee DEUG-Sciences 2001–2002
UFR-Sciences de Luminy Enseignement U1P
Dynamique des syst` emes –T.D. I
Cin´ ematique galil´ eenne
I.1 Record du monde. Un sprinter court le 100 m en 9,79 s. Trouver sa vitesse moyenne en
km ·h−1et . . . son nom.
I.2 Vitesse orbitale de la terre. Le mouvement de la terre ⊕autour du soleil ¯´etant
bien approxim´e par un mouvement circulaire uniforme, donner la valeur num´erique de sa
vitesse v⊕orbitale sachant que la distance moyenne terre-soleil est l’Unit´e Astronomique1:
1UA∼
=1,510
11 m.
I.3 Distance intergalactique.
1) Le parsec (pc) est une unit´e de longueur repr´esentant la distance d’une ´etoile qui verrait
le rayon de l’orbite terrestre sous un angle de 100 d’arc. Convertir 1 pc en km puis en ann´ee
lumi`ere (ly) sachant que la vitesse de la lumi`ere dans le vide est2c∼
=310
8ms −1.
2) La n´ebuleuse d’Androm`ede est la galaxie la plus proche de notre propre galaxie —
la voie lact´ee — dont elle est distante d’environ 2 Mly (deux Millions d’ann´ees lumi`ere).
Donner, en km puis en Mpc, la distance qui nous s´epare de cette “proche” voisine.
I.4 Course poursuite. Un cycliste roulant `a vitesse constante v>0 sur une route en ligne
droite observe, `a un instant donn´e, une voiture distante de dqui d´emarre devant lui avec
une acc´el´eration constante a>0.
1) Dans un r´ef´erentiel Rli´e`a la route pour lequel le choix de l’origine des temps et de
l’espace aura ´et´epr´ecis´ee, ´ecrire l’´equation horaire du cycliste et de la voiture.
Donner la nature de chacun des mouvements.
2) Si aet vsont fix´ees, pour quelles valeurs de dle cycliste rattrapera-t-il la voiture ?
3) D´eterminer le temps tde la course poursuite en fonction de a, v, et d.
4) Tracer les “lignes d’univers” (t, x(t)) du cycliste et de la voiture. Discuter graphiquement
les divers sc´enarios de la course poursuite,
(i) dans le r´ef´erentiel Rli´e`a la route,
(ii) dans un r´ef´erentiel galil´een R∗li´e au cycliste.
5) A.N.Calculer les dates de croisement pour d=10m,a=2m/s2et v=36km/h.
11UA=1,4959787066(2) 1011 m.
2La valeur “officielle” est c= 299792458 m s−1.
1

I.5 Voyage en avion. Un avion de tourisme relie Brest `a Strasbourg, 900 km `a l’est. Sa
vitesse par rapport `a l’air est v∗= 400 km/h et le vent souffle du Nord-Ouest avec une
vitesse w=60km/h.
1) Donner la vitesse ~w du vent. Trouver la vitesse ~v ∗de l’avion par rapport `a l’air en
fonction de v∗et w.End´eduire le cap que doit garder l’avion.
2) Donner la vitesse vde l’avion par rapport au sol en fonction de v∗et w.A.N.
3) Calculer num´eriquement la dur´ee du vol Brest-Strasbourg.
4) Mˆeme probl`eme pour le vol de retour dans les mˆemes conditions atmosph´eriques.
I.6 D´etermination de trajectoire. Une particule est anim´ee d’un mouvement d’acc´el´eration
~a(t)=a(ωt~ex+ cos ωt~ey+e−ωt ~ez).
Pr´eciser les dimensions de aet ω.
Si, au temps t= 0, la particule est situ´ee en ~r0=~
0 et sa vitesse est ~v0=a
ω(−2~ex+~ey+2~ez),
trouver la vitesse ~v(t) et la position ~r(t) de la particule `a chaque instant. V´erifier `a chaque
´etape que vous avez les bonnes dimensions physiques.
I.7 Optimisation de trajectoire. Un promeneur marche sur un chemin (l’axe xx0) et longe
ainsi un champ `a vitesse v1constante. Partant du point A=(a, 0), il d´ecide d’atteindre
un ´epouvantail situ´e dans le champ en B=(0,b). Sachant que le d´eplacement dans le
champ se fait en ligne droite `a vitesse v2constante, chercher en quel point M=(x, 0)
notre marcheur devra quitter le chemin pour minimiser la dur´ee t(x) de son trajet. On
discutera soigneusement les deux cas: v1>v
2et v1≤v2.
A.N.Si a=10metb=5m,d´eterminer le point Met la dur´ee minimale tmin du trajet
dans les cas: v1=2v2=2km/hetv2=2v1=2km/h.
I.8 Boosts. Un “boost” galil´een de vitesse ~v ∈R3est le changement de r´ef´erentiel suivant:
B(~v):µ~r
t¶7−→ µ~r −~vt t¶.
Donner le compos´e B(~v1)◦B(~v2) de deux boosts de vitesses ~v1et ~v2.V´erifier que les
boosts forment un “groupe” commutatif. Interpr´etation physique de la loi de groupe ?
