mots et notions géométriques livretC3

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Arden Quin, « sans titre
Page 1
Repérage sur quadrillage ; agrandissement ; réduction.
Page 2
Mesurer avec la règle graduée, l’équerre, le compas.
Page 3
Points, droites et segments - perpendiculaires et parallèles.
Page 5
Angles
Page 6
Tracer une médiatrice - tracer une bissectrice.
Page 7
Symétrie axiale.
Page 8
Parler des polygones
Page 9
Parler des triangles — propriétés des triangles.
Page 10
Construire des triangles.
Page 11
Décrire des quadrilatères.
Page 12
Les propriétés des quadrilatères : tableau de synthèse.
Page 13
Tracer des quadrilatères.
Page 14
Vocabulaire du cercle et du disque.
Page 15
Des solides.
Page 16
Le vocabulaire des solides — les patrons de solides.
Page 17
Suivre un programme de construction — Reproduire une figure.
Le quadrillage est un outil très pratique pour agrandir, réduire, faire de la symétrie. Mais il faut d’abord savoir s’y repérer.
1
2
3
4
5
6
Voici un quadrillage 3x6
A
Les cases sont repérées par leurs
coordonnées.
Exemple : o est dans (B ; 4)
o
B

C
1
2
3
4
est dans (C ; 6)
5
Voici un quadrillage 3x6
A
Les noeuds sont repérés par leurs
coordonnées.
Exemple :
est sur (B ; 5)
B
est dans (A ; 2)
Une réduction
Un agrandissement
1
8 cm et 6 mm
[AB] = 8, 6 cm
B
Le point A est placé juste en
face du « 0 » de la règle.
10
9
8
73
6
On utilise la règle.
35
4
A
3
2
1
0
Le point A est placé juste en
face d’un nombre entier de la
règle.
7 cm et 5 mm
B
5 cm
9
A
la règle est cassée ?
1
8
37
6
[AB] = 7, 5 cm - 5 cm = 2, 5 cm
35
4
3
A
A
A
Un angle
droit
Un angle
quelconque
O
Un angle
quelconque
O
B
O
Les segments sont
perpendiculaires en O
B
Les segments ne sont pas
perpendiculaires en O
B
Les segments L et N
ont la même longueur.
L
M
N
2
Le point est ce qui montre la position dans
l’espace. Il est le départ (et l’arrivée !) d’une
construction géométrique. Il faut toujours
le marquer (en général par une petite croix
ou … un point !) et le nommer.
2 points sont toujours alignés.
Pour vérifier si trois points (ou plus) sont
alignés, il faut vérifier qu’ils sont sur la
même droite, en utilisant la règle.
A
Le point A
A
D
B
E
C
F
A , B et C sont alignés.
D, E et F ne sont pas alignés.
Quand on a marqué deux points, on peut tracer une
droite ; une demi-droite : un segment.
Une droite est infinie.
Une demi-droite a une extrémité...mais est quand
même infinie.
Un segment a deux extrémités : on peut le mesurer.
A
A
B
La droite (A B)
A
B
La demi-droite [A B)
B
Le segment [A B]
A
Lorsque deux droites ne se croisent jamais et que la
distance entre ces deux droites est toujours la
même, les deux droites sont parallèles.
Ici, la distance entre les droites
est de 1,58 cm
B
1,58
C
1,58
D
Deux droites parallèles
(AB) // (CD)
3
Tracer une parallèle à (AB)
2
1
Je place mon équerre,
puis je place ma règle
règle
A
Je replace mon équerre
sur ma règle et je trace !
règle
B
I
I
A
B
A
Lorsque deux droites se croisent en un point,
on dit que ces deux droites sont sécantes.
C
O
D
B
(AB) et (CD) sont sécantes en O
(elles se croisent en O)
C
Lorsque deux droites se croisent en un point,
et forment un angle droit que l‘on mesure
avec l‘équerre, on dit que ces deux droites
sont perpendiculaires.
B
O
A
D
(AB) et (CD) sont perpendiculaires
au point O
(AB)
(CD)
Tracer une perpendiculaire :
Il suffit de faire glisser l’équerre ...et de tracer !
I
équerre
A
équerre
Ou...
B
A
B
I
ATTENTION ! ON NE MESURE JAMAIS DE LONGUEUR AVEC UNE
ÉQUERRE… (Elle ne devrait même pas être graduée…)
4
Lorsque deux droites sont sécantes, elles
forment des angles. Le point de croisement
est le sommet de l’angle. Ici, c’est le point O.
