Cours d`Optique geometrique matricielle

Cours d’optique géométrique matricielle, introduction aux
phénomènes d’interférences et de diffraction
Yann VAILLS
Université d’Orléans
Optique géométrique – Interférences – Diffraction
Yann VAILLS (e-mail : [email protected])
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Chapitre 1 : APPROXIMATIONS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE, PRINCIPE DE FERMAT
page 3
Chapitre 2 : APPROXIMATION DE GAUSS
page 11
Chapitre 3 : SYSTÈMES CENTRÉS
page 19
Chapitre 4 : L’ŒIL
page 30
Chapitre 5 : ABERRATION CHROMATIQUE – DOUBLETS
page 33
Chapitre 6 : ASSOCIATION DE 2 SYSTÉMES CENTRÉS
page 37
Chapitre 7 : SYSTÈMES CENTRÉS AFOCAUX
page 39
Chapitre 8 : INTERFERENCES
page 44
Chapitre 9 : DIFFRACTION
page 54
Références :
¾ Optique, fondements et applications, J.P. PEREZ, MASSON Sciences, DUNOD
¾ Sciences et vie Junior, Dossier hors série n°51, Janvier 2003
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Chapitre 1
APPROXIMATIONS DE L’OPTIQUE
GÉOMÉTRIQUE,
PRINCIPE DE FERMAT
Sans aborder dans le détail mathématique les théories modernes, il est possible d’acquérir une
idée des conceptions actuelles de la lumière.
I. Conception ondulatoire, corpusculaire, quantique
¾ Les phénomènes d’interférences, de diffraction, la polarisation sont bien décrits par la
théorie des ondes électromagnétiques de Maxwell. La vitesse de propagation de ces
ondes dans le vide est une caractéristique (indépendante de la fréquence) et une
constante universelle
c0 = 2,99792458 108 m.s-1
¾ L’effet photoélectrique ou l’effet Compton sont bien décrits en considérant que la
lumière est constituée de corpuscules : les photons.
Ces deux théories ne sont pas contradictoires, il existe une théorie : l’électrodynamique
quantique, qui permet qui permet de rendre compte de l’ensemble de ces phénomènes. C’est
une théorie :
•
Corpusculaire dans la mesure où elle décrit le nombre, l’état et l’évolution d’un
ensemble de photons
• Ondulatoire car c’est une description quantique mettant en jeu la notion de
fonction d’onde.
h = 6,62 10-34 J.s
Einstein-Plank :
E = hν
E = énergie du photon de fréquence ν
r
de Broglie :
λ = h/ p
r
p est le vecteur impulsion ou quantité de mouvement du photon
Toutes les ondes électromagnétiques, quelle que soit leurs fréquences, présentent des
propriétés ondulatoires et corpusculaires. Ces propriétés sont plus ou moins facilement
observables suivant les valeurs de ν :
¾ La détection individuelle d’un photon est d’autant plus difficile que la fréquence est
petite (énergie faible)
¾ Les propriétés ondulatoires sont d’autant plus faciles à mettre en évidence que cette
fréquence est petite (λ grande).
II. Propagation dans un milieu (transparent) autre que le
vide
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Dans un milieu autre que le vide les ondes électromagnétiques interagissent avec les
atomes qu’elles rencontrent sur leur parcours. La vitesse qui intervient dans l’équation qui
décrit la propagation des ondes est c ≠ c0 et dépend de ν.
On défini l’indice de réfraction du milieu par la relation :
c0
c(ν )
L’indice de réfraction dépend à la fois du milieu et de la fréquence de l’onde. La dépendance
en fréquence de l’indice caractérise le pouvoir dispersif du milieu.
En général n(ν) est supérieur à 1. Dans le domaine optique (celui de la lumière, c’est-à-dire
des ondes électromagnétiques du domaine du visible : 400 nm < λ < 800 nm) l’indice est de
l’ordre de 1,5 à 1,7 pour les verres courants.
n(ν ) =
Voici quelques autres exemples :
n = 1,33
eau
n = 2,419
diamant
n = 1,000294 air (conditions normales)
III. Notion de rayons lumineux
La lumière est un phénomène de transport d’énergie et d’information entre 2 points de
l’espace, transport pouvant se produire même à travers l’espace vide.
La lumière est un sous ensemble de celui des rayonnements électromagnétiques, elle a la
particularité d’être visible, c’est-à-dire détecté par l’œil.
γ
X
UV
visible
IR
micro-ondes
λ (Å)
0,1
100
4000
6500
107
λ (nm)
0,01
10
400
650
106
λ (μm)
10-5
10-2
0,4
0,65
103
ν (Hz)
3.1019
3.1016
7,5.1014
4,6.1014
3.1011
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1. Expérience de la chambre noire
D
d
D=
S
L+l
d
l
L
l
Cette expérience donne l’idée de propagation rectiligne de la lumière. Cependant, si d
diminue, il arrive un moment où, au lieu de continuer à diminuer, D augmente. On vérifie
alors que D ne dépend plus de la position de la source S et qu’il n’est plus proportionnel à d
mais lui est inversement proportionnel.
D = 2θL
θ
d
D
θ∝
λ
d
L
On n’est plus alors dans le cadre de l’optique géométrique, le phénomène est appelé
diffraction, le modèle des rayons lumineux ne permet pas de rendre compte de cette
expérience.
2. Définitions en optique géométrique
Rayon lumineux : ligne entre deux points de l’espace qui représente le chemin suivi
par la lumière pour aller d’un point à un autre.
Pinceau lumineux
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Faisceaux divergents
Ω
dS
S
Ω
Ensemble des rayons
passant à travers dS et
compris dans l’angle
solide Ω
IV. Trajet d’un rayon lumineux
L’expérience quotidienne nous montre que si la lumière se propage en ligne droite, il est des
situations où il apparaît que cette propagation n’est plus rectiligne :
¾ La réflexion sur un miroir
¾ La traversée de la surface de séparation de deux milieux transparents : réfraction – On
dira que ces milieux ont des indices n différents
¾ La diffusion par de fines particules
¾ La diffraction (évoquée ci-dessus)
¾ Le changement de direction peut dépendre de la coloration (on dira longueur d’onde) :
dispersion chromatique.
On aimerait pouvoir déterminer la trajectoire de la lumière dès que l’on connaît les propriétés
du milieu où elle se propage. C’est ce que permet de faire le Principe de Fermat.
Le trajet effectivement emprunté par le rayon lumineux entre deux points A et B est tel que le
temps de parcours de la lumière entre ces deux points est stationnaire
f(x,y) est stationnaire en M(x0,y0) si
⎛ ∂f ( x, y ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
=0
⎝ ∂y ⎠ x0 , y 0
⎛ ∂f ( x, y ) ⎞
=0
⎟
⎜
⎝ ∂x ⎠ x0 , y 0
1. Formulation moderne du Principe de Fermat – chemin
optique
Δi
A
Δ1
B
Δ2 Δ3
Δ i ni Δ i
=
où c0 est la vitesse de la lumière dans le vide,ci et ni la vitesse de la lumière
ci
c0
et l’indice du milieu sur la partie i du parcours
Δti =
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1 N
1
ni Δ i =
∑
N →∞ c
c0
0 1
t AB = lim
B
∫ n(M )dl
A
B
LAB = ∫ n( M )dl chemin optique entre A et B.
A
on pose :
Le trajet effectivement suivi par la lumière pour aller de A à B correspond à une valeur
stationnaire du chemin optique par rapport aux trajets voisins allant de A à B.
B
LAB r
dM
LAB’
A
L' AB − LAB infiniment petit de
2ème d’ordre par rapport à la
r
plus grande valeur de dM
Principe de Fermat ⇔ dLAB = 0
Calcul du chemin optique
Trajet y = f(x)
Indice n(x,y) = n(x,f(x))
dl le long du trajet AB
dl = (dx 2 + dy 2 )1 2 = [1 + f '2 ( x)]1 2 dx
[
LAB = ∫ n( M )dl = ∫ n( x, f ( x) ) 1 + f '2 ( x)
B
A
]
12
dx
2. Conséquences immédiates
•
Dans un milieu homogène la propagation est rectiligne
B
B
A
A
LAB = ∫ n( M )dl = n ∫ dl = n C AB
CAB est minimal lorsque le trajet est une droite.
• Retour inverse de la lumière
L’indice ne dépend pas de la direction. Si LAB est stationnaire, LBA l’est aussi.
Ainsi, l’expérience montre que dans un milieu transparent le trajet suivi par la
lumière est indépendant du sens dans lequel la celle-ci se propage.
3. Surfaces d’onde – Loi de Malus
Définition : soit une source ponctuelle S, on appelle surface d’onde le lieu des points
M tels que le chemin optique LSM, compté le long d’un rayon lumineux, soit constant.
Loi de Malus : on montre que qu’après un nombre quelconque de réflexions et de
réfractions les rayons issus d’une source ponctuelle sont normaux aux surfaces d’ondes.
4. Indépendance des rayons lumineux
Les cheminements des différents rayons lumineux traversant un instrument
d’optique sont indépendants les uns des autres. C’est une hypothèse fondamentale de
l’optique géométrique.
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Les circonstances particulières où, au lieu d’être indépendants les rayons
lumineux peuvent interférer, constituent le domaine de l’optique physique.
V. Lois de Snell-Descartes
1. Résultat préliminaire
r
B dB
B’
A’
r
dA
A
dAB =
AB 2 = AB. AB
dAB = ?
r
u AB
r
r
r
dAB = u AB .(dB − dA)
AB
d AB
AB
2. Réfraction
Soient deux milieux homogènes d’indices n1 et n2.
r
T
i1
A
n1
r
u1
n2
M
B
r
u2
i2
r
N
Dans chaque milieu le trajet des rayons est rectiligne. Pour A et B fixes montrons que le point
M est unique.
Supposons que M puisse varier autour d’une certaine position (dans le plan tangent). On a
alors :
LAB = LAM + LMB = n1AM+n2MB = constante
r
r
r
d(LAB) = n1 d(AM)+n2 d(MB) = (n1u1 − n2u2 ).dM = 0
r
r
r
n1u1 − n2u2 = αN
r r r
u1 , u2 , N coplanaires
r
r
r
r
N ∧ (n1u1 − n2u2 ) = 0
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r r
N ∧ u1 = sin i1
r r
N ∧ u2 = sin i2
n1 sin i1 = n2 sin i2
3. Reflexion
r
u2
r
N2
B
i2
Par un calcul identique au
précédent, mais avec cette
fois n1 = n2, on montre que :
r r r
u1 , u2 , N coplanaires
i2 = -i1
r
T
i1
A
r
u1
M
i1
r
N1
4. Conséquences et applications
a) Réflexion totale
n1
sin i1
n2
n2 > n1
⇒
sin i2 =
n2 < n1
⇒
∃ il valeur supérieure de i1 telle que sin il =
et
∃ i2 ∀ i1
n2
n1
i ≤ il ⇒ il existe un rayon réfracté
i > il ⇒ il y a réflexion totale
b) Fibres optiques à saut d’indice
ng
il
nc
im
θ
ng < nc
θm est l’angle d’ouverture maximale pour qu’il y ait guidage :
ng2
sin θ m = nc sin im = nc cos il = nc 1 − 2
nc
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sin θ m = nc2 − ng2
pour nc = 1,6 on a
ng
nc
= 0,99 , sinθm = 0,22 et θm = 13°
VI. Cas particulier : Trajectoire des rayons lumineux dans
un milieu d’indice variable
Exemples de phénomènes concernés :
¾ la propagation de la lumière dans les fibres optiques à gradient d’indice
¾ le mirage
L’indice de réfraction du milieu dépend alors des coordonnées d’espace. On écrira : n(M).
