Chapitre 1.3 –Fonctions trigonométriques inverses

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1
Chapitre 1.3 –Fonctions trigonométriques
inverses
Fonction arcsinus et arccosinus
La fonction arcsinus (arcsin ou sin-1) permet d’évaluer un arc de cercle pour obtenir la
coordonnée yd’un point situé sur un cercle trigonométrique. Cette fonction effectue
exactement l’inverse de la fonction sinus :1
)arcsin(y
ou )(sin 1y
où yarcsin : Fonction définissant l’arc de cercle pour obtenir la coordonnée y.
y
: Coordonnée ydu point sur le cercle trigonométrique.
: Arc de cercle trigonométrique.
La fonction arccosinus (arccos ou cos-1) permet d’évaluer un arc de cercle pour obtenir
la coordonnée xd’un point situé sur un cercle trigonométrique. Cette fonction effectue
exactement l’inverse de la fonction cosinus :
)arccos(x
ou )(cos 1x
où xarccos : Fonction définissant l’arc de cercle pour obtenir la coordonnée x.
x
: Coordonnée xdu point sur le cercle trigonométrique.
: Arc de cercle trigonométrique.
Voici la forme de la fonction : y
1
sinVoici la forme de la fonction : x
1
cos
y
1
1
2/
2/
5,0
6/
1
1
y
1
sin
y
x
1
1
2/
x
1
cos
N.B. Le domaine de ces deux fonctions se limite à [-1 … 1]
1Ne pas confondre la notation suivante :
1
11
1sinsinsinsin   yyyy

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Solutions d’une fonction trigonométrique inverse
Lorsqu’on évalue une fonction trigonométrique inverse, la calculatrice nous donne
toujours le plus petit arc de cercle (positif ou négatif) permettant de localiser la
coordonnée fournie dans l’argument de la fonction. Cependant, il y a plusieurs valeurs
d’arc menant à une même coordonnée. Il y a donc plusieurs solutions à une fonction
trigonométrique inverse :
Ex : ...,6/11,6/7,6/,6/5,...2/1sin 1
x
y
07π/ 6
7π/ 6
0,10 P
2/3
2/1
2/3
-π/ 6
 2
1
,
2
3
6/ P
 2
1
,
2
3
6/7 P
-π/ 6
...,3/5,3/,3/,3/5,...2/1cos 1
x
y
0π/ 3
π/ 3
0,10 P
2/3
2/1
2/3
-π/ 3
 2
3
,
2
1
3/ P
2
3
,
2
1
3/ P
-π/ 3
Pour obtenir l’ensemble des solutions, il faut : (exemple avec cos-1(x))
1) Calculer l’arc de cercle positif ( 0 ) x
1
cos
Ajouter tous les multiples de 2πà cette solution. nx 2cos 1 
,
n
2) Calculer l’arc de cercle négatif ( 0 ) x
1
cos
Soustraire tous le multiple de 2πà cette solution. nx 2cos 1 
,
n

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Situation A : Solutions de la fonction arcsinus.On désire trouver les six premières
solutions de l’équation 2/2sin 1 .
Voici les positions sur le cercle trigonométrique représenté par la coordonnée : 2/2y
x
y
0
θ+
0,10 P
x
2/2
θ-
2
2
,xP
2
2
,xP
x
θ-θ+
Avec la calculatrice, évaluons l’expression :
4/785,02/2sin 1
Nous avons l’expression suivante : 4/
Par symétrie, on peut réaliser que l’expression pour évaluer θ-peut s’évaluer à l’aide d’un
demi tour ce cercle pour l’angle θ+:
4/
4/5
Voici les 3 premiers arcs calculés avec θ+: ( 1,0,1n)
nx 2sin 1  124/  4/7 (1 n)
024/  4/ (0 n)
124/  4/9 (1 n)
Voici les 3 premiers arcs calculés avec θ-: ( 1,0,1n)
nx 2sin 1  124/5  4/13 (1 n)
024/5  4/5 (0 n)
124/5  4/3 (1 n)
Nous avons dans l’ordre : 
4
9
,
4
3
,
4
,
4
5
,
4
7
,
4
13
2
2
sin 1