On note les angles avec un chapeau (le sommet au milieu).
angle DÔA
(OA et OD sont les côtés)
angle AÔC
(OA et OC sont les côtés)
angle CÔB
(OB et OC sont les côtés)
angle BÔD
(OB et OD sont les côtés)
Les angles sont mesurés avec un calque, un gabarit ou un rapporteur. L’unité de mesure est
le degré (°).
angle aigu (< 90 °)
Angle droit (= 90°)
A
C
O
D
B
angle obtu (> 90°)
Des gabarits d’angles à décalquer pour pouvoir
mesurer et comparer des angles...
10°
45°
30°
15°
60°
90°
120°
180°
5
arc 1
arc 1
arc 1
arc 2
C
A
A
B
B
A
arc 2
C
B
A
B
D
D
1 – Tracer le segment [AB]
2 – Tracer l’arc de cercle 1 de centre A et de rayon plus grand que la moitié du
segment (à vue d’œil !).
3 – Tracer l’arc de cercle 2 de centre B et de même rayon que l’arc 1.
4 – Marquer les points d’intersection C et D puis la droite qui passe par ces
points : c’est la médiatrice du segment [AB] : elle passe par le milieu de
[AB] et est perpendiculaire à ce segment.
arc 1
A
A
O
O
O
B
A
A
C
O
B
arc 1
arc 1
C
O
B
B
arc 2
arc 2
1 – Tracer l’angle de sommet O.
2 – Tracer un premier arc de cercle qui coupe l’angle en A et B.
3 – Tracer l’arc 1 de centre A et de rayon plus grand que [AB].
4 – Tracer l’arc 2 de centre B et de rayon identique à celui de l’arc 1.
5 – Marquer le point d’intersection des arcs 1 et 2 : c’est le point C. Tracer la droite
(OC) : c’est la bissectrice de l’angle AÔB. Elle le coupe en deux parties égales.
6
Une figure géométrique peut avoir un ou des axes de symétrie : si on plie une figure en suivant un
axe de symétrie, on obtient un pliage parfait (rien ne dépasse, les deux parties sont superposables).
Cette figure jaune ne
possède pas d’axe de
symétrie.
La figure jaune
possède 4 axes de
symétrie.
Cette figure jaune
possède 1 axe de
symétrie.
A
A2
A1
B
Figure 1
Figure 2
Le segment rouge est un axe de symétrie.
Dans la figure 1, il y a un point sur l’axe de symétrie.
Dans la figure 2, le point A2 est le symétrique du point A1 par rapport au segment rouge [AB] :
La distance entre A1 et le segment est la même que la distance entre A2 et le segment.
sur un quadrillage, il faut se repérer avec les carreaux).
« CE QUI EST LOIN DE L’AXE DANS LA FIGURE DE DÉPART RESTE LOIN DE L’AXE DANS LA FIGURE
SYMÉTRIQUE »
Pour tracer le symétrique d’une figure sur papier blanc
Il faut tracer des perpendiculaires à l’axe avec une équerre et mesurer des distances avec le
compas...
Consigne : tracer le symétrique du triangle A1 – B1 – C1
par rapport au segment rouge
C1
B1
A1
C2
A2
B2
1 – tracer les droites perpendiculaires au segment rouge passant par les points A1 – B1 – C1
2 – avec le compas, mesurer la distance entre A1
et l’axe. Reporter de l’autre côté de l’axe : on obtient A2.
Faire la même chose avec B1 et C1
3 – tracer les différents segments pour obtenir
la figure symétrique.
7
Les polygones sont des figures géométriques planes limitées par une ligne
brisée fermée.
Les polygones possèdent plusieurs angles (les sommets) et plusieurs côtés. Il ne
peut pas y avoir de partie arrondie dans un polygone.
sommet
côté
Ce n’est pas un polygone
(la ligne n’est pas fermée)
Ce n’est pas un polygone
(la ligne est arrondie)
C’est un polygone
Des polygones réguliers
Dans les polygones réguliers, tous les angles sont égaux et les côtés ont même longueur.
On peut tous les tracer à la règle et au compas (c’est plus ou moins facile…), à partir d’un
cercle. Plus il y a de côtés et plus le polygone ressemble à un ...cercle !
Nommer les polygones
Les polygones à 3 angles et 3 côtés sont les triangles.
Les polygones à 4 angles et 4 côtés sont les quadrilatères.
Après, il faut connaître certains préfixes… et « gones » (qui veut dire « angles »)
5
penta-
8
octo-
6
hexa-
9
ennéa-
7
hepta-
10
déca-
12
dodéca-
Exemple : un polygone à 7 côtés est
un heptagone.
8
A
B
H
C
Un triangle est un polygone qui comporte 3
angles et 3 côtés.
La droite perpendiculaire à un côté et qui
passe par le sommet opposé s’appelle la hauteur ( ici : (AH)). Elle se construit en faisant
glisser l’équerre sur le côté opposé (ici :
[BC]). Dans un triangle, il y a 3 hauteurs.