C’est par exemple le cas d’un verre dont la composition varie d’un point à l’autre.
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Chapitre 2
APPROXIMATION DE GAUSS
I. Conventions – Définitions
Système dioptrique : dispositif ne comportant que des dioptres. On se limitera au cas où il
existe un axe de révolution : le système est alors centré
Axe optique : axe de symétrie d’un système centré
Convention
+
Sens de la
lumière
z’
no
ni
S
αo
Ao
x
+
αi
E
S
Ai
z
Stigmatisme : un système optique S est stigmatique pour un couple de points Ao, Ai, si tout
rayon lumineux passant par Ao passe par Ai après avoir traversé le système. Ao et Ai sont dits
conjugués par rapport au système optique. Ai est l’image du point objet Ao et inversement en
changeant le sens de propagation de la lumière.
Réel(le) et virtuel(le) :
Est dit(e) réel(le) tout objet ou image par lequel (laquelle) passent les rayons lumineux. Les
objets réels sont dans l’espace objet, les images réelles sont dans l’espace image.
Est dit(e) virtuel(le) tout objet ou image par lequel (laquelle) passent les projections des
rayons lumineux. Les objets virtuels sont dans l’espace image, les images virtuelles sont dans
l’espace objet.
Diotre : surface séparant deux milieux homogènes d’indices n différents
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II. Conditions de stigmatisme
1. Stigmatisme rigoureux
Au voisinage de deux points Ao et Ai pour lesquels il y a stigmatisme, les surfaces
d’onde sont des sphères. Ao et Ai peuvent être considérés comme des surfaces d’onde de
rayon nul. Il en résulte que pour les rayons lumineux joignant deux points stigmatiques, le
chemin optique est le même : LAo Ai = c te
2. Stigmatisme approché
Un système optique centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons
qui le traversent font des angles faibles avec l’axe optique. Les rayons sont dits paraxiaux.
Il vient alors un question : qu’est-ce qu’un angle « petit » au sens de l’optique géométrique ?
C’est un angle tel que l’on pourra le considérer comme une bonne évaluation de son sinus :
sin θ ≈ θ
• La loi de la réfraction s’écrit alors : n1i1 = n2i2
• La partie utile des dioptres est restreinte, sur le schéma ci-dessous, on pourra
confondre H et S.
M
Ao
C
H S
Ceci constitue les approximations de Gauss.
Conséquences pour un système centré : formation des images
Stigmatisme approché sur l’axe
Après traversée du système S les rayons sont normaux aux surfaces d’onde. Au voisinage de
l’axe on peut confondre la surface d’onde Σ (de révolution) avec la sphère S0 (surosculatrice)
de centre Ai. Tous les rayons obéissant aux conditions de Gauss passent au voisinage de Ai ; il
y a stigmatisme approché pour Ao et Ai.
Chaque point de l’axe admet donc un conjugué au sens du stigmatisme approché dans les
conditions de Gauss.
Σ
S
Ao
So
Ai
Stigmatisme approché dans l’espace
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Le but d’un instrument d’optique ne se limite pas à obtenir une image ponctuelle d’un
objet ponctuel, il s’agit d’obtenir une image étendue d’un objet étendu.
Soit un système centré et le couple de points conjugués AoAi sur l’axe.
+
I
Mo
r
uo
S
J
αo
αi
Ao
Ai
r
ui
Mi
r
r
LAo Ai = nouo . Ao I + LIJ + niui .JAi
r
r
pour le couple MoMi tel que Ao M o = dAo , Ai M i = dAi
r r
r r
dL = − nouo .dAo + niui .dAi
r
r
dL = − nouo . Ao M o + niui . Ai M i
Mo et Mi constituent un couple de points conjugués si l’expression précédente est
r
indépendante de uo pour Ao et Mo donnés. Il faut donc :
r
r
− nouo . Ao M o + niui . Ai M i = c te
1er cas : Ao M o perpendiculaire à l’axe, soit Bo≡ Mo
− no Ao Bo sin α o + ni Ai Bi sin α i = c te
αo = 0 ⇒ αi = 0 et cte = 0 et
r
r
nouo . Ao Bo sin α o = ni ui . Ai Bi sin α i
relation des sinus d’Abbe
Il y a alors conservation du stigmatisme dans un plan de front perpendiculaire à l’axe
optique. Le système est aplanétique.
Compte tenu des conditions de Gauss on a
no Ao Boα o = ni Ai Biα i
relation de Lagrange
On pose
Gt =
Ai Bi
grandissement transversal
Ao Bo
αi
grandissement angulaire
αo
Pour un système centré aplanétique on a donc :
ni
Gt Ga = 1
no
Ga =
2ème cas : Mo sur l’axe, soit Co≡ Mo
− no AoCo + ni AiCi = c te
− no AoCo cos α o + ni Ai Ci cos α i = c te
αo =0 ⇒ αi =0 et c te = ni AiCi − no AoCo
on en déduit la condition d’Herschel
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no . AoCo sin 2
αo
= ni Ai Bi sin 2
αi
2
2
Le système étant utilisé dans les conditions de Gauss, on a :
2
2
no . AoCoα o = ni Ai Biα i
Cette condition exprime donc la conservation du stigmatisme approché suivant l’axe
optique centré.
III. Dioptre sphérique dans l’approximation de Gauss
1. Définition
C’est une surface sphérique, de centre C, de rayon R, séparant deux milieux
transparents d’indices différents.
Le dioptre possède le poli spéculaire : les écarts locaux à la sphéricité sont petits
devant la longueur d’onde.
Du fait des conditions de Gauss le dioptre est en fait limité à une calotte sphérique de
sommet S et de dimension petite devant le rayon de courbure.
Convention
+
x
+
ni
no
S
C
R = SC > O
z
S
C
R = SC < 0
2. Relation de conjugaison
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, il y a stigmatisme approché pour tout
point de l’axe, c’est-à-dire que tout point Ao a une image (un point conjugué), et qu’il existe
une relation liant la position de Ai à celle de Ao indépendante de l’inclinaison des rayons
lumineux qui passent par Ao.
θi
x
αo θo
αi
Ai
ω = αo - θo
ni
M
no
θo = αo - ω
ω
C
Ao
et
θo
S
z
niθi = noθo
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ω = αi - θi
θi = αi - ω
ni(αi - ω)= no(αo – ω)
dans l’approximation de Gauss on peut écrire :
⎛ x
⎛ x
no
n
n − ni
x ⎞
x ⎞
⎟⎟ = no ⎜⎜
⎟⎟ , c’est-à-dire
− i = o
ni ⎜⎜
−
−
Ao S Ai S
CS
⎝ Ai S CS ⎠
⎝ Ao S CS ⎠
Soit, en prenant pour origine le sommet du dioptre :
ni
n
n − no ni − no
− o = i
=
R
SAi SAo
SC
ni
n
− o =V
SAi SAo
avec
V=
qui constitue la relation de conjugaison du dioptre
ni − no
vergence du dioptre
R
3. Vergence d’un dioptre
La relation précédente est algébrique, V a une valeur indépendante du sens de propagation de
la lumière : ni-no et R changent de signe en même temps. La vergence d’un dioptre est une
propriété intrinsèque, elle s’exprime en dioptrie(s) (δ) dans le système S.I.
Remarque : 1 δ = 1 m-1
Signification physique de la vergence
En introduisant V dans les relations de départ on obtient
niαi = noαo + (ni –no)ω, soit
n − no
niα i = noα o − i
x
SC
niαi = noαo – Vx
Soit un rayon incident parallèle à l’axe (α = 0) et tel que x > 0
V > 0 : dioptre convergent (Cv) alors αi < 0
V < 0 : dioptre divergent (Dv) alors αi > 0
x
S
Fi
x
z
ni > no
Dioptre Cv
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Fi
z
S
ni > no
Dioptre Dv
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Foyers – distances focales
Les longueurs focales, ou focales image et objet sont les longueurs algébriques définies
respectivement par les relations ci-dessous :
n
n
fi = i
fo = − o
V
V
foyer image : c’est le conjugué du point objet à l’infini sur l’axe optique
ni
n
=V
SFi = f i = i
V
SFi
foyer objet : c’est le conjugué du point image à l’infini sur l’axe optique
−
no
=V
SFo
SFo = f o = −
no
V
Autres expressions de la conjugaison
En reportant SFi =
ni
V
et SFo = −
no
V
dans la relation de conjugaison on obtient
immédiatement :
SFi SFo
f
f
+
= 1 ou encore i + o = 1
pi po
SAi SAo
en posant SAi = pi et SAo = po
on établirait de même : Fi Ai . Fo Ao = SFi . SFo = f i f o (Newton)
4. Miroirs sphériques
Avec pour sens positif celui de la lumière à l’entrée la loi de la réflexion i2 = -i1 peut-être
considéré comme un cas particulier de celle de la réfraction nosin io = nisin ii où on poserait
ni = -no
Les relations établies pour le dioptre sphérique se transposent alors immédiatement dans le
cas du miroir sphérique.
ni
n
n − no ni − no
2n
− o = i
=
=V ⇒ V = −
R
R
SAi SAo
SC
1
1
2
+
=
SAi SAo R
R
SFi = SFo = = f i = f o = f
2
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+
n
i1
i2
C
F
S
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SFi SFo
f
f
+
= 1 ou i + o = 1
pi po
SAi SAo
Fi Ai . Fo Ao = f i f o = f 2
IV. Approximation de Gauss et calcul matriciel
A. Matrice de réfraction
Le franchissement d’un dioptre sphérique par un rayon méridien (rayons parallèles à
l’axe optique ou ayant un point commun avec celui-ci) fait apparaître des équations linéaires
entre les grandeurs caractérisant les rayons lumineux.
xi =xo
niαi = noαo - Vxo
on définit la matrice colonne X dont les éléments sont :
• la position du point d’intersection du rayon lumineux avec le dioptre
• « l’angle optique » nα produit de l’indice de réfraction par l’angle d’inclinaison sur
l’axe optique.
⎛ xi ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ xo ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜
ou
Xi = R(S)Xo
⎝ niα i ⎠ ⎝ − V 1 ⎠⎝ noα o ⎠
⎛ 1
⎝−V
R(S) = ⎜⎜
0⎞
⎟ est la matrice de réfraction du dioptre
1 ⎟⎠
Remarques : dét R = 1, R21 = -V
Dioptre plan R (plan) = I
Exemples :
no = 1,33
ni = 1,5
no =
5 cm S
V=
1,5 − 1,33
= −3,5 δ
− 5.10− 2
⎛ 1 0⎞
⎟⎟
⎝ 3,5 1 ⎠
R(S)= ⎜⎜
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ni = 1,33
S 5 cm
V=
1,33 − 1,5
= −3,5 δ
5.10− 2
⎛ 1 0⎞
⎟⎟
⎝ 3,5 1 ⎠
R(S)= ⎜⎜
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Conséquence : on voit donc que pour des lentilles convergentes et divergentes les foyers objet
et image sont inversés, comme le montre l’image ci-dessous
Fo
Fi
Fi
Fo
B. Matrice de translation
C’est la matrice de transformation de X entre deux plans de front situés dans un même
milieu homogène. Elle est indispensable car les systèmes optiques sont généralement des
milieux homogènes par morceaux.
