Cours 03 –Valeur absolue d`un nombre

Seconde – Lycée Desfontaines - Melle
Cours 03 –Valeur absolue d’un nombre
Dans tout le chapitre x et y désignent des réels.
I.
Valeur absolue d’un nombre
Définition : La distance à zéro d’un réel x est la distance OM où O est l’origine d’une droite graduée et M le point de
cette droite d’abscisse x.
Si x>0, la distance à zéro de x est : OM=x
O
I
M
0
1
x
Si x<0, la distance à zéro de x est : OM=-x
M
O
I
x
0
1
Si x=0, la distance à zéro de x est : OO=0
O
I
0
1
Définition : On appelle valeur absolue d’un réel x et on note |x | la distance de x à zéro.
x si x est positif
Donc |x |= 
-x si x est négatif
Remarques :
• La valeur absolue d’un réel, étant une distance, est donc toujours un nombre positif.
• Deux nombres opposés ont la même valeur absolue
Interprétation graphique
Sur une droite graduée, soient M un point
d’abscisse x et M′ le point d’abscisse -x.
On a alors : OM = OM′
Donc : |x |= | -x |
Exemples : |5| = ……
|-
|- 2,5| = ……
a−b
Soient a et b deux réels, alors |a−b |= 
b−a
II.
M'
O
I
-x
0
1
2| = ……
|-7| = ……
si a−bÃ0
donc
si a−bÂ0
a−b
M
x
|7| = …………
si aÃb
|a−b |= b−a si aÂb
Distance entre deux nombres
Défintion : Soit une droite graduée et soient A et B les points de cette droite d’abscisses respectives a et b.
On appelle distance entre a et b la distance AB.
1er cas : a Ãb alors la distance AB est a−b
B
A
b
a
a-b
2ème cas : aÂb alors la distance AB est b−a
A
B
Pour résumer :
a
b
• Si aÃb alors AB=a−b b - a
• Si aÂb alors AB=b−a
Conclusion : D’après la conséquence 3 : AB= | a−b |
Conséquence : |a−b | représente la distance entre a et b.
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Cours 03 : Valeur absolue
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Exemples :
•
|3 - 4| est la distance entre …………… c’est à dire ………… donc |3 - 4| = ……………
Or, remarquons que 3 – 4 = - 1. donc |3 – 4| = |…..| = ……
•
|3,5 - 1| = …………………………………………………..
•
|1 + 4| = …………………………………………………..
Remarque :
|a−b | représente la distance entre a et b. |b−a | représente la distance entre b et a.
Or, la distance entre a et b d’une part et la distance entre b et a d’autre part sont égales
Donc |a−b |= | b−a |
III.
1.
Résolutions d’équations et d’inéquations
Résoudre |x−2|=3
Résoudre |x−2|=3 revient à trouver tous les nombres dont la distance à ….. est égale à …...
2.
Résoudre |x+4|Â4
3.
Résoudre |x−1|Ã4
4.
Applications : Résoudre dans IR :
a)
|x+5|=2
b)
|x−3|<7
c)
|x+1|>2
|x |=-1
|x+1|Â1
|x−2|Ã3
|x+8|=0
|x+4|<-3
|x−5|>-2
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