A
B
C
B
B
Axe de Symétrie
Hauteur
Axe de symétrie ET hauteur
A
A
C
C
Triangle équilatéral
Il y a trois côtés égaux.
Il y a trois angles égaux.
Les 3 axes de symétrie et les 3
hauteurs sont confondues (= l’une
sur l’autre).
Triangle isocèle
Il y a deux côtés égaux.
Il y a deux angles égaux.
B
B
C
A
A
Triangle rectangle
Il y a un angle droit (ici en A).
Il y a deux hauteurs confondues avec deux côtés du
triangle(ici [AB] et [AC]).
C
Triangle rectangle isocèle
Il y a deux côtés égaux.
Il y a un angle droit.
Il y a deux angles égaux.
9
C
C
Construire le segment [AB] à la
règle.
Arc 2
Arc 1
Arc 2
Arc 1
Construire les arcs 1 et 2 de
même longueur que [AB] pour le
triangle équilatéral.
Construire les arcs 1 et 2 d’une
longueur égale à [AC] et [BC] .
A
B
Marquer le point C et tracer [AC]
et [BC].
Triangle équilatéral
arc 2 ( R = 5 cm)
arc 1 (R = 3 cm)
A
B
Triangle isocèle
Construire le segment
[AB] = 6 cm à la règle.
C
Construire l’arc 1 de
rayon 3 cm.
A
B
Construire l’arc 2 de
rayon 5 cm.
Marquer le point C et
Triangle quelconque [AB] = 6 cm ; [AC] = 3 cm ; [BC] = 5 cm tracer [AC] et [BC]
C
Construire le segment [AB] à la
règle.
Construire la droite perpendiculaire à [AB] passant par A.
équerre
A
B
Triangle rectangle en A : [AB] = 5 cm ; [AC] = 3 cm
C
Marquer le point C (mesure à la
règle ou au compas), tracer [AC]
et [BC].
Construire le segment [AB] à la règle.
Construire la droite perpendiculaire à
[AB] passant par A.
équerre
A
Marquer le point C (mesure à la règle
ou au compas), tracer [AC] et [BC].
B
Triangle rectangle isocèle : [AB] = [AC] = 3 cm
10
Les quadrilatères sont des polygones à 4 angles et côtés. Certains d’entre eux sont remarquables et ils sont reconnaissables par leurs diagonales, les angles droits et la longueur de leurs côtés : les trapèzes ; les parallélogrammes ; les rectangles ; les losan-
ges ; les carrés.
Ils faut les reconnaître car avec les triangles, ils permettent de décomposer des figures géométriques complexes en un ensemble de figures plus simples.
B
B
A
Axes de symétrie
A
D
Diagonales
C
D
C
Des quadrilatères quelconques
A
A
B
B
A
B
O
O
D
C
D
Un trapèze quelconque
D
C
C
Un trapèze rectangle
Un trapèze isocèle
B
A
C
A
A
A
B
O
D
D
O
B
O
B
D
C
C
Un parallélogramme
C
Un rectangle
D
Un cerf volant
Un losange
A
D
O
C
Un carré
B
11
Nombre de paires
Nombre d’angles
de côtés
droits
parallèles
Nombre d’axes
de symétrie
Diagonales de
même longueur
(oui / non)
0
0
non
non
non
1
0
0
non
non
non
0
1
1
0
non
non
non
Trapèze isocèle
2
1
0
1
oui
non
possible
Cerf volant
2+2
0
1 maximum
1
non
non
oui
Parallélogramme
2+2
2
0
0
oui
oui
non
Rectangle
2+2
2
4
2
oui
oui
non
Losange
4
2
0
2
non
oui
oui
Carré
4
2
4
4
oui
oui
oui
Nom du
quadrilatère
Nombre de côtés
de même longueur
Quadrilatère
quelconque
0
0
Trapèze
quelconque
0
Trapèze rectangle
Diagonales se
Diagonales
croisant en leur Perpendiculaires
milieu (oui / non)
(oui / non)
12
Pour tracer des quadrilatères, il faut utiliser les outils de bases : règle, équerre, rapporteur et compas.
Consigne : tracer un rectangle ABCD de petit côté 3 cm et 5 cm de grand côté. La méthode est identique pour le carré.
1 – je construis [AB] = 3 cm
2 – je construis [BC] = 5 cm
3 – je trace l’arc de 3 cm en
pointant mon compas en C.
4 – je trace l’arc de 5 cm en
pointant mon compas en A.
5 – les deux arcs se croisent au point D.
6 – je trace le rectangle
ABCD
D
A
arc de 3 cm = AB
arc de 5 cm = BC
B
C
Même chose pour un losange.