On se limite toujours aux rayons méridiens.
n
+
x1
A1
x2 = x1 + A1 A2α = x1 +
α1 = α2 ⇒ nα2 = nα1
x2
α
A2
A1 A2
nα
n
⎛ x2 ⎞ ⎛⎜ 1
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎝ nα 2 ⎠ ⎜⎝ 0
A1 A2 ⎞⎛ x ⎞
⎟ 1
X2 = T( A1 A2 )X1
n ⎟⎜⎜ nα ⎟⎟ ⇒
⎟
1
⎝
⎠
1 ⎠
⎛
A1 A2 ⎞
⎜
⎟
T( A1 A2 )= ⎜ 1
n ⎟ matrice de translation dans le milieu d’indice n
⎜0
1 ⎟⎠
⎝
Det T( A1 A2 )= 1
L’approximation de Gauss apparaît comme l’approximation linéaire de l’optique
géométrique.
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Chapitre 3
SYSTÈMES CENTRÉS
Les systèmes centrés sont constitués d’une succession de milieux homogènes séparés par des
dioptres sphériques, l’ensemble possédant un axe symétrique de révolution. Ils seront
caractérisés, dans l’approximation de Gauss par des relations matricielles. Ils présentent alors
la propriété caractéristique de la linéarité :
X e1 et X e2 représentent 2 rayons lumineux à l’entrée
X s1 et X s2 représentent 2 rayons lumineux à la sortie du système
Toute entrée qui est une combinaison linéaire de X e1 et X e2 admet une sortie qui est
combinaison linéaire de X s1 et X s2 .
On définira pour ces systèmes des éléments cardinaux : c’est un ensemble de caractéristiques
qui suffisent pour déterminer, dans l’approximation de Gauss, la correspondance objet-image
fournie par le système.
I. Matrice de transfert du système
1. Position du problème
x
z
S
E
S1
Sp
Il s’agit de trouver le rayon émergent issu de (Sx) correspondant à un rayon incident
tombant sur (Ex).
On introduit pour cela la matrice de transfert T(ES) du système.
2. Matrice de transfert du système
⎛ x ⎞
⎛ x ⎞
Les matrices d’entrée et de sortie sont X e = ⎜⎜ ⎟⎟ , X s = ⎜⎜ ⎟⎟ , on a :
⎝ nα ⎠e
⎝ nα ⎠ s
Xs = T(ES)Xe
Pour déterminer la matrice de transfert on a besoin d’écrire les matrices de tous les
« évènements » subits par le rayon lumineux : il s’agit toujours d’une série de
translations et de réfractions.
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19/62
En notant X1- et X1+ les matrices pour les plans de front des dioptres situés avant et
après eux on a successivement :
X1- = T(ES1)Xe
X1+ = R(S1)X1X2 = T ( S1S 2 ) X1+ … Xs = T ( S p S ) Xp+
soit finalement:
Xs = T ( S p S ) R(Sp) T ( S p −1S p ) R(Sp-1) T ( S p − 2 S p −1 ) … T ( S1S 2 ) R(S1) T ( ES1 ) Xe
T ( ES )
T ( ES ) , matrice de transfert du système, apparaît comme le produit des matrices
élémentaires T et R écrit de droite à gauche en suivant la succession des dioptres atteints par
la lumière.
Exemple :
+
no
n
E
e
T ( ES ) = R(S) T ( ES ) R(E)
ni
⎛ 1
T ( ES ) = ⎜⎜
⎝ − V2
S
V1
0 ⎞⎛⎜ 1
⎟
1 ⎟⎠⎜ 0
⎝
e ⎞⎛ 1 0 ⎞
⎟
⎟⎟
n ⎟⎜⎜
−
1
V
1
⎝
⎠
1⎠
V2
e
e ⎞
⎛
1 − V1
⎜
⎟
n
n ⎟
T ( ES ) = ⎜
⎜ − ⎛⎜V + V − V V e ⎞⎟ 1 − V e ⎟
1
2
1 2
2
⎜
n⎠
n ⎟⎠
⎝ ⎝
⎛T T ⎞
T (ES ) est une matrice 2x2 T ( ES ) = ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟
⎝ T21 T22 ⎠
= T11xe + T12(nα)e
xs
(nα)s= T21xe + T22(nα)e
det T (ES ) = 1, car T (ES ) est le produit de matrices dont les déterminants sont
tous égaux à 1.
3. Vergence
x
no
ni
E
A1
z1
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z
S
z2
A2
20/62
On exprime la matrice de transfert T ( A1 A2 ) entre 2 plans de fronts quelconques : A1
dans l’espace objet, A2 dans l’espace image.
T ( A1 A2 ) = T SA2 T ES T A1E
( ) ( ) ( )
z2 ⎞
⎛
⎟⎛ T11 T12 ⎞⎜ 1
⎟
ni ⎟⎜⎜
T21 T22 ⎟⎠⎜⎜
⎟
⎝
1⎠
⎝ 01
⎛
⎜1
T A1 A2 = ⎜
⎜0
⎝
(
)
(
)
(
)
T11 A1 A2 = T11 + T12
z1 ⎞
⎟
no ⎟
1 ⎟⎠
(
)
(
)
⎞
z1
z ⎛
z
+ T12 + 2 ⎜⎜ − T21 1 + T22 ⎟⎟
no
ni ⎝
no
⎠
z1
T22 A1 A2 = T22 − T21
no
z2
ni
T12 A1 A2 = −T11
T21 A1 A2 = T21
(
−
)
seul T21 A1 A2 est indépendant du couple A1A2 choisi. C’est donc une caractéristique
du système centré. On appelle vergence du système l’opposé de T21.
V = -T 21
e
n
Si la vergence est positive le système est dit convergent, si elle est négative le
système est divergent.
Dans l’exemple ci-dessus on a : V = V1 + V2 − V1V2
4. Matrice de conjugaison
C’est la forme particulière que prend la matrice de transfert lorsque les points A1 et
A2 sont conjugués l’un de l’autre. Soient Ao et Ai de tels points.
xi = T11 A1 A2 xo + T12 A1 A2 noα o
(
(
)
(
)
)
(
)
niα i = T21 A1 A2 xo + T22 A1 A2 noα o
x
no
ni
Bo
Ao
E
z1
Bi
Ai
S
z
z2
La position xi d’un point Bi dans le plan de front passant par Ai ne doit pas dépendre
de αo, Bi est alors l’image de Bo d’abscisse xo : ceci est imposé par l’aplanétisme
supposé du système.
x
On a donc T12 Ao Ai = 0 ⇒ T11 Ao Ai = i = Gt , où Gt est le grandissement transversal
xo
(
(
)
T22 Ao Ai =
niα i
noα o
(
)
=
xo = 0
)
ni
Ga , où Ga est le grandissement angulaire
no
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21/62
⎛ Gt
⎜
finalement : T ( Ao Ai ) = ⎜ − V
⎜
⎝
(
)
0 ⎞
⎟
ni
Ga ⎟⎟ forme générale de la matrice de conjugaison
no ⎠
ni
Gt Ga = 1
no
dét T Ao Ai = 1 on a donc
II. Éléments cardinaux
A. Plan principaux
Ce sont les plans de front conjugués tels que le grandissement transversal est égal à 1.
ni
no
Ho
E
Hi
S
Il résulte de ce qui précède que la nature de la matrice de transfert entre plans principaux se
met sous la forme suivante :
⎛ 1 0⎞
⎟⎟
T ( H o H i ) = T ( H ) = ⎜⎜
⎝ −V 1⎠
En utilisant la matrice de transfert on peut alors déterminer les distances EH o et SH i :
H o H i = H o E + ES + SH i
(
( ) ( )
)
T H o H i = T SH i T ES T (H o E )
⎛
⎜1
=⎜
⎜0
⎝
SH i =
SH i ⎞ T
⎟⎛ 11
ni ⎟⎜⎜
−V
1 ⎟⎠⎝
⎛
T12 ⎞⎜ 1
⎟
T22 ⎟⎠⎜⎜
⎝0
HoE ⎞
⎟
no ⎟
1 ⎟⎠
ni
(T11 − 1) = f i (T11 − 1)
V
EH o = −
no
(T22 − 1) = f o (T22 − 1)
V
B. Plans focaux
Ce sont deux plans de front Fox dans l’espace objet, Fix dans l’espace image, tels que :
Tout rayon incident, issu de Fo émerge parallèlement à l’axe optique
Tout rayon incident parallèle à l’axe optique, émerge en passant par Fi
1. Foyers objet Fo
Pour situer Fo on explicite Xs = T(ES)Xe
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22/62
αe
Fo
xs
xe
S
E
xs = T11xe + T12noαe
ni αs = -V1xe + T22noαe
donc EFo = f oT22
or αs = 0 ∀ xe d’où EFo =
xe
αe
=−
no
T22
V
soit encore H o Fo = H o E + EFo = f o
2. Foyer image Fi
xs
xe
αs
S
E
Fi
αe = 0 ∀ xe donc :
xs = T11xe d’où :
xs
d’où
Fi S
ni αs = -Vxe
or α s =
SFi = f iT11
soit encore H i Fi = H i E + EFi = f i
C. Exemple : la lentille mince, détermination des éléments cardinaux d’une
lentille dont on peut négliger l’épaisseur
+
no
n
ni
E S
⎛ 1
T (ES ) = R(S) R(E)= ⎜⎜
⎝ − V2
1
0⎞
0 ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
⎟⎟⎜⎜
1 ⎠⎝ − V1 1 ⎠ ⎝ − (V1 + V2 ) 1 ⎟⎠
V = V1 + V2 avec V1 = (n-no)/R1 et V2 = (ni-n)/R2
T11 = 1 ⇒ SH i = 0
les plans principaux sont confondus avec le plan de la lentille
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T22 = 1 ⇒ EH o = 0
n
H o Fo = f o = − o
V
H i Fi = f i =
ni
V
Ho Hi
Fo
Fi
Dans le cas de la lentille dans l’air, no = ni
H o Fo = − H i Fi
III.Détermination de l’image d’un objet
Un système centré est caractérisé par une matrice de transfert T (ES ) qui permet de
déterminer les éléments cardinaux. Nous allons montrer tout l’intérêt de ces derniers dans la
détermination de l’image que donne le système de l’objet.
no
ni
Bo
Ao
E
Ho
Hi
zo
EAo = zo
Bi
Ai
S
z
zi
SAi = zi
A. Relation de conjugaison
Il s’agit d’établir une relation entre zi et zo. Celle-ci s’obtient à l’aide de T (ES ) et T ( Ao Ai )
T ( Ao Ai ) = T ( SAi )T ( ES ) T ( Ao E )
⎛ 1 zi ni ⎞⎛ T11 T12 ⎞⎛ 1 − zo no ⎞
⎟⎜
⎟
⎟⎜
T ( A) = ⎜⎜
1 ⎟⎠⎜⎝ T21 T22 ⎟⎠⎜⎝ 0
1 ⎟⎠
⎝0
z
z ⎛
z ⎞
T12 ( A) = T12 − T11 o + i ⎜⎜ T22 − T21 o ⎟⎟ = 0 car Ao et Ai sont conjugués
no ni ⎝
no ⎠
zo
− T11
zi
no
d’où la relation
=
ni V zo + T
22
no
T11
1. En choisissant pour plans d’entrée et de sortie les plans
principaux
T11 = Gt = 1, T22 = Ga ni / no = Gt-1 = 1, T12 = 0
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24/62
En posant zo = H o Ao = po et zi = H i Ai = pi il vient :
no ni
+
= V formule de conjugaison de Descartes
po pi
ou, sous d’autres formes intéressantes :
−
no ni ni
fo
f
+
=
+ i =1
et
po pi f i
po pi
lorsque les milieux sont identiques on retrouve :
1
1
1
−
+
=
po pi f i
Remarque importante :
Les matrices de translation sont relatives aux milieux d’entrée et de sortie. Le
calcul précédent met en lumière le fait que le système centré est remplacé par le
système centré compris entre les plans principaux.