I.9 Effet Doppler classique. On admet que la propagation d’un son pur s’effectue par
“phonons” ´emis `a intervalles de temps r´eguliers (la p´eriode du ph´enom`ene sonore) `ala
vitesse |c|∼
=340 m/s par rapport `a l’air, et ce ind´ependamment de la vitesse de la source.
1) Un camion de pompiers (Source) actionne, `a l’arrˆet, sa sir`ene de fr´equence νS=1/TS.
Votre voiture (R´ecepteur) le croise `a vitesse vRconstante. Tracer les lignes d’univers de
votre voiture, du camion de pompiers et de deux “phonons” successifs. Donner la p´eriode
TRdu signal sonore que vous percevez en fonction de TSet vR/c. Commentaires ?
2) Mˆeme exercice dans le cas o`u vous ˆetes `a l’arrˆet et le camion de pompiers anim´e d’une
vitesse vSpar rapport `a l’air.
3) Vous percevez (vR= 0) le son d’une sir`ene de pompier avec un d´ecalage d’un ton vers
les graves. Le camion se rapproche-t-il ou s’´eloigne-t-il ? Quelle est sa vitesse vS?
4) Si la source ´emet le La3 (νS= 440 Hz), quelles sont les fr´equences νRde r´eception dans
le cas d’une vitesse relative v= 100 km/h. Discuter les diff´erents cas de figure.
5) Trouver enfin la formule g´en´erale de l’effet Doppler dans le cas: vS6=0etvR6=0.
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I.10 Le coup de l’ascenseur. On donne le changement de r´ef´erentiel suivant (γ= const. <0):
x∗=x
y∗=y
z∗=z−1
2γt2
t∗=t
1) Une particule a une vitesse ~v et une acc´el´eration ~a dans le r´ef´erentiel galil´een initial R.
Calculer sa vitesse ~v ∗et son acc´el´eration ~a ∗dans ce nouveau r´ef´erentiel (galil´een ?) R∗.
Imaginer une r´ealisation physique plausible pour R∗. Commentaires ?
2) Un objet de masse ma un poids ~ P=P~ezdans le r´ef´erentiel R. Quel est son poids ~
P∗
dans R∗?
3) En d´eduire le champ de gravitation ~g ∗dans R∗en fonction de sa valeur ~g dans le
r´ef´erentiel inertiel Ret de ~γ =γ~ez. Pour quelle valeur de ~γ pourra-t-on annuler la
gravitation dans R∗? (Le coup de l’ascenseur d’Einstein !)
I.11 Triangles et produit scalaire. On consid`ere les trois vecteurs −→ OA =~ex+~ey+~ez,
−−→
OB =−~ey+~ezet −−→
OC =−~ex+~ey−~ezo`uOd´esigne une origine de l’espace euclidien
tridimensionnel et (~ex,~ey,~ez) une base orthonorm´ee directe de R3.
1) Calculer les produits scalaires ~a ·~ b,~ b·~c et ~c ·~a ainsi que les normes a,bet cdes cˆot´es
~a =−−→ BC,~ b=−→ CA et ~c =−−→ AB du triangle ABC.
2) Quels sont les angles aux sommets ˆ A,ˆ Bet ˆ Cde notre triangle ?
I.12 Base polaire. Le vecteur ~er= cos θ~ex+sin θ~eyest d´efini pour chaque angle θ.D´eterminer
sa d´eriv´ee ~eθ=d~er/dθ et v´erifier que (~er,~eθ) est une base orthonorm´ee (directe) du plan
euclidien.
I.13 Bissecteur. Montrer que le vecteur ||~a ||~ b+~a ||~ b|| bissecte l’angle form´e par les vecteurs
~a et ~ b.
I.14 Triangles et produit vectoriel.
1) Justifier que S(A, B, C)=1
2|| −−→
AB ×−→ AC || donne la surface d’un triangle ABC.
2) Calculer la surface du triangle ABC de l’exercice (I.11).
I.15 Formule de H´eron d’Alexandrie.
1) Montrer que ||~a ×~ b||2=a2b2−(~a ·~
b)2quels que soient ~a et ~ b.
2) H´eron d’Alexandrie d´ecouvre au II-`eme si`ecle de notre `ere l’expression sym´etrique:
s(a, b, c)=pp(p−a)(p−b)(p−c)o`up=1
2(a+b+c) donnant la surface d’un triangle
de cˆot´es a, b, c. Red´emontrer cette ´el´egante formule.
I.16 Double produit vectoriel. Etablir la formule importante: ~a×(~ b×~c )=~ b(~a·~c )−~c (~a·~ b).
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I.17 H´elice circulaire. On consid`ere la courbe suivante dans l’espace euclidien ordinaire
x(t)=rcos(ωt)
y(t)=rsin(ωt)
z(t)=hω
2πt
o`ur>0, het ωsont des constantes.
1) Calculer la vitesse ~v(t) et l’acc´el´eration ~a(t). Exprimer les constantes pr´ec´edentes en
fonction des conditions initiales ~r0,~v0. Montrer que ~a(t)=~
b×~v(t)o`u~ best un vecteur
constant `ad´eterminer en fonction de ω.
2) Donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) telle que s(0) = 0 et ˙s(t)>0.
3) Trouver la tangente unitaire ~ Ten tout point.
4) D´eterminer la courbure ρet la normale unitaire ~ Nen fonction de t.
5) On d´efinit la binormale ~ B=~ T×~ N. Montrer que (~ T, ~ N, ~ B) forme une base mobile
orthonorm´ee directe.
6) On d´efinit en toute g´en´eralit´elatorsion τ=−~ N·d~ B/ds. Calculer la torsion en tout
point de cette h´elice circulaire. A quelle condition a-t-on une h´elice sans torsion ?
7) A.N.Calculer courbure et torsion d’un brin d’ADN (r= 1 nm, et h=3.4 nm).
I.18 Cyclo¨ıde. Une roue de rayon rroule sans glisser sur le sol avec une vitesse angulaire ω
constante.
1) D´eterminer la trajectoire t7→ M(t) d’un point de la p´eriph´erie de la roue (un gravillon
encastr´e dans un pneu de bicyclette). Tracer cette courbe appel´ee cyclo¨ıde.
2) Donner la vitesse ~v(t) et l’acc´el´eration ~a(t) de ce point au cours du temps t. Quelle
distance a parcouru ce point `a l’instant t?
3) Quelle serait la vitesse du gravillon s’il ´etait ´eject´e`at=0,π/(2ω), π/ω, 2π/ω ?La
cyclo¨ıde poss`ede-t-elle des points de rebroussement ?
4) Trouver le rayon de courbure R(t) de la trajectoire.
I.19 Rep`ere mobile. On consid`ere une courbe t7→ ~r de l’espace euclidien R3; son abscisse
curviligne s(t) est telle que v(t)= ˙s(t)>0 dans un certain intervalle de temps.
1) Prouver que ~v =v~ Tet ~a =˙v~ T+ρv
2~
N.
2) En d´eduire la formule suivante de la courbure (ind´ependante du param´etrage):
ρ=||~v ×~a ||
||~v ||3.
3) Calculer la courbure d’une h´elice circulaire (cf. exercice (I.17)). Mˆeme question pour
une spirale d’Archim`ede r=kθ, pour une chaˆınette y=kch(x/k) dans le plan z=0.
I.20 Vitesse moyenne.
1) Un avion relie les villes Aet B`a vitesse v1pendant la moiti´e de la dur´ee totale du
voyage et `a vitesse v2pendant l’autre moiti´e du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
2) Un avion relie les villes Aet B`a vitesse v1sur la moiti´e de la distance totale du voyage
et `a vitesse v2sur l’autre moiti´e du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
N.B.Tracer la ligne d’univers de l’avion dans chaque cas.
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Universit´ edelaM
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Dynamique des syst` emes –T.D. II
Dynamique
II.1 Chute des graves. (Ainsi d´enommait-on les corps pesants.)
1) Trouver la loi horaire t7→ x(t) de la chute d’un corps pesant r´egie par la loi (fausse !)
due `a J.-B. Baliani (contemporain de Galileo Galilei)
dv
dx =C= const. >0,dx dt =v. (1)
2) Mˆeme question pour le mod`ele de Galileo Galilei dans lequel l’Eq. (1) est remplac´ee par
dv
dt =−g= const. <0,dx dt =v. (2)
II.2 Equations diff´erentielles et exemples de processus chimiques. Dans une r´eaction
chimique A→Bmole pour mole, la vitesse de disparition de A, et donc la vitesse de
formation de B, sont `a chaque instant proportionnelles `a la concentration de Aqui vaut
C0`a l’instant initial.
Etablir et int´egrer les ´equations diff´erentielles auxquelles satisfont les concentrations CA(t)
et CB(t).
II.3 Mouvement d’un projectile. Au voisinage de la surface terrestre, on admet que le
champ de pesanteur ~g est uniforme et que l’on peut n´egliger les autres forces, en particulier
celle due au frottement de l’air.
1) Ecrire les ´equations du mouvement pour la vitesse ~v(t) et la position ~r(t) d’un projectile.
2) Donner le mouvement d´efini par les conditions initiales, ~r0=~r(0) et ~v0=~v(0).
3) On choisit d´esormais un rep`ere cart´esien {O, (~ex,~ey,~ez)}tel que ~g =−g~ezavec g=
const. >0. Le projectile est lanc´e, `a la date t= 0, de l’origine ~r0=~
0 avec la vitesse
~v0=v0(cos α~ex+ sin α~ez), o`u αest l’angle de tir.
A partir de l’´equation du mouvement pour ~r(t), montrer que la trajectoire est une parabole
z=ax2+bx +c, les constantes a,bet cs’exprimant en fonction de v0,tgαet g.
4) En terrain horizontal, la vitesse initiale v0´etant donn´ee, quelle(s) valeur(s) faut-il donner
`a l’angle de tir αpour atteindre une cible Cde coordonn´ees (xC,0,z
C)?
5) En d´eduire l’ensemble des points accessibles par le projectile pour une vitesse initiale v0
donn´ee (parabole de sˆuret´e).
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