Même chose pour un parallélogramme
B
B
D
A
D
A
C
C
Il faut savoir construire ces figures simples pour reproduire des figures plus complexes (voir « reproduction de figure » page
)
La construction avec la règle et le compas est beaucoup plus précise que
celle avec l’équerre. Les longueurs mesurées et tracées avec le compas sont
bien plus nettes.
13
C
Diamètre
Rayon
A
Centre O
Corde
D
M
Le cercle est une ligne courbe fermée. Tous les
points qui se trouvent sur le cercle sont à la même
distance du point O : ce point est le centre du
cercle. C’est l’endroit où il faut planter le compas.
Quand tu écartes les bras du compas, tu mesures
le rayon.
Le diamètre est deux fois plus grand que le rayon.
B
La longueur du tour du cercle s’appelle la circonférence. Pour la calculer, on utilise un drôle d’objet : le nombre PI (Π).
Π vaut à peu près 3,14.
Circonférence C = 2 x Rayon R x Π
C= 2x RxΠ
Exemple : un cercle a un rayon R = 3 cm.
Sa circonférence mesure C = 2 x R x Π = 2 x 3 x 3, 14 = 18, 84 cm
Arc de cercle
O
R
O
Un arc de cercle est un morceau de cercle. On s’en sert
pour tracer les médiatrices et les bissectrices, pour
marquer des longueurs égales au rayon R.
Un disque est une surface limitée par un cercle : le disque est un « cercle plein ».
Le cercle permet de tracer de nombreux polygones réguliers.
En reportant 3 fois le diamètre sur le cercle :
Le triangle équilatéral
En reportant 6 fois le rayon
sur le cercle :
L’hexagone régulier
En traçant deux diamètres perpendiculaires : Le carré
14
Des solides qui roulent...
La sphère
Le cylindre
Le cône
Le prisme triangulaire
Le cube
Le pavé droit (parallélépipède)
Le pyramide à base triangulaire
(tétraèdre)
Le prisme hexagonal
Le pyramide à base carrée
15
Un sommet
Une face
Une arête
Si on coupe un solide en suivant certaines arêtes, on peut le développer (c’est à
dire l’ouvrir à plat) : on obtient un patron du solide.
Le cube possède 11 patrons différents . En les repliant et en scotchant les arê-
Un jeu intéressant :
en regardant les patrons, essayer de le replier dans la tête et
trouver les côtés qui
vont se toucher pour
former une arête (on les
colorie alors de la même
couleur…)
Voici le résultat pour le tétraèdre sur les deux patrons :
Tétraèdre
Les deux patrons du tétraèdre
Et tu peux faire la même chose avec les autres solides réguliers...
16
Suivre un programme de construction
Un programme de construction est découpé en plusieurs étapes. Il faut bien
connaître le vocabulaire de la géométrie et suivre les étapes dans l’ordre.
Exemple : 1 – construire un carré ABCD de 2 cm de côté.
2 – placer le point I milieu de [AB]
3 – placer le point J milieu de [BC]
4 – tracer les segments [IJ] ;
A
B
A
I
I
B
A
I
B
A
J
D
D
C
D
C
B
J
D
C
C
Il faut toujours lire le programme de construction en entier et tracer la
figure à main levée (en respectant à peu près les longueurs, sur le papier
quadrillé de ton cahier : 1 carreau correspond à peu près à 1 cm), pour
voir à quoi la figure finale devra ressembler.
Reproduire une figure
C’est souvent plus complexe que de suivre un programme de construction car il
faut analyser la figure :
⇒
la découper en figures simples, que l’on sait tracer.
⇒
voir des points ou des segments qui ne sont pas marqués (centre de cercle,
de carré, milieu de segment, quadrilatères non finis…).
⇒
voir si des segments sont parallèles ou perpendiculaires (utiliser l’équerre) .
⇒
vérifier que des segments sont de même longueur (utiliser le compas) .
⇒
L’échelle n’est pas fixée : la figure que tu traces peut être plus grande que
le modèle.
17
Ces 2 segments sont sur la même
droite (vérifier avec la règle).
Les centres des demi-cercles sont
les milieux des côtés.
Ces deux côtés semblent de même
longueurs et parallèles. Ils appartiennent à un parallèlogramme.
La base de la figure est un
carré (vérifier les angles
droits avec l’équerre et les
longueurs des côtés avec le
compas)
Tracer légèrement les diagonales pour trouver le centre du carré. Prolonger la
diagonale et marquer le
point avec le compas.
Tracer les arcs de cercles.
Construire le côté « utile »
du parallélogramme (en utilisant le compas).
Effac er
les
par ties
« inutiles ». Appuyer sur
les traits « utiles ».
Marquer les milieux des
deux côtés (les trouver au
compas en traçant la médiatrice, ou à la règle).
Effacer les arcs de
cercle.
18
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