T ( Ao Ai ) = T ( H i Ai )T ( H o H i ) T ( Ao H o )
Grandissement transversal :
Vp
T11 ( A) = Gt = 1 − i
soit avec la relation de conjugaison
ni
n p
Gt = o i
ni po
Grandissement angulaire :
−
T22 ( A) =
ni
−1
Ga = Gt
no
d’où Ga =
po
pi
2. En choisissant pour plans d’entrée et de sortie les plans
focaux
La matrice de transfert entre foyers a pour expression :
⎛ 0 V −1 ⎞
⎟
T ( Fo Fi ) = ⎜⎜
⎟
−
V
0
⎝
⎠
B. Constructions géométriques
On choisira généralement de faire les schémas optiques en utilisant les propriétés des plans
principaux et focaux. Dans ce cas la matrice de transfert entre l’entrée et la sortie du système
⎛ 1 0⎞
⎟⎟
est la matrice de transfert entre les plans principaux. T ( ES ) = T ( H o H i ) = T ( H ) = ⎜⎜
⎝ −V 1⎠
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25/62
1. Image d’un objet situé dans le plan de front
xs = xi = xo
xe = xo
Bo
Ao
Fo
αo
Ho
Fi
Hi
αi
Ai
Bi
On choisi de tracer deux rayons lumineux passant par l’extrémité Bo de l’objet, l’un arrivant
parallèlement à l’axe optique, l’autre passant par le foyer objet du système.
Rayon horizontal :
xi = xo
⎛ xi ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ xo ⎞
n
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ on a donc :
⎟⎟⎜⎜
, soit − i xo = niα i
niα i = −Vxo
fi
⎝ niα i ⎠ ⎝ − V 1 ⎠⎝ noα o = 0 ⎠
xo
ce qui implique que le rayon sortant passe par le foyer image du système.
fi
Rayon passant par Bo et Fo :
⎛ xi ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ xo ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ donc : niαi = -Vxo + noαo
⎟⎟⎜⎜
⎝ niα i ⎠ ⎝ − V 1 ⎠⎝ noα o ⎠
d’où α i = −
Or on a cette fois : xo = −α o f o
no
αofo + noαo = 0
fo
ce qui signifie que le rayon sortant est horizontal.
donc : niαi = -Vxo + noαo = Vαofo + noαo = −
L’intersection des deux rayons sortant donne la position du point Bi, image de Bo.
2. Construction d’un rayon émergent correspondant à un
rayon incident donné
xo
M
Ki
xi=xo
xo-a
αo
Fo
Ko
Ho
Hi
Fi
αi’
αi
Soit un rayon lumineux arrivant sous une incidence quelconque αo sur le système, et
ressortant sous un angle αi. On peut écrire :
xi = xo
⎛ xi ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ xo ⎞
ni
a
ni
a
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ on a donc :
⎟⎟⎜⎜
n
α
=
−
Vx
+
α
n
=
−
x
−
n
=
−
x
+
ni
n
α
n
α
−
V
1
i
i
o
o
o
o
o
o
⎠⎝ o o ⎠
⎝ i i⎠ ⎝
fi
fo
fi
fi
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26/62
Considérons un deuxième rayon lumineux qui arrive horizontalement sur le système, et croise
le premier rayon au point M dans le plan focal objet du système à la cote xo - a. On a alors :
xi = xo
⎛ xi − a ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ xo − a ⎞
( x − a)
⎟⎟ , soit :
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
niα i ' = −V ( xo − a) = −ni o
= niα i
⎝ niα i ' ⎠ ⎝ − V 1 ⎠⎝ noα o = 0 ⎠
fi
Donc αi = αi’, ce qui signifie que les deux rayons sortants sont parallèles, et que les deuxième
rayon coupe l’axe optique en Fi, foyer image du système.
IV. Exemples d’applications : les lentilles
C’est un ensemble de deux dioptres sphériques qui délimitent un milieu homogène d’indice n.
On supposera que le milieu extérieur est l’air (no = ni = 1)
A. Lentilles épaisses
1. Matrice de transfert
e
e ⎞
⎛
⎟
⎜1 − V1
n
n ⎟
T ( ES ) = ⎜
e
⎜⎜ − V
1 − V2 ⎟⎟
n⎠
⎝
n −1
1− n
, V2 =
où V1 =
R1
R2
et V = V1 + V2 − V1V2
R1
E
R2
e
S
e
n
2. Éléments cardinaux
⎛1
e
1 n −1 e ⎞
⎟
= (n − 1)⎜⎜ −
+
n
n R1R2 ⎟⎠
⎝ R1 R2
La vergence est intrinsèque, elle est indépendante du sens de la lumière, la focale de la
lentille est donc : fi = 1/V = -fo
Plans principaux :
eV
SH i = f i (T11 − 1) = − 1
nV
eV
EH o = f o (T22 − 1) = 2
nV
V1 + V2 − V1V2
B. La loupe
C’est un instrument de faible focale qu’un observateur place de telle sorte qu’il observe une
image à l’infini.
Sans loupe :
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27/62
Bo
Ao
θ
œil
d
avec loupe :
Bo
Fi
Ao
Fo
Le grossissement est caractérisé par le rapport G =
αi
αi d
=
θ
f
C. Lentilles minces
⎛
⎞
C’est le cas où e ≈ 0, V = V1 + V2 = (n − 1)⎜ 1 − 1 ⎟
⎜R R ⎟
2 ⎠
⎝ 1
1. Constructions géométriques
Elle résulte de la remarque suivante : les plans principaux sont confondus avec celui
de la lentille : SH i = EH o = 0
Suivant le signe de la vergence deux cas peuvent se présenter :
Fo Ho Hi
Fi
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Fi
Fo
28/62
+
Bo
Ai
Ao
O
Fo
Fi
Bi
En pratique la construction d’effectue avec deux des trois rayons tracés :
+
Bo
Bi
Ao
Fi
Ai
O
Fo
Remarque : le rayon BoOBi ne subit pas de déviation
⎛ x ⎞
⎛ 1 0⎞
⎛ x ⎞
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = T (O)⎜⎜ ⎟⎟
T (O) = ⎜⎜
⎝ −V 1⎠
⎝ nα ⎠ S
⎝ nα ⎠ E
αi = -Vx + αo
en x = 0
αi = αo
2. Relations de conjugaison
Pour une lentille mince dont les milieux objet et image ont même indice on a :
p
1
1
1
−
=
Gt = i
Descartes
et
pi po f
po
Newton
σoσi = -f 2
et
Gt = −
σi
fi
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avec σ o = Fo Ao et σ i = Fi Ai
29/62
Chapitre 4
L’ŒIL
L’œil forme sur la rétine une image des objets regardés : c’est un instrument d’optique (très
complexe) dont il faut connaître les caractéristiques pour :
¾ Corriger les défauts
¾ Faire un bon chois des autres instruments qu’on lui associe
(voir Sciences et vie Junior, Dossier hors série n°51, Janvier 2003)
I. Description sommaire
La cornée : transparente d’indice n = 1,3771, dont les rayons de courbure antérieur et
postérieur sont 7,8 mm et 6,5 mm. C’est la principale lentille de l’œil dont elle assure 80% de
la réfraction. Privée de vaisseaux (sinon notre vision serait troublée par leur ombre), elle est
nourrie par un liquide fluide comme l’eau : l’humeur vitreuse
L’iris : muscle en forme d’anneau qui fait varier l’ouverture de la pupille (entre 2,5 et 7 mm).
C’est un diaphragme.
Le cristallin : lentille élastique biconvexe d’indice moyen n = 1,42 . Elle se déforme sous
l’action du muscle ciliaire
Le corps vitré : liquide gélatineux d’indice n = 1,336
La rétine : membrane sensible aux radiations lumineuses. C’est une structure discontinue
formée de cellules coniques de diamètre 4 μm.
25 mm
figure d’après Perez
II. Eléments cardinaux
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30/62
⎛ 0 1,67.10 −2 ⎞
⎟ V = 60 δ
T ( ES ) = ⎜⎜
⎟
60
0
,
9
−
⎠
⎝
fi =
ni 1,336
=
= 2,23.10− 2 m
60
V
no
1
=
= −1,67.10− 2 m
V 60
Ces caractéristiques sont celles de l’œil normal (foyer image sur la rétine) : il n’accommode
pas. Lorsque l’accommodation est maximum on a une distance minimale de vision distincte :
d ≅ 25 cm.
fo = −
III. Caractéristiques de l’œil
Champ de l’œil :
¾ En position fixe : 45’ (limites de la fovéa, zone ultrasensible sur l’axe exact de l’oeil)
¾ Grâce à sa mobilité : 40 à 50 °
Limite de résolution :
L’œil distingue deux points dont les images sont sur deux cellules distinctes, l’espace
entre deux cellules étant au minimum δ = 4μm, la limite de résolution angulaire est
donc θ = δ/R, où R est à peu de chose près le rayon de l’œil, θ ≅ 3.10-4 rd = 1’
L’œil n’est pas un simple instrument d’optique, interviennent dans son fonctionnement :
¾ Des aspects instinctifs (vision binoculaire du relief, renversement des images)
¾ Des éléments psychologiques (illusions d’optiques)
IV. Les défauts de l’œil
Les défauts les plus répandus sont la myopie, l’hypermétropie voir figure ci-dessous, la
presbytie et l’astigmatisme.
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31/62
figure d’après Perez
Myopie : l’œil est trop allongé horizontalement, en conséquence l’image d’un point à l’infini
se forme avant la rétine. On corrige ce défaut à l’aide de verres ou de lentilles cornéennes
divergents.
Hypermétropie : c’est le défaut « inverse » de la myopie. L’image d’un point à l’infini se
forme après la rétine. On corrige donc ce défaut à l’aide de verres ou de lentilles cornéennes
convergents.
Presbytie : c’est le défaut d’accommodement de l’œil. Avec l’âge le cristallin perd de son
élasticité et de l’accommodation nécessaire à la vision de près ne peut plus se faire. On
corrige ce défaut par le port de verres « progressifs ». La partie haute est destinée à la
correction éventuelle de la vision de loin et la partie basse, destinée à la vision de prêt, est
construite pour former sur la rétine l’image d’un objet situé à une cinquantaine de centimètre
des yeux.
Astigmatisme : il y a astigmatisme de l’œil lorsque celui-ci ne parvient pas à focaliser dans un
même plan les images d’objets qui se trouvent dans deux directions perpendiculaires d’un
même plan objet. On corrige ce défaut à l’aide de verres eux-mêmes astigmatiques, mais dont
l’astigmatismes est « inverse » de celui de l’œil, et ainsi le compense.
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32/62
Chapitre 5
ABERRATION CHROMATIQUE – DOUBLETS
I. Aberration chromatique
Nous avons vu que l’indice de réfraction d’un milieu variait avec la fréquence de la lumière.
C’est le phénomène de dispersion. Or l’indice intervient dans toutes les caractéristiques des
instruments et l’image donnée par un instrument dépend donc, a priori, de la fréquence de la
lumière. Si la lumière contient des fréquences assez différentes les unes des autres, alors
l’image globale pourra être altérée : c’est l’aberration chromatique.
A. Mise en évidence
Rouge
Bleu
FB
FR
z
Dans l’approximation des lentilles minces (e # 0) La focale de la lentille se calcule par :
⎛1
1
1 ⎞
= (n − 1)⎜⎜ − ⎟⎟
f
⎝ R1 R2 ⎠
On sait que l’indice de réfraction décroît avec le longueur d’onde selon une loi que l’on
C D
pourra écrire par exemple comme suit : n 2 ≈ A + 2 + 4 , si l’indice B correspond à la
λ
λ
couleur bleue, et l’indice R à la couleur rouge, on aura alors nR < nB ⇒ fB < fR
On notera Δf = f R − f B l’aberration chromatique longitudinale.
