Simulation Informatique

1 décembre 2008.
JEBALI Satar-LAVALLEE Claude
INTRODUIRE
LES PROBABILITES
en 3°, BEP
Comment tirer à pile ou face
1) Coincer le gros orteil sous
l’orteil suivant
2) Libérer le gros orteil qui
fait sauter la pièce
Lycée Professionnel Charles Péguy, Eysines
DEROULEMENT DE LA JOURNEE
9H30 – 9H45:
CAFE ET ACCUEIL DES COLLEGUES. (Point sur le repas de midi : 5€20/personne)
9H45 – 10H:
RAPPELS HISTORIQUES SUR LES PROBABILITES.
10H -10H30:
QUE DIT LE PROGRAMME OFFICIEL?
10H30 – 11H50:
ACTIVITES INTRODUCTIVES POUR ENSEIGNER LES PROBABILITES EN 3DP6 ET EN BEP.
11H50 – 13H30:
REPAS.
13H30-15H30:
SUITE DES ACTIVITES INTRODUCTIVES ET EXPERIMENTATION.
15H30 – 16H30:
SIMULATION INFORMATIQUE ET PRESENTATION DE CERTAINS TABLEURS.
16H30 – 17H:
EVALUATION DU STAGE ET FIN.
2
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
SOMMAIRE
Introduction des Probabilités en 3DP6 et en BEP
p4 à p11
Simulation Informatique
p12 à p14
Que disent les textes ?
p15 à p20
3
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Introduction des Probabilités en 3DP6 et en BEP
Vocabulaire
Exercice 1 :
Attribue une des étiquettes « Impossible », « Peu probable », « Fort probable », « Certain » à chacun des
événements suivants :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Demain le soleil se lèvera sur Limoges. ………………..
Cet été à Limoges on dépassera les 20°C. …………………
Voir un bœuf qui vole.
…………………
Avoir trois bons numéros au Loto.
…………………
Au pôle Nord, il fait -350°C.
………………….
Lancer une pièce et qu’elle retombe. …………………..
7. Lancer dix fois une pièce de monnaie et avoir au moins une fois la face Pile. ….....
8.
Lancer dix fois une pièce et n’avoir ni Pile ni Face.
9.
Lancer dix fois une pièce et avoir autant de Pile que de Face. …………………..
10.
Lancer dix fois la pièce et n’avoir que des piles.
Exercice 2 :
……………………………
……………………...
Donner la définition de chacun des mots suivants :
Aléatoire :
Possible :
Certain :
Prévoir :
Contingence :
Probabilité :
Equiprobabilité :
Probable :
Fréquence :
Arbre :
Hasard :
Cas favorable :
Cas possible :
Exercice 3 :
LES CARTONS
On dispose de dix cartons. Sur chacun figure un nombre. 5 de ces nombres sont positifs, les 5 autres sont négatifs.
Vaut-il mieux faire le pari d’obtenir un nombre négatif en tirant un seul carton ou d’obtenir un produit négatif en
tirant successivement et sans remise deux cartons.
Faire l’expérience !!!!
4
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Exercice 4:
5
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
BIZARRE, BIZARRE, vous avez dit HASARD ?
Exercice 5 :
Deux frères, Louis et Romain jouent aux dés. Louis est fort en maths, Romain pas.
Louis fixe les règles suivantes.
« ..on lance chacun quinze fois deux dés et on fait la somme des points qu’ils donnent. Si la somme est sept, je marque un point,
si la somme est quatre, tu marques un point. Le vainqueur est celui qui a marqué le plus de points à l’issue des trente lancers de
dés ».
Et ils jouent. Ils font en tout quatre parties et Romain part furieux en s’écriant que son frère triche et va se plaindre à son père.
Il lui raconte ce qui s’est passé. Le père écoute et sourit, puis il lui dit.
«.. retourne jouer avec ton frère mais maintenant, tu lui dis que tu gagnes lorsque la somme fait 6 et qu’il gagne lui lorsque la
somme fait 3 »
Romain propose ces nouvelles règles à son frère et revient voir son père en lui disant :
« .. je ne comprends pas, c’est bizarre il ne veut pas jouer, il me dit qu’il est presque sûr de perdre »
L’objectif de cette séance est de tester ces scénarios, de comprendre les raisons de ces évènements et de comprendre
pourquoi on aurait pu les prévoir (comme semble l’avoir fait Louis).
Travail demandé :
Par groupe de deux, vous effectuerez trente lancers de dés et noterez dans le tableau fourni la somme des dès obtenue pour
chacun des lancers de la partie avec la première règle.
