Théorème de Thalès (révisions Pythagore)

3ème
2008-2009
Théorème de Thalès (révisions Pythagore)
I. Théorème de Thalès
1/ Rappels
Produit en croix
a , b , c et d représentent quatre nombres non nuls.
a c
Si = alors a d =b c .
b d
Conséquences (calcul de la 4ème proportionnelle)
Par ailleurs, on a aussi les égalités suivantes : a=
bc
ad
ad
bc
; b=
; c=
; d=
.
d
c
b
a
Méthode
Si on place les quatre nombres dans un tableau, on peut exprimer un nombre en fonction des
autres en « faisant le produit des deux nombres en diagonal et en divisant par le nombre restant ».
c
?
b
d
2/ Activité
Fiche J.N 1 ou partir de l'énoncé donné en 4ème pour généraliser à toutes les configurations.
3/ Énoncé du théorème
Configurations géométriques de Thalès
« Deux parallèles sur deux sécantes »
B
A
C
N
M
C
(BC)//(MN)
A
N
A
B
C
B
M
(BC)//(NM)
(configurations triangles)
N
M
(configuration papillon)
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Théorème de Thalès
Si
BC est parallèle à
A ,B , M et A ,C , N sont alignés sur deux droites sécantes en A et si
AB AC BC
=
=
AM AN MN .
alors
 MN 
Remarque
Dans le premier quotient, les lettres A ,B et M correspondent à des points d'une même sécante ; dans le
deuxième quotient, les lettres A ,C et N correspondent aux points de la deuxième sécante ; et dans le dernier
quotient, on retrouve les lettres qui correspondent aux deux parallèles.
R
W
Exemple
Repérer les différentes configuration de Thalès et donner les égalités
de quotients.
X
U
V
M
T
S
(VS)//(UM) et (UM)//(WX)
(UT)//(RS)
4/ Exemple à savoir refaire
D
Énoncé
?
Les droites DJ  et CK  sont sécantes en M. Les droites KJ et DC  sont
parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
Remarque
On pourra aussi prendre exemple sur l'exercice résolu 1 page 226.
6
cm
M
5,
4
Une solution possible
3,
(KJ)//
(DC)
MD MC DC
=
=
 on donne les quotients
MJ MK KL
3,6 DC
=
 on remplace par les valeurs numériques
5,4 7,2
3,6×7,2
DC =
 on exprime l ' inconnue en fonction des nombres
5,4
DC =4,8 cm
 on n ' oublie pas l ' unité
C
cm
Dans le figure ci-contre, calcule la longueur DC .
K
7, 3 c
m
J
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II. Réciproque du théorème de Thalès
1/ Activité
Voir fiche JN
2/ L'énoncé
Réciproque du théorème de Thalès
B
AM AN
=
AB AC et si les points A , M , B et A ,C , N sont alignés dans le même ordre
sur deux droites sécantes en A
Si
C
A
alors
les droites
 MN  et  BC  sont parallèles.
N
Remarque
M
L'ordre des lettres se déduit des quotients ; il doit y avoir un cohérence entre cet ordre et l'emplacement des
points sur la figure.
3/ A savoir refaire
K
cm
J
3,6
Énoncé
Démontre que les droites (MJ) et (NK) sont parallèles.
1, 2
I
• Calculons séparément :
• On remarque que
ordre.
0,8 c m
H
2 ,4 c m
Réponse
IJ 1,2 12 1
=
= =
IK 3,6 36 3
cm
G
IH 0,8 8 1
=
= =
IG 2,4 24 3
IJ IH
=
et que les points I , J , K d'une part et I , H ,G sont alignés dans le même
IK IG
• D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (HJ) et (GK) sont parallèles.
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III. Rappels sur le théorème de Pythagore et sa réciproque
1/ Théorème de Pythagore
Quelques rappels
Le côté en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse : c'est le côté
[ AC ] . Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit :
[ BA ] et [ BC ] .
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires :

BCA + 
BAC = 90°
Théorème
2
2
2
Si ABC est rectangle en B alors AC = BA  BC . Autrement dit :
« Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit ».
Exemples
2
2
2
IJH rectangle en H : IJ = HI  HJ
2
2
2
VBE rectangle en V : BE =VB VE
Exemple type
On considère un triangle ABC rectangle en B tel que :
AC=10 cm et BA=5 cm . Fais une figure à main levée et
trouve la valeur manquante.
ABC est rectangle, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
AC 2= AB2 BC 2
102 =52 BC 2
BC 2=102 – 52
BC 2=75
BC = 75
BC ≈8,7 cm (arrondi au millimètre)
2/ Réciproque du théorème de Pythagore
Si EFG est un triangle tel que
est rectangle ou non.
EF = 4,5 cm ; EG= 7,5cm et FG=6 cm , on peut essayer de voir s'il
• On calcule séparément
EG²=7,5²=56,25
EF²+FG²=4,5²+6²=56,25
• On remarque que...
… EG²=EF²+FG²
• On conclut en citant la bonne propriété
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle EFG est rectangle en F.
E
EG= 7 , 5 cm
4 , 5 cm
F
6 cm
G
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IV. Pythagore, Thalès : lequel choisir ?
•
•
Pythagore permet de faire le lien entre la perpendicularité (propriété géométrique) et une égalité de carrés de longueur (propriété numérique).
Thalès permet de faire le lien entre le parallélisme (propriété géométrique) et des égalités de quotients
de longueurs (propriété numérique).
Théorème de Pythagore
Théorème de Thalès
Deux perpendiculaires et une sécante
Deux parallèles et deux sécantes
ou bien
ou bien
un triangle rectangle
un petit et un grand triangle
A calculer une longueur si on en
A calculer une longueur si on en connaît au
connaît au moins deux
moins trois
Configurations
Figures
associées
A quoi ça sert
Points important
de la rédaction
•
•
•
•
•
Triangle rectangle
Théorème Pythagore
Égalité de Pythagore
Calculs
Résultat avec l'unité
•
•
•
•
•
Deux sécantes et deux parallèles
Théorème de Thalès
Quotients de longueurs
Calculs
Résultat avec l'unité
Réciproque du théorème
Réciproque du théorème de
de Pythagore
Thalès
Un triangle à priori quelconque
Configuration
ou bien
Deux sécantes et deux autres droites
trois sécantes
A démontrer que deux droites sont
A quoi ça sert
perpendiculaire ou qu'un triangle est
A démontrer que deux droites sont parallèles
rectangle
Combien de
Trois longueur, en général, les côté d'un
Quatre longueurs, en général sur les deux
longueur faut-il ?
triangle
sécantes
Points important
de la rédaction
•
•
•
•
Calculer séparément
On remarque une égalité de
carrés de longueur
Réciproque de Pythagore
Triangle rectangle en ...
•
•
•
•
Calculer séparément
On remarque une égalité de quotients
de longueur ; des points alignés dans
un même ordre
Réciproque de Thalès
Droites parallèles
3ème
V. Démonstration
Voici la démonstration d'Euclide :
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