B. Pouvoir dispersif des verres
Pour une lentille mince on a donc
Δf
Δn
+
=0
f
n −1
Δn
évaluée pour deux longueurs d’onde
n −1
extrêmes et une longueur d’onde moyenne Δn = nF - nC , et nD. On prendra par exemple nF
pour λF = 0,486 μm (bleu), nC pour λC = 0,656 μm (rouge) et nD pour λD = 0,589 μm jaune
de l’hélium).
La variation de la focale peut être caractérisée par
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33/62
Le pouvoir dispersif d’un verre est par définition : K =
nF − nC
nD − 1
L’inverse du pouvoir dispersif est la constringence A =
nD − 1 n − 1
f
=
=
nF − nC
Δn
Δf
Les flints : ce sont des verres « lourds » (silicates de potassium et de plomb – le « cristal » est
in flint), qui dispersent beaucoup (30 < A < 50) nD = 1,65
Les crowns : ce sont des verres « légers » (silicates de potassium et de calcium, par exemple
les borosilicates - BK7), qui dispersent moins (50 < A < 65) nD = 1,52
II. Achromatisme
Recherchons des conditions pour réduire l’aberration chromatique
A. Condition d’achromatisme pour 2 lentilles minces
O1
O2
S
E
e
0 ⎞⎛ 1 e ⎞⎛ 1 0 ⎞
⎛ 1
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
T ( ES ) = T(O2) T ( ES ) T(O1) T ( ES ) = ⎜⎜
⎝ − V2 1 ⎠⎝ 0 1 ⎠⎝ − V1 1 ⎠
e ⎞
1 − eV1
⎛
⎟⎟
T ( ES ) = ⎜⎜
⎝ − (V1 + V2 − eV1V2 ) 1 − eV2 ⎠
e
1 1 1
= + −
f
f1 f 2 f1 f 2
lorsque la longueur d’onde varie de Δλ = λC - λF on a :
Δf
Δf Δf
e ⎛ Δf1 Δf 2 ⎞
⎜
⎟
− 2 = − 21 − 22 +
+
f
f1
f2
f1 f 2 ⎜⎝ f1
f 2 ⎟⎠
on a donc
l’achromatisme est réalisé lorsque Δf = 0 soit :
A f + A2 f 2
f
1
1
1 ⎞
e ⎛1
⎜⎜ + ⎟⎟ c’est-à-dire : e = 1 1
où Ai = i
+
−
A1 + A2
Δf i
A1 f1 A2 f 2 f1 f 2 ⎝ A1 A2 ⎠
Cette condition d’achromatisme est relative aux raies C, F et D, l’achromatisme n’est
donc pas parfait.
0=
B. Lentilles minces accolées : e = 0
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−
f 2 A1
=
f1 A2
⇒ il faut des lentilles de natures différentes, convergente et divergente.
Si on veut un ensemble convergent il faut V =
1 1
+
> 0 soit
f1 f 2
⎞ 1 A1 − A2
1 ⎛ A2
⎜⎜ −
> 0 les matériaux utilisés pour les deux lentilles doivent être
+ 1⎟⎟ =
f1 ⎝ A1
⎠ f1 A1
différents. Ces conditions peuvent être réalisées de manières différentes.
Par exemple :
si A1 > A2 ⇒ f1 doit être positif.
La première lentille est convergente en crown et la deuxième lentille est divergente en flint.
V=
C. Lentilles non accolées
Pour des lentilles construites avec le même matériau l’achromatisme est assuré si A1 =A2 et
f +f2
e= 1
2
III.Doublets
Ce sont des systèmes centrés de deux lentilles
minces que l’on caractérise par 3 nombres
f
e f
entiers : m, n et p tels que : 1 = = 2 = a
m n p
O1
O2
A. Éléments cardinaux
La matrice de transfert T (O1O2 ) s’écrit :
e ⎞
1 − eV1
⎛
⎟⎟
T (O1O2 ) = ⎜⎜
⎝ − (V1 + V2 − eV1V2 ) 1 − eV2 ⎠
cette matrice s’exprime entièrement avec n, m, p, a :
n
1 − eV1 = 1 −
e = na
m
m+ p−n
n
1
−V = −
=−
1 − eV2 = 1 −
mpa
f
p
les éléments cardinaux sont donc entièrement déterminés par n, m, p, a
B. Doublets symétriques
m=p
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n
⎛
⎞
1−
na ⎟
⎜
m
⎟
T (O1O2 ) = ⎜
⎜ − ( 2m − n) / m 2 a 1 − n ⎟
⎜
p ⎟⎠
⎝
m2
f =
a ,
2m − n
d’où les éléments cardinaux suivants :
O2 H i = − f
n
,
m
O1H o = − f
n
m
H1 et H2 sont symétriques par rapport au plan médian
Exemple : doublet 3, 2, 3
f =
9
9
a= a ,
6−2
4
9 2
3
O2 H i = − a = − a = −O1H o
4 3
2
Fi
Fo
O1
Hi
PPI
Ho
O2
z
PPO
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Chapitre 6
ASSOCIATION DE 2 SYSTÈMES CENTRÉS
I. Association de 2 systèmes centrés
no
ni
n
Δ
Hi1
Ho1
Fo1
Système 1
objectif
(
) (
Hi2 Fi2
z
e
Distance optique
Système 2
oculaire
Calcul de la vergence du système :
T ( H o1 H i2 ) = T H o2 H i2 T H i1H o2 T H o1 H i1
(
Fo2 Ho2
Fi1
)(
)
)
⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 e n ⎞⎛ 1 0 ⎞
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
T H o1 H i2 = ⎜⎜
⎝ − V2 1 ⎠⎝ 0 1 ⎠⎝ − V1 1 ⎠
e
V = V1 + V2 − V1V2
n
n
n
et f 2 = i la vergence devient :
en fonction des focales images f1 =
V1
V2
n
n n
en
V= i = + i − i
f i f1 f 2 f1 f 2
f f
dans le cas où n = ni on a : f i = − 1 2 avec Δ = Fi1Fo2
Δ
II. Le microscope : Formation de l’image
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Son fonctionnement idéal : lorsque l’image réelle donnée par l’objectif se trouve dans le plan
focal objet de l’oculaire (dans ce cas l’œil normal n’accommode pas).
no
n
Bi
Ao
Ho1
αo
Hi1
Fi
ni
1
Fo2
Ai Ho2
1
1
Hi2
αi z
Fi2
Bo
objectif
oculaire
θ
d
Grossissement
A l’œil nu, à la distance minimale de vision distincte (d = 25 cm) l’objet AoBo est vu sous
l’angle θ. On défini le grossissement par :
G=
α i Aiobj Biobj d
A1B1 d
=
= i i
= Gt1 G2 où G2 est le grossissement oculaire
θ
f2
Ao Bo Ao Bo f 2
Puissance (intrinsèque)
On appelle puissance : P =
1
Δ
=−
fi
f1 f 2
le
microscope
est
un
système
dioptrique
divergent.
Exemple : en général Δ = 16 cm par construction (c’est l’ensemble rigide oculaire-objectif qui
se déplace par rapport à la préparation observée qui tient lieu d’objet)
f1 = 1 cm
d’où G = 160
f2 = 2,5 cm
et
Gt = −
P= −
Ai1Bi1
F 1F 1
F 1F 1
= − i 1 o1 = − i o = −16
f1
Ao Bo
H i Fi
G2 =
d
= 10
f2
16
= 6,4 cm-1 = 640 m-1 = -640 δ ⇒ fi = -1,5 mm
1.2,5
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Chapitre 7
SYSTÈMES CENTRÉS AFOCAUX
Définition : ce sont des systèmes dioptriques dont la vergence est nulle. Les foyers sont donc
à l’infini, ce qui conduit à faire une étude particulière pour ces systèmes.
L’utilisation de ce genre de système correspond aux cas où l’objet dont on veut construire
l’image peut être considéré comme étant à l’infini (faisceau parallèle incident) et où l’image
se forme sur la rétine (l’oeil est placé à la sortie du système) ou sur un écran placé dans le
plans focal image d’une lentille placée elle-même derrière le système. Dans ces deux cas on a
un faisceau parallèle qui émerge du système optique.
I. Caractéristiques des instruments afocaux
A. Matrice de transfert
⎛T T ⎞
V = 0 ⇒ T ( ES ) = ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟
⎝ 0 T22 ⎠
no
ni
αe
E
αs
S
no
α e , ∀xe
ni
à un faisceau incident parallèle correspond un faisceau émergent parallèle.
α s = T22
B. Relation entre plans objet et image
no
Co
Ao
ni
E
zo
S
Ci
Ai
z
zi
T ( Ao Ai ) = T ( SAi )T ( ES ) T ( Ao E )
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⎛ 1 zi ni ⎞⎛ T11 T12 ⎞⎛ 1 − zo no ⎞
⎟⎜
⎟
⎟⎜
T ( A) = ⎜⎜
1 ⎟⎠⎜⎝ 0 T22 ⎟⎠⎜⎝ 0
1 ⎟⎠
⎝0
T11 ( A) = T11
T11 = Gt
n
T22 ( A) = T22 T22 = i Ga
nà
z
z
T12 ( A) = 0 = T12 − T11 o + T22 i est la relation de conjugaison
ni
no
Dans le cas des systèmes afocaux on préfère utiliser un couple de points conjugués particulier
(ici Ao et Ai) et exprimer la conjugaison par rapport à ces points. On caractérise ensuite la
position de points quelconques (Co et Ci sur le schéma ci-dessus) en différenciant la relation
de conjugaison. Ainsi on obtient :
Δz
Δz
− T11 o + T22 i = 0
ni
no
II. Exemple de systèmes afocaux : association de dioptres
plans
A. Dioptre plan
⎛1 0⎞
⎟⎟ =(I)
T (ES ) = R(P)= ⎜⎜
0
1
⎠
⎝
La relation de conjugaison s’écrit :
z
z
z
z
T12 ( A) = 0 = T12 − T11 o + T22 i ⇒ − o + i = 0
ni
no
no ni
no
ni
ES
B. Succession de dioptres plans (parallèles)
no
n1
S1
E
Ao
zo
e1
ni
np
S2
Sp-1
e2
S
ep
Ai
zi
T ( Ao Ai ) = T ( SAi ) R(S) T (e p ) R(Sp-1) T (e p −1 ) … T (e1 ) R(E) T ( Ao E )
Les dioptres étant plans toutes les matrices de réfraction sont ici égales à la matrice unité :
R(Si)=(I) et on a :
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e
⎛
z
e z ⎞
⎜ 1 − o + p + ... + 1 + i ⎟
T ( Ao Ai ) = ∏ T (ei ) = ⎜
no n p
n1 ni ⎟
i
⎜0
⎟
1
⎝
⎠
L’image Ai se trouve en zi tel que :
zi e p
e z
+
+ ... + 1 − o = 0
ni n p
n1 no
Exemple : lame à faces parallèles dans l’air
n
1
1
αo
Ao
S
Ai E
e
e
⎛
⎞
1 − z o + + zi ⎟
T ( Ao Ai ) = ⎜
n
⎜
⎟
1
⎝0
⎠
La relation de conjugaison donne : − zo +
e
+ zi = 0
n
e
+ SAi = 0 qui devient en introduisant e = ES il vient :
n
ES
Ao E + ES + SAi +
− ES = 0
n
⎛ 1⎞
Soit finalement : Ao Ai = e⎜1 − ⎟
⎝ n⎠
n
On a : i Ga = 1 ce qui implique ici que Ga = 1 et que le faisceau émergent est parallèle au
no
faisceau incident.