A l’aide des tableaux fournis et que vous aurez remplis, vous vérifierez si l’événement précédemment décrit- Louis gagne la
majorité des quatre parties effectuées- est vrai ou non.
Vous ferez de même avec la deuxième règle et vérifierez si l’événement précédemment décrit- Louis perd la majorité des quatre
parties effectuées- est vrai ou non.
Vous essayerez alors de trouver une explication mathématique à ces évènements.
TABLEAUX DES SOMMES OBTENUES PAR LANCER DE DEUX DES SELON LA PREMIERE REGLE
Partie 1
Partie 2
Partie 3
Partie 4
Nombre total de lancers :
Nombre total de lancers :
Nombre total de lancers :
Nombre total de lancers :
Nombre de fois ou la
somme a été 7 :
Nombre de fois ou la
somme a été 7 :
Nombre de fois ou la
somme a été 7 :
Nombre de fois ou la
somme a été 7 :
Nombre de fois ou la
Nombre de fois ou la
Nombre de fois ou la
Nombre de fois ou la
6
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
somme des dès a été 4 :
somme des dès a été 4 :
somme des dès a été 4 :
somme des dès a été 4 :
La scène décrite est
vérifiée, Louis gagne.
La scène décrite est
vérifiée, Louis gagne.
La scène décrite est
vérifiée, Louis gagne.
La scène décrite est
vérifiée, Louis gagne.
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
Le scénario décrit précédemment a été vérifié ……. fois dans la classe sachant que cette partie a été effectuée …………… fois dans
la classe.
TABLEAUX DES SOMMES OBTENUES PAR LANCER DE DEUX DES SELON LA DEUXIEME REGLE
Partie 1
Partie 2
Partie 3
Partie 4
Nombre total de lancers :
Nombre total de lancers :
Nombre total de lancers :
Nombre total de lancers :
Nombre de fois ou la
somme a été 6 :
Nombre de fois ou la
somme a été 6 :
Nombre de fois ou la
somme a été 6 :
Nombre de fois ou la
somme a été 6 :
Nombre de fois ou la
somme des dès a été 3 :
Nombre de fois ou la
somme des dès a été 3 :
Nombre de fois ou la
somme des dès a été 3 :
Nombre de fois ou la
somme des dès a été 3 :
La scène décrite est
vérifiée, Louis perd.
La scène décrite est
vérifiée, Louis perd.
La scène décrite est
vérifiée, Louis perd.
La scène décrite est
vérifiée, Louis perd.
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
oui
non
(entoure la bonne
réponse)
Le scénario décrit précédemment a été vérifié ……. fois dans la classe sachant que cette partie a été effectuée …………… fois dans
la classe. Louis a-t-il eu raison de refuser cette règle du jeu ?
Dans la grande majorité des groupes, le scénario de départ s’est vérifié.
En fait cette scène est totalement inventée mais ce que j’avais prévu en théorie s’est pourtant réalisé lorsque cela a été fait en
réalité dans la classe.
7
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Comment pouvais-je prévoir ces résultats et quels autres scénarios j’aurais pu prévoir pour que Louis gagne ?
Pour quels scénarios, ne pouvais-je pas être sûr que l’un ou l’autre gagnerait ?
Sommes obtenues lors des différentes combinaisons possibles avec deux dés :
Nombre de combinaisons différentes possibles :
Nombre de fois ou la somme obtenue est 2 :
face de
chaque
dé
1
2
3
4
5
6
Nombre de fois ou la somme obtenue est 3 :
Nombre de fois ou la somme obtenue est 4 :
1
Nombre de fois ou la somme obtenue est 5 :
Nombre de fois ou la somme obtenue est 6 :
2
X
3
X
X
4
X
X
X
5
X
X
X
X
6
X
X
X
X
Nombre de fois ou la somme obtenue est 7 :
Nombre de fois ou la somme obtenue est 8 :
Nombre de fois ou la somme obtenue est 9 :
X
Nombre de fois ou la somme obtenue est 10 :
Nombre de fois ou la somme obtenue est 11:
Le cadre de droite permet’ il d’expliquer la stratégie adoptée par Louis ? Expliquez rapidement.
Nombre de fois ou la somme obtenue est 12 :
A partir des résultats précédents :
 Propose un autre scénario acceptable par Louis lui permettant de penser qu’il risque de gagner :
 Pour quels scénarios, ne peut-on pas prévoir qui risque de gagner ?
Exercice 6 : Les Anniversaires
Dans une classe, il y a 30 élèves. Louis affirme : « il y a largement plus d’une chance sur 2 que deux élèves de
la classe aient le même jour anniversaire (mais pas forcément le même âge) ».
Comment savoir si Louis a raison ?
