Cours 03 –Valeur absolue d`un nombre

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Cours 03 : Valeur absolue
1
/
2
O I M
0 1
O I M
0 1
O IM
0 1
O IM
0 1
O I
0 1
O I
0 1
Seconde – Lycée Desfontaines - Melle
Cours 03 –Valeur absolue d’un nombre
Dans tout le chapitre x et y désignent des réels.
I. Valeur absolue d’un nombre
Définition : La distance à zéro d’un réel x est la distance OM où O est l’origine d’une droite graduée et M le point de
cette droite d’abscisse x.
Si x>0, la distance à zéro de x est : OM=x
Si x<0, la distance à zéro de x est : OM=-x
Si x=0, la distance à zéro de x est : OO=0
Définition : On appelle valeur absolue d’un réel x et on note
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x la distance de x à zéro.
Donc
| |
x=
x si x est positif
-x si x est négatif
Remarques :
• La valeur absolue d’un réel, étant une distance, est donc toujours un nombre positif.
• Deux nombres opposés ont la même valeur absolue
Interprétation graphique
Sur une droite graduée, soient M un point
d’abscisse x et M′ le point d’abscisse -x.
On a alors : OM = OM′
Donc :
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x=
| |
-x
Exemples :
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5 = ……
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- 2,5 = ……
| |
- 2 = ……
| |
-7 = ……
| |
7 = …………
Soient a et b deux réels, alors
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a−b=
a−b si a−bÃ0
b−a si a−bÂ0 donc
| |
a−b=
a−b si aÃb
b−a si aÂb
II. Distance entre deux nombres
Défintion : Soit une droite graduée et soient A et B les points de cette droite d’abscisses respectives a et b.
On appelle distance entre a et b la distance AB.
1
er
cas : a Ãb alors la distance AB est a−b 2
ème
cas : aÂb alors la distance AB est b−a
Pour résumer :
• Si aÃb alors AB=a−b
• Si aÂb alors AB=b−a
Conclusion : D’après la conséquence 3 : AB=
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a−b
Conséquence :
| |
a−b représente la distance entre a et b.
O I
0 1
MM' O I
0 1
MM'
x
x
x
-x
B A
b a
B A
b a
a - b
A B
a b
A B
a b
b - a

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Cours 03 : Valeur absolue
2
/
2
Exemples :
•
| |
3 - 4 est la distance entre …………… c’est à dire ………… donc
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3 - 4 = ……………
Or, remarquons que 3 – 4 = - 1. donc
| |
3 – 4 =
| |
….. = ……
•
| |
3,5 - 1 = …………………………………………………..
•
| |
1 + 4 = …………………………………………………..
Remarque :
| |
a−b représente la distance entre a et b.
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b−a représente la distance entre b et a.
Or, la distance entre a et b d’une part et la distance entre b et a d’autre part sont égales
Donc
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a−b=
| |
b−a
III. Résolutions d’équations et d’inéquations
1. Résoudre
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x−2=3
Résoudre
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x−2=3 revient à trouver tous les nombres dont la distance à ….. est égale à …...
2. Résoudre
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x+4Â4
3. Résoudre
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x−1Ã4
4. Applications : Résoudre dans IR :
a)
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x+5=2
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x=-1
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x+8=0
b)
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x−3<7
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x+1Â1
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x+4<-3
c)
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x+1>2
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x−2Ã3
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x−5>-2