Soit : − EAo +
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III. Exemple : lunette astronomique
Le rôle d’un tel instrument est double :
1) augmenter l’angle sous lequel on voit un objet étendu qui est éloigné tel une planète
2) collecter le maximum de lumière provenant d’un objet ponctuel
A. Description
Elle comporte un système optique convergent de grande focale (de l’ordre de 1 m) qui reçoit
directement la lumière de l’objet et qui donne d’un objet éloigné une image dans son plan
focal : c’est l’objectif. Pour observer cette image l’observateur place celle-ci au foyer objet
d’un oculaire (dont la focale est de l’ordre de 1 cm).
B. Matrice de transfert
no = 1
Δ=?
f1
Fo1
ni = 1
n=1
Hi1
Ho1
Fi1
f2
Fo2 Ho2
Hi2 Fi2
z
e
Distance optique
objectif
oculaire
C’est une association de systèmes centrés.
T (ES ) = T (oculaire ) T H i1H o2 T (objectif )
(
)
( )
0 ⎞⎛ 1 e ⎞⎛ 1 0 ⎞
⎛ 1
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
T ES = ⎜⎜
⎝ − V2 1 ⎠⎝ 0 1 ⎠⎝ − V1 1 ⎠
1 − eV1
e ⎞
⎛
⎜
⎟
T ES =
⎜ − (V1 + V2 − e V1V2 ) 1 − eV2 ⎟
n
⎝
⎠
( )
La lunette est un système afocal donc V = 0
Or V1 =
1
1
1 1
e
et V2 =
, donc
+ −
= 0 soit : e = f1 + f 2 et Δ = 0,
f1
f2
f1 f 2 f1 f 2
Le foyer image de l’objectif Fi1 et le foyer objet de l’oculaire sont donc confondus.
f1 + f 2 ⎞
⎛− f f
f
⎟⎟ et Gt = − 2 = Ga−1
Finalement : T ES = ⎜⎜ 2 1
− f1 f 2 ⎠
f1
⎝ 0
( )
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αo
Ho
1
Hi
1
Fo2
Fi1 Ho2
objectif
Grossissement : G =
αi
Hi
2
z
oculaire
αi
f
ici θ = αo car l’objet est éloigné, donc G = Ga = 1
θ
f2
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INTERFERENCES
On s’est intéressé jusqu’ici essentiellement à la propagation d’une onde unique émise en un
endroit, qui atteint en suivant un trajet un autre endroit. On considèrera maintenant les cas où
différents chemins existent pour aller de l’émetteur au récepteur, ces situations conduisent aux
phénomènes d’interférences.
I. Généralités
1. Sources d’ondes électromagnétiques
De façon simple on peut identifier trois grands types de sources de champs impliqués dans
les ondes électromagnétiques :
r r
i. Les charges électriques immobiles, qui créent des champs électriques E (r )
ii. Les charges électriques en mouvement uniforme (courant électrique uniformes ou
r r
permanents), qui créent des champs magnétostatiques B(r )
iii. Les charges électriques animés de mouvements variables dans le temps, qui créent des
champs électromagnétiques caractérisés simultanément par un champ électrique et un
r r
r r
champ magnétique interdépendants et variables dans le temps E (r , t ), B(r , t ) . La
dépendance entre ces deux champs est décrite par les équations de Maxwell.
[
]
Le rayonnement électromagnétique est caractérisé par : la fréquence, l’amplitude, la
r
r
polarisation, le déphasage de E et B .
Lorsque les sources produisent des ondes de même fréquence et dont les déphasages relatifs
restent constants, elles sont dites cohérentes entre elles. Par abus de langage on dira
simplement cohérentes.
Des sources qui n’ont pas la même fréquence ou des déphasages relatifs qui varient
aléatoirement dans le temps, sont dites incohérentes entre elles.
2. Composition de deux vibrations
a) Vibrations scalaires (nature physique non précisée)
Lorsqu’en un point M deux vibrations scalaires S1 et S2 s’ajoutent, la vibration résultante est :
S = S1 +S2
Lorsque S1 et S2 ont même pulsation ω on écrira (en utilisant la notation complexe) :
~
~
S1 = a1 exp[i (ϕ1 − ωt )] , S 2 = a2 exp[i (ϕ 2 − ωt )]
~
S = [a1 exp(iϕ1 ) + a2 exp(iϕ2 )]exp(−ωt )
~
~
ce qui peut encore s’écrire : S = a exp[i (ϕ − ωt )] avec s = Re S
()
~~
Pour calculer a le plus simple est d’exprimer a 2 = S S *
a 2 = [a1 exp(iϕ1 ) + a2 exp(iϕ2 )][a1 exp(−iϕ1 ) + a2 exp(−iϕ2 )]
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a 2 = a12 + a22 + 2a1a2 cos(ϕ1 − ϕ2 )
Terme d’interférence caractéristique du phénomène
Il est ici évident qu’on ne pourra observer d’interférence que si ce troisième terme garde une
valeur constante dans le temps, c’est-à-dire si ϕ1-ϕ2 = cte.
Les sources d’où proviennent s1 et s2 doivent donc être cohérentes.
Remarque : sources de fréquences différentes
~
~
S1 = a1 exp[i (ϕ1 − ω1t )] , S 2 = a2 exp[i (ϕ2 − ω2t )]
On a comme précédemment :
a 2 = a12 + a22 + 2a1a2 cos[(ϕ1 − ϕ2 ) − (ω1 − ω2 )t ]
Au point d’observation l’argument du cosinus dépend explicitement du temps, sa
valeur moyenne est donc nulle et les interférences ne peuvent pas être observées.
b) Cas de la lumière
r
r
Lorsque deux ondes lumineuses atteignent un même point les champs E et B s’ajoutent. On
limitera l’étude au cas d’ondes quasi planes, lorsque les champs qui s’ajoutent sont
pratiquement parallèles. Les directions de propagations des deux ondes font alors entre elles
r
r
un petit angle. Comme E et B sont proportionnels entre eux, pour décrire les phénomènes
r
d’interférence on peut ne s’intéresser qu’à l’un des deux, par exemple E (qui est celle des
deux grandeurs à laquelle les récepteurs sont sensibles).
r
r
Les champs E1 et E2 peuvent alors s’écrire :
r
r
r
r
E1 = S1u et E2 = S 2u d’où :
r r r
r
E = E1 + E2 = Su , avec S = S1+S2
Les résultats 2.a) s’appliquent au champ résultant.
Remarque : intensité lumineuse
L’onde lumineuse peut être caractérisée par un scalaire variable dans le temps. Les récepteurs
en détectent la valeur moyenne du carré. Dans le cas d’ondes monochromatiques on a aussi :
r
r
E = E0 cos ωt u , <E2> = E02/2
On appelle intensité lumineuse (à ne pas confondre avec l’intensité définie en photométrie
énergétique) la quantité
I = KE02 = 2K<E2>
Pour K = εc/2 on a
I = E02εc/2 = <π> = Eo, éclairement énergétique de l’écran perpendiculaire aux rayons
lumineux.
On posera donc I = 2K<S2> et dans la pratique pour calculer l’intensité lumineuse on évaluer
S2.
II. Phénomène d’interférences à deux ondes (en optique)
1. Obtention des interférences
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~
~
S1 = S1 exp[i (ϕ1 − ωt )] , S 2 = S 2 exp[i (ϕ2 − ωt )]
~
S = a exp[i (ϕ − ωt )]
S2 = S12 + S22 +2S1S2cos(ϕ2 - ϕ1)
soit encore :
I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 < cos(ϕ 2 − ϕ1 ) >
si (ϕ2 - ϕ1) varie aléatoirement :
les sources lumineuses sont incohérentes alors <cos(ϕ2 - ϕ1)> = 0 ⇒ I = I1 + I 2 c’est ce que
l’on observe couramment lorsqu’on ne prend pas de précaution particulière.
si (ϕ2 - ϕ1) demeure constant dans le temps :
on a alors I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 < cos(ϕ 2 − ϕ1 ) >
remarques :
a) la création d’un phénomène d’interférence nécessite l’emploi se sources cohérentes. Dans
la pratique ceci n’est réalisable en optique qu’en faisant interférer deux ondes issues d’une
même source après avoir eu des conditions de propagation différentes. Le terme ϕ2 - ϕ1
dépend alors seulement des trajets géométriques.
Division du front d’onde
Division d’amplitude
b) Dans le cas particulier où I1 = I2 = I0 on a :
ϕ − ϕ1
I = 2 I 0 [1 + cos(ϕ2 − ϕ1 )] = 4 I 0 cos 2 2
2
pour (ϕ2 - ϕ1) = (2p+1) π, p entier naturel, on a I = Imin = 0
pour (ϕ2 - ϕ1) = 2pπ, p entier naturel, on a I = Imax = 4I0
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2. Calcul du déphasage
Il s’agit de calculer le déphasage de deux ondes qui ont suivit des trajets
différents.
I
S
M
J
ϕ2(M) - ϕ1(M) = [ϕ2(M) - ϕ2(S)] – [ϕ1(M)- ϕ1(S)]
On va d’abord évaluer une quantité telle que ϕ(M) - ϕ(S) sur un trajet.
Soit une onde progressive d’élongation S(M,t) :
S(M,t) = A(M)exp[i(ϕ(M) - ωt)]
Au voisinage d’un point M0 on a :
ϕ (M ) ≈ ϕ (M 0 ) + ∇ M 0ϕ . M 0M
qui est l’écriture à trois dimensions du développement de Taylor limité à l’ordre 1 :
⎛ ∂ϕ ⎞
ϕ (M ) ≈ ϕ (M 0 ) + ⎜ ⎟ . M 0M
⎝ ∂x ⎠ M 0
Si A(M) est quasi constant sur une longueur d’onde, cette onde est dite quasi plane, on pose
r r
alors : k = ∇ M 0 ϕ
r
r
ω
ω
2π
où λ0 est la longueur d’onde dans le vide.
On a c = r et donc k = n = n k0 = n
λ°
c0
k
(
)
Pour un « rayon lumineux » issu de S on a :
r
r
r
ϕ ( M ) − ϕ ( S ) = ∫ ∇ϕ . dM = ∫ k . dM
SM
SM
r
r
en intégrant le long d’un rayon lumineux où k et dM sont colinéaires ( k est un vecteur
tangent à la trajectoire du rayon lumineux) on arrive à :
2π
ϕ (M ) − ϕ (S ) =
L , où L = ∫ ndl n’est autre que le chemin optique entre S et M
λ0
SM
(introduit en optique géométrique).
Au passage on remarquera que l’on a utilisé comme définition des rayons : les lignes de
r
champ du vecteur k .
La réponse à la question posée est alors immédiate :
2πδ
Δϕ ( M ) = ϕ 2 ( M ) − ϕ1 ( M ) =
, avec δ = L2 – L1
λ0
Dans le calcul de ϕ2 - ϕ1 le temps n’intervient pas, on observe effectivement un phénomène
d’interférence qui ne dépend que de la différence de chemin optique entre les deux trajets
suivis par les rayons lumineux.
3. Franges d’interférence
I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos Δϕ , avec Δϕ = ϕ2 - ϕ1
L’intensité lumineuse est maximale pour Δϕ = 2qπ , q entier,
elle correspond à une frange brillante
minimale pour Δϕ = (2q+1), q entier
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elle correspond à une frange sombre
Ordre d’interférence : on pose Δϕ = 2π p, p est appelé « ordre d’interférence ». Une frange
brillante correspond à un ensemble de points pour lesquels p a une valeur déterminée et
entière.