Les punaises
Exercice 7 :
On lance des punaises : elles peuvent retomber suivant la position « 1 » ou la position « 2 ».
Position 1
Position 2
Quelle probabilité attribuer à la position « 1 » ?
8
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Jeu de « Franc Carreau »
Exercice 8 :
On lance un palet rond sur un parquet quadrillé, on fait « Franc carreau » si le palet s’immobilise à l’intérieur
d’un carreau.
Description du jeu : Tu prends une pièce de monnaie de 1 centime d’euro et tu la lances sur le plateau du jeu
distribué. Tu fais « Franc carreau » (et tu gagnes) si la pièce tombe sur une seule case (elle peut toucher les
bords mais pas empiéter sur une autre case). Sinon tu perds.
As-tu davantage de chance de gagner que de perdre ?
Faire l’expérience !!!!!!!
Une chance sur deux et simulation informatique
Exercice 9 :
. C’est moi qui commence !
. Non, c’est moi !
. Pour décider, on va tirer à pile ou face…
Le mieux c’est d’essayer…..
On dispose d’une pièce de monnaie équilibrée, c'est-à-dire que « pile » a autant de chance de sortir que « face ».
Exprime sans calcul la chance de voir sortir « face »
Exprime sans calcul la chance de voir sortir « pile »
Réalise maintenant l’expérience toi-même 10 fois :
Côté
Pile
Face
Nombre de sorties
fréquences
Taille de l’échantillon :
Les fréquences trouvées expérimentalement sont’ elles identiques pour chaque élève de la classe ?
Les fréquences trouvées expérimentalement correspondent’ elles à la valeur envisagée au début de l’activité ?
Evolution des fréquences de sortie avec la taille de l’échantillon :
Pour obtenir un échantillon de taille 20, on additionne les résultats de deux élèves, pour un échantillon de taille 40, on
additionne les résultats de 4 élèves.
Complète donc le tableau suivant :
Nombre de « pile » pour échantillon de 20 :
9
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Taille
l’échantillon
de
10
20
40
Toute la classe
10
20
40
Toute la classe
Nombre de sortie
« pile »
nombre de sortie
« face »
Taille
l’échantillon
de
Fréquence
de
sortie « pile »
Fréquence
de
sortie « face »
Vers quelle valeur évoluent les fréquences lorsque la taille de l’échantillon augmente ?
Avec quelle précision retrouve t’on la valeur envisagée dans l’activité 1 ( à 0,1 près ou à 0,01 près) ?
3) Et si on lançe 1000 fois la pièce de monnaie, aura - t – on les mêmes résultats ?
Pour réaliser ce travail, on va utiliser l’ordinateur pour faire des simulations.
EXERCICE 10 : VRAI ou FAUX ?
PROPOSITION
VRAI OU
FAUX ?
Avec 10 lancers de pièce équilibrée, on peut obtenir 7 fois « pile » et 3 fois « face ».
Si l’on utilise deux échantillons d’une même population et de même taille, alors la distribution des fréquences
est la même.
Lors du lancer d’un dé cubique équilibré, on a une chance sur six d’obtenir un « cinq ».
En six lancers d’un dé cubique équilibré, on est certain d’obtenir un « six »
Dans un lac, on prélève à un endroit en un coup de filet, 10 tanches et 30 carpes. On conclut qu’il y a dans le lac
trois fois plus de carpes que de tanches.
Lors d’un lancer de dé cubique équilibré :
Le 4 peut sortir
Le 1 peut sortir
Le 0 peut sortir
Dans les mêmes conditions, la probabilité de sortir un chiffre
10
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
impair est :
Lors de 1000 lancers de dé, on peut obtenir le chiffre 6
181 fois
159 fois
530 fois
EXERCICE 11 :
TIRAGES ALEATOIRES
1°) Dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité
a) de tirer au hasard un as ?
b) de tirer au hasard l’as de cœur ?
11
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Simulation Informatique
Il y a profusion de sites sur internet et de logiciels qui valent la peine d’être visités et utilisés.
Deux cependant nous semblent très utiles, dont un indispensable à consulter et à utiliser.
Tout d’abord le site STATISTIX à l’adresse http://www.statistix.fr . Incontournable !!
Le projet STATISTIX
De nombreux pays se penchent aujourd’hui sur la notion de statistical numeracy ou de statistical literacy. En France, cette
préoccupation se retrouve sous l’étiquette « culture citoyenne de l’aléatoire », qui permet de communiquer (recevoir et
transmettre) des informations ayant trait à des phénomènes peu prévisibles.
Au delà d’une fonction citoyenne, une certaine compréhension des phénomènes aléatoires est nécessaire pour progresser dans
divers disciplines : physique, chimie, sciences de la Vie et de la Terre, technologie, économie, sociologie, médecine, géographie.
