Fonctions définies par une intégrale dépendant d`un paramètre

Leçon 239: Fonctions définies par une intégrale
dépendant d’un paramètre.
Exemples et applications.
Adrien Fontaine
23 décembre 2012
1

Table des matières
1 Régularité 3
1.1 Continuité........................................ 3
1.2 Dérivabilité ....................................... 4
1.3 Holomorphie....................................... 5
2 Convolution 6
2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Suitesrégularisantes .................................. 7
3 Transformée de Fourier 9
3.1 Dans L1et dans L2................................... 9
3.2 Dansl’espacedeSchwartz ............................... 10
3.3 Transformée de Fourier holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Étude asymptotique 12
4.1 MéthodedeLaplace .................................. 12
4.2 Phasestationnaire ................................... 13
2

1 RÉGULARITÉ 3
Cadre : Dans toute la leçon, (X, τ, µ)désigne un espace mesuré et Eun espace vectoriel
normé de dimension finie. On considère une fonction f:E×X→Cet on pose :
F(t) = ZX f(t, x)dµ(x)
1 Régularité
Le but de cette partie est d’étudier les résultats de régularité de la fonction F.
1.1 Continuité
Théorème 1
Supposons les conditions suivantes vérifiées :
1. Pour tout t∈E, la fonction x7→ f(t, x)est mesurable.
2. Pour presque tout x∈X, la fonction t7→ f(t, x)est continue en t0∈E.
3. Il existe une fonction g∈L1positive indépendante de ttelle que
|f(t, x)| ≤ g(x)∀t∈E, pour presque tout x∈X
Alors la fonction Fest continue au point t0.
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème I.1p307
Corollaire 1
Supposons que
1. Pour tout t∈E,x7→ f(t, x)est mesurable.
2. Pour presque tout x∈X,t7→ f(t, x)est continue sur E.
3. Pour tout compact Kde E, il existe g∈L1positive indépendante de ttelle que
|f(t, x)| ≤ g(x)∀t∈K, pour presque tout x∈X
Alors, la fonction Fest continue sur E.
Démonstration : Zuily-Queffelec, corollaire I.2p307
Exemple 1
Pour x > 0, on pose
Γ(x) = Z+∞
0
tx−1e−tdt
Cette fonction est bien définie et est continue sur ]0,+∞[.

1 RÉGULARITÉ 4
Contre-exemple 1
La fonction f: [0,+∞[×[0,+∞[→R
(t, x)7→ f(t, x) = te−xt
est continue sur [0,+∞[×[0,+∞[mais
F(t) = Z+∞
0
f(t, x)dx
n’est pas continue en 0.
Démonstration : Hauchecorne, 11.22p224
1.2 Dérivabilité
On suppose ici que Eest un intervalle Iouvert de R.
Théorème 2
On suppose que :
1. Pour tout t∈I, la fonction x7→ f(t, x)∈L1
2. Pour presque tout x∈X, la fonction t7→ f(t, x)est dérivable sur I.
3. Pour tout compact Kde I, il existe une fonction g∈L1positive, indépendante de t,
telle que
|∂f
∂t (t, x)| ≤ g(x),∀t∈K, pour presque tout x∈X
Alors,
1. Pour tout t∈I, la fonction x7→ ∂f
∂t (t, x)est dans L1(X)
2. La fonction Fest dérivable sur Iet
F0(t) = Z∂f
∂t (t, x)dµ(x)
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème I.3p308
Remarque 1
– Si dans la deuxième hypothèse du théorème, on remplace dérivable sur Ipar C1sur I,
alors dans la deuxième assertion du théorème, on a Fqui est C1.
– On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur, où il faut cette fois des
majorations par des fonctions gj∈L1pour chaque dérivée.
– On peut remplacer l’intervalle Ide Rpar un ouvert Ωde Rn, les conditions de majorations
étant alors sur chacune des dérivées partielles.

1 RÉGULARITÉ 5
Exemple 2
1. La fonction Γdéfinie précédemment est en fait de classe C∞sur ]0,+∞[.
2. Calcul de
F(a) = Zπ/2
0
log(1 + acos(x))
cos(x)dx =π2 8+(argch(a))2 2
Démonstration : Zuily-Queffelec, p313 et Gourdon, Problème 4p174
Contre-exemple 2
La fonction f:R×[0,+∞[→R
(t, x)7→ f(t, x) = t2e−x|t|
est de classe C1mais F(t)n’est pas dérivable.
Démonstration : Hauchecorne, 11.24p226
1.3 Holomorphie
Dans ce paragraphe E= Ω désigne un ouvert de C
Théorème 3
On suppose que :
– Pour tout z∈Ω, l’application x7→ f(z, x)est mesurable.
– Pour presque tout x∈X,z7→ f(z, x)est holomorphe.
– Pour tout compact Kde Ω, il existe gK∈L1(X)(indépendant de z) telle que |f(z, x)| ≤
g(x)pour presque tout x∈Xet pour tout z∈K.
Alors Fest holomorphe sur Ωet pour tout z∈Ω, et tout n∈N,
F(n)(z) = ZX
∂nf
∂zn(z, x)dµ(x)
Démonstration : Objectif Agrégation, théorème 2.34 pour la formulation et Tauvel, p91 pour la
démonstration
Développement : Prolongement méromorphe de la fonction Γ.
Exemple 3
La fonction Γadmet un unique prolongement méromorphe sur C\ {−N}.
Les théorèmes précédents ont pour cadre la théorie de Lebesgue, donc des intégrales absolument convergentes. Ils ne concernent donc
pas les intégrales semi-convergentes de R. Il existe toute une série de théorèmes analogue dans le cas des intégrales semi-convergentes.
Cependant, ils sont beaucoup moins maniables et ils n’ont d’intérêt que si l’on ne connait pas la théorie de l’intégrale de Lebesgue car
dans des cas pratiques d’intégrales semi-convergentes, on peut souvent par une ou plusieurs intégrations par parties, se ramener à des
intégrales pour lesquelles on peut utiliser les théorèmes de la théorie de Lebesgue.
On peut cependant trouver l’énoncé de ces théorèmes dans Zuily-Queffelec, pages 309-310