Contraste C (ou visibilité)
2 I1I 2
I −I
On pose C = Max min =
⇒0≤C≤1
I Max + I min I Max + I min
On a donc
I = ( I1 + I 2 )[1 + C cos Δϕ ]
⎡
2πδ ⎤
I = ( I1 + I 2 ) ⎢1 + C cos
λ0 ⎥⎦
⎣
I/(I1+I2) = [1 + C cos(2πδ/λ0)]
avec C = 0,7
Intensité observée
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-2
-1
0
p = δ/λ0
1
2
Interfrange
Un système donnant lieu à l’interférence de 2 ondes peut se réduire au schéma ci-dessous.
Les calculs précédents (en particulier celui de Δϕ) imposent d’envisager l’utilisation de
sources cohérentes S1 et S2, d’ondes quasiplanes dont les plans d’ondes sont quasiparallèles,
r
r
ce qui impose que r1 et r2 soient sensiblement parallèles, soit encore : D >> d
2π
Δϕ =
n(r2 − r1 )
λ0
Les lieux des points tels que Δϕ = Cte (correspondant à la même intensité lumineuse)
sont des hyperboloïdes de foyers S1 et S2. L’intersection de ces surfaces avec la plan
d’observation (E) donne les franges d’interférence.
Un cas fréquemment envisagé est celui où l’écran est parallèle à la direction des
sources :
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y
M(x1,y1,z1)
x
d
O
S1 r
u
O1
S2
r
S1S 2 = d
z1
z
OO1 = D
r
d OM = u.(d M − d O)
(E)
r
δ = ( S 2 M ) − ( S1M ) = −nu .S1S 2
r
r r
r
r OM
xi + yj + Dk
, S1S 2 = − di
u=
= 2
2
2 12
(x + y + D )
OM
δ=
ndx
ndx
dans le cas où x << D et y << D on a : δ =
et
2
2 12
(x + y + D )
D
2
⎡
2πndx ⎤
I = ( I1 + I 2 ) ⎢1 + C cos
λ0 D ⎥⎦
⎣
Les franges d’interférences (I = Cte) sont les droites x = Cte, elles sont donc
perpendiculaires à la direction S1S2
La distance entre deux points homologues est appelée interfrange i0, elle correspond à
λD
2πndi0
= 2π , i0 = 0
nd
λ0 D
Exemple : D =1m
d = 0,5 mm
λ0 = 500 nm n = 1 (air) alors i0 = 1 mm
4. Exemples de dispositifs permettant la réalisation
expérimentale d’interférences à deux ondes
La réalisation de deux sources cohérentes peut être faite en optique par division du front
d’onde ou par division d’amplitude.
Beaucoup de montages reposent sur la première méthode en utilisant deux images d’une
source S fournies par deux systèmes optiques généralement symétriques qui donnent des
sources secondaires S1 et S2 en phase. Les franges s’observent dans tout le volume où les
faisceaux lumineux se superposent.
On se reportera aux ouvrages disponibles en bibliothèque universitaire pour étudier les
dispositifs suivants :
a. Miroirs de Fresnel : S1 et S2 sont les images (rigoureuses) de la source S donnée par
deux miroirs faisant entre eux un petit angle.
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49/62
b. Biprisme de Fresnel : S1 et S2 sont les images approximatives de la source S donnée
par deux prismes de petit angle.
c. Demi-lentilles de Billet : S1 et S2 sont les images approximatives de la source S
donnée par deux demi lentilles.
Interféromètre de Michelson
C’est un appareil qui permet d’obtenir tous les types de franges d’interférence.
M2
H2
M1
L1
S0
Source
O1
45°
I
H1
O2
L2
F2
(E)
C’est un appareil à faisceaux séparés (obtenus par division d’amplitude). La lentille L1 donne
de S0 une image S à l’infini ou à grande distance, les 2 faisceaux sont renvoyés sur euxmêmes par les deux miroirs M1 et M2 qui leur sont perpendiculaires. Les interférences sont
observées dans le plan de la lentille L2.
- Si M1 et M2 sont symétriques alors les images S1 et S2, données par les deux miroirs,
sont confondues et Δϕ est le même en tout point de l’écran d’observation (E) qui est
uniformément éclairé.
- Si M1 et M2 sont orthogonaux entre eux et que les deux bras IH1 et IH2 sont de
longueurs inégales, alors on observe des interférences sur l’écran (E) sous forme
d’anneaux concentriques
- Si M2 est tourné de θ par rapport à M1, S2 tourne de 2 θ et on observe des franges
d’interférence rectilignes parallèles à l’axe de rotation.
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III.Interférences à ondes multiples
Il s’agit du cas où plusieurs sources cohérentes (ou synchrones), ponctuelles et identiques sont
distribuées linéairement. L’observation est faite à très grande distance par rapport à la
distance de séparation de source, de sorte que les rayons qui interfèrent puissent être
considérés comme rigoureusement parallèles.
Calcul de l’intensité résultante
~
S1 = S0e −iω t
θ
~
S 2 = S0e −i (ω t − Δϕ )
S2
θ
~
S3 = S0e−i (ω t − 2 Δϕ )
S3
θ
S1
a
a
a
~
S N = S 0 e −i[ω t −( N −1) Δϕ ]
Sn
Δϕ =
2π
λ0
na sin θ
~
La vibration résultante est donc S telle que :
~ ~ ~
~
S = S1 + S2 + ... + S N = S0 1 + eiΔϕ + ... + ei ( N −1) Δϕ e −iω t
[
= S0
]
1 − eiNΔϕ
1− e
iΔϕ
~
soit : S = S0
e − iω t
Δϕ
i ( N −1)
2
e
⎛ NΔϕ ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ e − iω t
⎛ Δϕ ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2
⎡ ⎛ NΔϕ ⎞ ⎤
⎢ sin ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎠⎥
Soit finalement une intensité I = I 0 ⎢ ⎝
⎢ sin ⎛⎜ Δϕ ⎞⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
Δϕ
I = IMax pour
= π , soit IMax = N2I0
2
Δϕ
Δϕ
I = IMin pour N
= k 'π , avec
≠ kπ , k et k’ entiers relatifs soit IMin = 0
2
2
I0
Maxima secondaires : I ≈
<< I Max = N 2 I 0 (quand N est grand)
⎛ Δϕ ⎞
sin 2 ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
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51/62
Etude sommaire de la courbe I(Δϕ) : cas N = 6
2
⎡ ⎛ 6Δϕ ⎞ ⎤
⎢ sin ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎠⎥
I = I0 ⎢ ⎝
Δ
ϕ
⎞⎥
⎢ sin ⎛⎜
⎟
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎛ 6Δϕ ⎞
⎛ Δϕ ⎞
I(Δϕ) = 0 pour sin ⎜
⎟ = 0 et sin ⎜
⎟≠0
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
c’est-à-dire
6Δϕ
= pπ p entier différent de 0 et non multiple de 6, p = 1,2,3,4,5
I(Δϕ) = 0 pour
2
Dans le cas où p = 0 modulo 6 l’expression I(Δϕ) est indéterminée.
Comme I est périodique il suffit d’examiner I(Δϕ) au voisinage de Δϕ = 0
⎛ 6Δϕ ⎞ 6Δϕ
⎛ Δϕ ⎞ Δϕ
Près de Δϕ = 0 on a : sin ⎜
et sin ⎜
⎟=
⎟=
2
2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
lim Δϕ →0 I (Δϕ ) = N 2 I 0 = 36 I 0 = I Max
Entre deux minima nuls il y a un maximum secondaire. On peut se faire une idée de leur
3π
c’est-à-dire
intensité en recherchant par exemple la valeur de I correspondant à Δϕ =
6
Δϕ 1
=
l’ordre p =
2π 4
2
1
⎛ 3π ⎞
⎛ 3π ⎞
= 0,06
I ⎜ ⎟ = I0
2I0
I ⎜ ⎟ I Max =
6 ⎠
36
2 ⎛ 3π ⎞
⎝
⎝ 6 ⎠
sin ⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
Les maxima secondaires sont pratiquement invisibles (pour N grand)
Les minima sont à p = 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6…
2
2
I/I0=sin (Nπδ/λ0)/sin (πδ/λ0)
Intensité observée
avec δ =na sin(θ) et N = 6
0
-2
-1
0
p = δ/λ0
1
2
Lorsque N augmente l’intensité n’a de valeur appréciable que dans des intervalles étroits
autour des valeurs entières de l’ordre d’interférence.
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52/62
2
avec δ =na sin(θ) et N = 4
1,5
Intensité observée
Intensité observée
2,0
1,0
0,5
0,0
2
I/I0=sin (Nπδ/λ0)/sin (πδ/λ0)
I/(I1+I2) = [1 + C cos(2πδ/λ0)]
avec C = 0,7
-2
-1
0
p = δ/λ0
1
0
2
-2
-1
N=2
0
p = δ/λ0
1
2
N=4
2
2
2
I/I0=sin (Nπδ/λ0)/sin (πδ/λ0)
2
I/I0=sin (Nπδ/λ0)/sin (πδ/λ0)
avec δ =na sin(θ) et N = 8
Intensité observée
Intensité observée
avec δ =na sin(θ) et N = grand
0
0
-2
-1
0
1
2
p = δ/λ0
N=8
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-2
-1
0
1
2
p = δ/λ0
N = 100
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DIFFRACTION
Lorsqu’on essaie de diminuer l’étendue d’un faisceau lumineux, avec des diaphragmes par
exemple, la répartition sur un écran d’observation n’est pas celle que l’on pourrait déduire de
l’optique géométrique. Le nouveau phénomène qui apparaît, la diffraction, a de nombreuses
manifestations courantes (ex : voilage à travers lequel on observe une source lumineuse
éloignée : l’image géométrique de la source est entourée d’une croix provenant de la
diffraction de la lumière par la fine trame du voilage)
I. Principe de Huygens-Fresnel
1. Principe de Huygens
Chaque point d’une surface d’onde Σ0 peut être considéré comme une source secondaire et la
surface d’onde Σ à un instant ultérieur est l’enveloppe des surfaces d’onde sphériques
provenant des sources secondaires.
2. Principe de Huygens-Fresnel
Chaque point M d’une surface d’onde Σ atteinte par la lumière peut être considéré comme une
source secondaire émettant une onde sphérique. L’état vibratoire de la source secondaire est
proportionnel à celui de l’onde incidente en M et à l’élément de surface dΣ entourant le point
M. Les vibrations issues des sources secondaires interfèrent entre elles.
P
r
M
dS ( P) = KS ( M )
Σ
eikr
dΣ
r
S ( P) = ∫∫ KS ( M )
Σ
eikr
dΣ
r
Enoncé ainsi ce principe ramène l’étude de la diffraction à celle d’un problème
d’interférences.
Pour Fresnel il s’agit d’un principe, pour nous il s’agit maintenant des conséquences de la
théorie électromagnétique (Kirchhoff)
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II. Diffraction à l’infini ou diffraction de Fraunhofer
1. Amplitude diffractée par un diaphragme
a) Diffraction à distance finie et à l’infini
Les conditions d’interférence sont remplies de sorte que la distance D de P à l’écran est
suffisamment grande pour que l’on puisse écrire :
S ( P) => K ∫∫ S ( M )eikr dΣ
Σ
Il faut donc calculer r = MP pour obtenir le déphasage correspondant au rayon diffracté par
M(x,y) et arrivant en p(x1,y1,z1)
y
y1
x
M
O
r
u
P(x1,y1,z1)
x1
r
D
O1
z1
z1
z
D
D >> OM
(E)
[
MP = z12 + ( x1 − x) 2 + ( y1 − y ) 2
[
]
1
2
MP = x12 + y12 + z12 − 2( x1x + y1 y ) + x 2 + y 2
]
1
2
⎡ ( x x + y1 y ) x 2 + y 2 ⎤
≈ D ⎢1 − 1
+
⎥
2 D ⎦⎥
D
⎣⎢
r
x1
y
et β = 1 α et β sont les composantes de u sur Ox et Oy
D
D
2
2
x +y
MP ≈ D +
− (αx + βy )
2D
L’amplitude diffractée s’obtient par intégration sur x et y, elle dépend donc de la valeur de kr
en fonction de x , y et D : c’est la diffraction de Fresnel.
