Théorème de Thalès (révisions Pythagore)

3ème 2008-2009
Théorème de Thalès (révisions Pythagore)
Théorème de Thalès (révisions Pythagore)
I.
I. Théorème de Thalès Théorème de Thalès
1/ Rappels
Produit en croix
a
,
b
,
c
et
d
représentent quatre nombres non nuls.
Si
a
b=c d
alors
a d=b c
.
Conséquences (calcul de la 4 ème proportionnelle)
Par ailleurs, on a aussi les égalités suivantes :
a=bc
d
;
b=ad
c
;
c=ad
b
;
d=bc
a
.
Méthode
Si on place les quatre nombres dans un tableau, on peut exprimer un nombre en fonction des
autres en « faisant le produit des deux nombres en diagonal et en divisant par le nombre res-
tant ».
2/ Activité
Fiche J.N 1 ou partir de l'énoncé donné en 4ème pour généraliser à toutes les configurations.
3/ Énoncé du théorème
Configurations géométriques de Thalès
« Deux parallèles sur deux sécantes »
(configurations triangles) (configuration papillon)
A
B
M
N
C
B
C
A
N
M
(BC)//(MN)
A
N
M
B
C
(BC)//(NM)
?
c
b
d

3ème 2008-2009
Théorème de Thalès
Si
A ,B , M
et
A ,C , N
sont alignés sur deux droites sécantes en
A
et si
BC
est parallèle à
MN 
alors
AB
AM =AC AN =BC MN
.
Remarque
Dans le premier quotient, les lettres
A ,B et M
correspondent à des points d'une même sécante ; dans le
deuxième quotient, les lettres
A ,C et N
correspondent aux points de la deuxième sécante ; et dans le dernier
quotient, on retrouve les lettres qui correspondent aux deux parallèles.
Exemple
Repérer les différentes configuration de Thalès et donner les égalités
de quotients.
4/ Exemple à savoir refaire
Énoncé
Dans le figure ci-contre, calcule la longueur
DC
.
Une solution possible
Les droites
DJ 
et
CK 
sont sécantes en M. Les droites
KJ
et
DC 
sont
parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
MD
MJ =MC MK =DC KL on donne les quotients
3,6
5,4 =DC 7,2 on remplace par les valeurs numériques
DC =3,6×7,2
5,4 on exprime l ' inconnue en fonction des nombres
DC =4,8 cm on n ' oublie pas l ' unité
Remarque
On pourra aussi prendre exemple sur l'exercice résolu 1 page 226.
R
S
U
T
V
X
W
(VS)//(UM) et (UM)//(WX)
(UT)//(RS)
M
D
C
J
K
M
5,4 cm
3,6 cm
7,3 cm
?
(KJ)//
(DC)

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II.
II. Réciproque du théorème de Thalès Réciproque du théorème de Thalès
1/ Activité
Voir fiche JN
2/ L'énoncé
Réciproque du théorème de Thalès
Si
AM
AB =AN AC
et si les points
A , M , B
et
A ,C , N
sont alignés dans le même ordre
sur deux droites sécantes en
A
alors les droites
MN 
et
BC
sont parallèles.
Remarque
L'ordre des lettres se déduit des quotients ; il doit y avoir un cohérence entre cet ordre et l'emplacement des
points sur la figure.
3/ A savoir refaire
Énoncé
Démontre que les droites (MJ) et (NK) sont parallèles.
Réponse
•Calculons séparément :
IJ
IK =1,2 3,6 =12 36 =1 3
IH
IG =0,8 2,4=8 24=1 3
•On remarque que
IJ
IK =IH IG
et que les points
I , J , K
d'une part et
I , H ,G
sont alignés dans le même
ordre.
•D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (HJ) et (GK) sont parallèles.
B
C
A
N
M
K
G
J
H
I
1,2 cm
3,6 cm
0,8 cm
2,4 cm

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III.
III. Rappels sur le théorème de Pythagore et sa réciproque Rappels sur le théorème de Pythagore et sa réciproque
1/ Théorème de Pythagore
Quelques rappels
Le côté en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse : c'est le côté
[AC ]
. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit :
[BA ]
et
[BC ]
.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires :
BCA
+
BAC
= 90°
Théorème
Si
ABC
est rectangle en
B
alors
AC2=BA2BC2
. Autrement dit :
« Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit ».
Exemples
IJH
rectangle en
H
:
IJ 2=HI2HJ 2
VBE
rectangle en
V
:
BE2=VB2VE2
Exemple type
On considère un triangle
ABC
rectangle en
B
tel que :
AC=10cm
et
BA=5cm
. Fais une figure à main levée et
trouve la valeur manquante.
ABC
est rectangle, on peut donc appliquer le théorème de Py-
thagore :
AC2=AB2BC2
102=52BC2
BC 2=102–52
BC 2=75
BC = 75
BC ≈,8 7 cm
(arrondi au millimètre)
2/ Réciproque du théorème de Pythagore
Si
EFG
est un triangle tel que
EF =,4 5 cm
;
EG=,7 5cm
et
FG=6cm
, on peut essayer de voir s'il
est rectangle ou non.
•On calcule séparément
EG²=7,5²=56,25
EF²+FG²=4,5²+6²=56,25
•On remarque que...
… EG²=EF²+FG²
•On conclut en citant la bonne propriété
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle EFG est rectangle en F.
, cm4 5
cm6
EG= , cm7 5
E
F
G

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IV.
IV. Pythagore, Thalès : lequel choisir ? Pythagore, Thalès : lequel choisir ?
•Pythagore permet de faire le lien entre la perpendicularité (propriété géométrique) et une égalité de car-
rés de longueur (propriété numérique).
•Thalès permet de faire le lien entre le parallélisme (propriété géométrique) et des égalités de quotients
de longueurs (propriété numérique).
Théorème de Pythagore Théorème de Thalès
Configurations
Deux perpendiculaires et une sécante
ou bien
un triangle rectangle
Deux parallèles et deux sécantes
ou bien
un petit et un grand triangle
Figures
associées
A quoi ça sert A calculer une longueur si on en
connaît au moins deux
A calculer une longueur si on en connaît au
moins trois
Points important
de la rédaction
•Triangle rectangle
•Théorème Pythagore
•Égalité de Pythagore
•Calculs
•Résultat avec l'unité
•Deux sécantes et deux parallèles
•Théorème de Thalès
•Quotients de longueurs
•Calculs
•Résultat avec l'unité
Réciproque du théorème
de Pythagore
Réciproque du théorème de
Thalès
Configuration
Un triangle à priori quelconque
ou bien
trois sécantes
Deux sécantes et deux autres droites
A quoi ça sert
A démontrer que deux droites sont
perpendiculaire ou qu'un triangle est
rectangle
A démontrer que deux droites sont parallèles
Combien de
longueur faut-il ?
Trois longueur, en général, les côté d'un
triangle
Quatre longueurs, en général sur les deux
sécantes
Points important
de la rédaction
•Calculer séparément
•On remarque une égalité de
carrés de longueur
•Réciproque de Pythagore
•Triangle rectangle en ...
•Calculer séparément
•On remarque une égalité de quotients
de longueur ; des points alignés dans
un même ordre
•Réciproque de Thalès
•Droites parallèles