Lorsque le second terme devient suffisamment petit, MP ne dépend plus que de (αx+βy),
c’est le cas lorsque D → ∞. Dans ce cas tous les rayons qui interfèrent en P ont même
r
direction (celle de u ) : c’est la diffraction de Fraunhoffer.
On pose α =
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r
L’amplitude diffractée en P à l’infini (dans la direction de u (α , β ) ) sera donc pour une onde
plane incidente sur D (plan d’onde parallèle à D) :
⎡ 2iπ
⎤
(αx + βy )⎥dxdy
S ( P ) = AS0 ∫∫ exp ⎢−
⎣ λ0
⎦
D
b) Observation de la diffraction à l’infini
x2 + y2
doit être « petit ». Dans ce cas il peut être traduit en disant que
2D
⎡ 2π x 2 + y 2 ⎤
exp ⎢i
⎥ ≈ 1 + ε avec ε << 1
⎢⎣ λ 2 D ⎥⎦
Ceci conduit à prendre D supérieur à une valeur donnée.
Le terme
Exemple : si le diaphragme a un diamètre d = 5 mm, pour λ0 = 500 nm, en prenant
π (0,25.10−3 ) 2
ε < 0,5 mm on trouve D > − 2
= 39 m
10 .0,5.10− 6
Pour observer la diffraction à « l’infini » on utilise souvent le montage suivant :
P
S
F1
r
O2 u
O1
F2’
D
L1
L2
La source ponctuelle S, placée au foyer objet de la lentille L1, fournit un faisceau parallèle qui
r
éclaire l’ouverture D. L’observation à l’infini correspondant à la direction u se fait dans le
plan focal image de L2 en P.
Remarques :
• Selon les lois de l’optique géométrique, L1 et L2, parfaitement stigmatiques, ne
devraient donner qu’un point brillant en F2’
• La distance L1L2 ne joue aucun rôle.
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2. Figure de diffraction à l’infini d’une fente rectangulaire
a) Expression de l’intensité diffractée par une fente
rectangulaire
y
b
2
x
⎡ 2iπ
⎤
(αx + βy )⎥dxdy
S ( P) = S (α , β ) = AS0 ∫∫ exp ⎢−
⎣ λ0
⎦
D
a
2
−
a
2
b
2
−
⎡ 2iπ
⎤
exp ⎢−
(αx + β y )⎥ dxdy
x=−a / 2
⎣ λ0
⎦
x=a / 2
y =b / 2
⎡ 2iπ ⎤
⎡ 2iπ ⎤
S ( P) = S (α , β ) = AS0 ∫
αx ⎥ dx ∫
β y ⎥dy
exp ⎢−
exp ⎢−
x =−a / 2
⎣ λ0
⎦ y = −b / 2
⎣ λ0
⎦
λ
⎛ παa ⎞ λ
⎛ πβb ⎞
S (α , β ) = AS0
sin ⎜
sin ⎜
⎟
⎟
πα ⎝ λ ⎠ πβ ⎝ λ ⎠
r
On en déduit l’intensité diffractée dans la direction u (α , β ) : I (α , β ) = SS *
S ( P) = S (α , β ) = AS0 ∫
x=a / 2
y =b / 2
∫y = −b / 2
2
2
λ ⎞
⎛ πβb ⎞
2 ⎛ παa ⎞⎛ λ ⎞
I (α , β ) = A S0 ⎜
⎟⎟ sin 2 ⎜
⎟ sin ⎜
⎟⎜⎜
⎟
⎝ πα ⎠
⎝ λ ⎠⎝ πβ ⎠
⎝ λ ⎠
2
2⎛
On pose lim(α , β )→(0,0) I (α , β ) = I 0 = A2 S02a 2b 2 , on a donc finalement :
⎛ ⎛ παa ⎞ ⎞
⎜ sin⎜
⎟⎟
λ ⎠⎟
⎝
⎜
I (α , β ) = I 0
⎜ παa ⎟
⎟
⎜
λ
⎠
⎝
Etude sommaire :
I s’annule suivant
2
2
⎛ ⎛ πβb ⎞ ⎞
⎜ sin⎜
⎟⎟
⎜ ⎝ λ ⎠ ⎟ = I sin c 2 ⎛⎜ παa ⎞⎟ sin c 2 ⎛⎜ πβb ⎞⎟
0
⎜ πβb ⎟
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎟
⎜
λ
⎠
⎝
x pour α = p
λ
a
y pour β = p'
λ
b
, avec p ≠ 0
, avec p’ ≠ 0
limα,β→0 I ≈ I0
On remarquera que la tache centrale est plus large dans la direction où la fente est la plus
étroite.
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57/62
b) Cas d’une fente fine
Il s’agit d’une fente rectangulaire pour laquelle la largeur a est très supérieure à la hauteur b.
L’étude précédente nous montre que dans ces conditions les minima dans la direction Oy de la
λ
→0
b
Toute l’intensité diffractée se retrouve sur l’axe Ox (direction de la largeur a)
Pour b >> a et ab = Cte on aura pour l’intensité diffractée l’expression suivante :
hauteur b se resserrent lorsque b croit :
2
⎛ ⎛ παa ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎟⎟
λ ⎠⎟
⎛ παa ⎞
⎝
⎜
I (α ) = I 0
= I 0 sin c 2 ⎜
⎟
⎜ παa ⎟
⎝ λ ⎠
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
2
Intensité observée
I/I0=sinc [πasin(θ)/λ0]
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
[a sin(θ)]/λ0
3. Figure de diffraction à l’infini de systèmes de fentes
parallèles
On envisage le cas de fentes fines.
L’amplitude diffractée par une telle fente s’écrira :
⎛ ⎛ παa ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎟⎟
λ ⎠⎟
⎛ παa ⎞
⎝
⎜
S (α ) = AS0 ab
= AS0 ab sin c⎜
⎟
⎜ παa ⎟
⎝ λ ⎠
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
La vibration est en phase avec celle diffractée en O, centre le la fente.
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58/62
a) Fente centrée en x = d/2
x
O’
θ
O
θ
d/2
En considérant l’origine des phases en O, l’onde issue de O’ est en avance de :
2π d
πd sin θ
ϕ=
sin θ =
λ
λ 2
2
⎛ ⎛ παa ⎞ ⎞
⎛ ⎛ παa ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎜ sin ⎜
⎟⎟
⎟⎟
λ ⎠ ⎟ − iϕ
λ ⎠⎟
⎝
⎝
⎜
⎜
et l’intensité diffractée est donc : I (α ) = I 0
S (α ) = AS0 ab
e
⎜ παa ⎟
⎜ παa ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
λ
λ
⎝
⎠
⎝
⎠
Elle est identique à celle calculée pour la même fente centrée en x = 0. la figure de diffraction
est insensible à une translation de la fente dans son plan.
b) Bifente
Chaque fente a la largeur a, et la distance entre les fentes est d
ϕ'=
O’
θ
πd sin θ
λ
Δϕ =
d/2
ϕ''=
O
-d/2
O’’
avance
πd sin θ
λ
2πd sin θ
λ
retard
θ
En prenant pour origine des phases la phase de l’onde diffractée par O’, celle diffractée par
O’’ est en retard de Δϕ. L’amplitude diffractée à l’infini par les deux fentes est donc :
⎛ ⎛ πa sin θ ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎟⎟
λ ⎠⎟
⎝
⎜
S (sin θ ) = AS0 ab
1 + eiΔϕ
⎜ πa sin θ ⎟
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
L’intensité diffractée es donc : I = SS*
(
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)
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⎛ ⎛ πa sin θ
⎜ sin ⎜
λ
I (sin θ ) = 2 I 0 ⎜ ⎝
⎜ πa sin θ
⎜
λ
⎝
2
⎞⎞
⎟⎟
⎠ ⎟ ( 1 + cos Δϕ )
⎟
⎟
⎠
W
\
Cette intensité apparaît comme le produit de deux termes W et \ qui sont :
W : l’intensité diffractée par une fente
\ : l’intensité du phénomène d’interférence à deux sources.
En d’autres termes on obtient des franges d’interférences à l’intérieur de la figure de
diffraction.
W = 0 si sinθ =pλ/a avec p ≠ 0
\ = 0 si Δϕ = (2p’+1)π
Comme d > a les franges d’interférence sont plus serrées que celles de la diffraction.
2 fentes, N = 2
2
1,0
Intensité observée
2
2
I/I0=sinc [πasin(θ)/λ0] sin (Nπδ/λ0)/sin (πδ/λ0)
2
I/I0=sinc [πasin(θ)/λ0]
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-3
-2
-1
0
1
[a sin(θ)]/λ0
2
3
Ceci correspond aux fentes d’Young. On comprend ici le rôle joué par la largeur a des fentes :
plus elles sont fines, plus on observe un grand nombre de franges.
c) Réseau de fentes
a
d
d
θ
Il s’agit de calculer la figure de diffraction produite
par plusieurs fentes fines parallèles de largeur a et
distantes de d les unes des autres. Soit N le nombre de
fentes.
θ
θ
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Le retard d’une fente à l’autre pour une direction θ donnée est le même : Δϕ =
L’amplitude diffractée par un fente dans la direction θ est :
⎛ ⎛ παa ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎟⎟
λ ⎠⎟
⎝
⎜
S (α ) = AS0 ab
⎜ παa ⎟
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
L’amplitude résultante est donc :
⎛ ⎛ πa sin θ ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎟⎟
λ ⎠⎟
S (sin θ ) = AS0 ab⎜ ⎝
1 + eiΔϕ + ...ei ( N −1) Δϕ
⎜ πa sin θ ⎟
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
On retrouve un calcul déjà effectué pour les interférences à N sources :
(
2πd sin θ
λ
.
)
⎛ ⎛ πa sin θ ⎞ ⎞
NΔϕ ⎤
⎜ sin ⎜
⎟ ⎟ i N −1 Δϕ ⎡ sin
⎢
λ ⎠⎟ 2
2 ⎥
S (sin θ ) = AS0 ab⎜ ⎝
e
⎢
⎜ πa sin θ ⎟
Δϕ ⎥
⎢
⎥
sin
⎜
⎟
2 ⎦
λ
⎣
⎝
⎠
L’intensité de la figure de diffraction est donc :
⎛ ⎛ πa sin θ
⎜ sin ⎜
λ
I (sin θ ) = I 0 ⎜ ⎝
⎜ πa sin θ
⎜
λ
⎝
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎟
⎟
⎟
⎠
2
Nπd sin θ
⎡
⎢ sin
λ
⎢
πd sin θ
⎢ sin
λ
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
2
W
\
Si le nombre de fentes N est grand, la figure consistera en une série de franges brillantes
étroites correspondant aux maxima principaux de la figure d’interférence (partie \)
Equidistance : d sinθ = nλ0 soit, sinθ = nλ0/d
Les intensités de ces maxima étant modulés par la figure de diffraction d’une fente (W)
W = 0 si asinθ =pλ avec p ≠ 0
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4 fentes, N = 4
2
2
2
1,0
I/I 0=sinc [ π asin( θ )/ λ 0] sin (N πδ/λ 0 )/sin ( πδ/λ 0 )
0,8
I/I 0=sinc [ π asin( θ )/ λ 0]
Intensité observée
2
0,6
0,4
0,2
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
[a sin( θ )]/ λ 0
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