Il s’agit donc aujourd’hui de permettre au plus grand nombre de jeunes de dépasser le stade de consommateurs passifs
d’informations et aussi de bénéficier de formations disciplinaires en phase avec la réalité actuelle.
Un grand nombre d’enseignants des lycées et collège n’ont ni formation initiale ou continue, ni expérience professionnelle
dans le domaine de la statistique.
L’idée du site Statistix est de proposer des ressources et de permettre un partage répondant aux attentes des collègues.
Le public ciblé par ce site sera celui des professeurs des collèges et des lycées d’enseignement général, des lycées techniques et
professionnels.
Ce site est :
un lieu de questionnement et de mutualisation des expériences de formation initiale et continue
un centre de ressources
un lieu de réflexion sur l’histoire des idées en probabilité et en statistique, et de vulgarisation de sujets et de résultats de
recherche.
Le site Statistix est sous la responsabilité scientifique de l’Académie des Sciences.
le Projet R (the Rproject)
à télécharger à l’adresse :
http://cran.r-project.org où vous pourrez télécharger gratuitement la version R-2.7.2 ou http://www.r-project.org/
Le Projet R http://cran.r-project.org
Logiciel libre et gratuit conçu par des universitaires du monde entier,
pour les Probabilités et Statistiques en premier lieu
- dépouillements rapides de gros jeux de données
- existence de commandes simples et puissantes
- possibilités graphiques intéressantes, également
pour être modulaire (un "package de base" et des modules spécialisés, à rajouter selon besoins), pour fonctionner sur n'importe
quelle plateforme. On travaille dans une fenêtre de commande (une console). On saisit des instructions, bref ..., on programme.
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JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Il y a donc un langage de programmation à s'approprier pour ceux qui veulent programmer.
R a sa propre aide en ligne (en anglais).
En français, on trouve de la documentation pour la prise en main. Par exemple:
Lycée (Orléans): http://mathazay.free.fr/spip/
Emmanuel PARADIS: R pour débutants:
http://www.lsp.ups-tlse.fr/Besse/pub/R/rdebuts_fr.pdf
ou http://cran.r-project.org/doc/contrib/Paradis-rdebuts_fr.pdf
ou disponible en pdf auprès des formateurs (81 pages)
Mais sans se lancer dans la programmation, relativement simple cependant de ce logiciel, vous trouverez un travail très
intéressant fait par des collègues de l’IREM d’Orléans sur le site de cet IREM à l’adresse. http://www.univ-orleans.fr/irem/
En effet, comme le logiciel est un peu spécifique, certains pourraient être un peu rebutés, et en plus en anglais, d’autres
peut être plus nombreux encore rebutés également, ils ont créé un Pack College en français que vous devrez télécharger
auparavant si vous voulez utiliser le logiciel avec les exemples qu’ils donnent sur le site.
Pour télécharger ce pack collège, allez sur le site de l’IREM d’Orléans donné précédemment, puis sélectionnez
Groupe de recherches (barre de gauche)
Liaison collège-lycée
Vous allez alors avoir toute la procédure expliquée (même quand il y a un bug, puisque pour l’instant il y en a un !!) :
ATTENTION !! Si vous chargez le pack, vous ne devez pas le dézipper mais le télécharger comme tel.
Vous y trouverez également
-une présentation du logiciel R, avec les adresses de téléchargement, et les méthodes d'installation ; prés_R.pdf
-l'ensemble des modes d'emploi des fonctions du package "college". documentation package_college.pdf
Grâce à ce logiciel, on peut programmer des simulations pour pile ou face, les dès, les urnes avec l’ensemble des résultats obtenus
ainsi que les calculs de fréquence, de probabilité….
Très intéressants quand on maîtrise ou si vous trouvez quelqu’un qui vous donne directement le programme écrit et qu’il n’y a
plus qu’à faire tourner sur l’ordinateur.
LES PLUS CLASSIQUES :
La machine à calculer :
On peut simuler le tirage aléatoire de valeurs tout simplement grâce à la machine à calculer, il suffit pour cela d’utiliser la touche
RAN# ou RAND
A chaque fois que vous tapez EXE ou ENTREE, elle vous génère une valeur décimale avec au maximum trois décimales. (je n’ai
pas réussi à obtenir plus de décimales avec ma calculatrice classique de niveau 3° BEP).
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JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Ainsi vous pouvez faire faire autant de tirages aléatoires que vous voulez à l’élève, lui faire relever les valeurs dans un tableau et
faire l’exploitation.
Vous pouvez par exemple utiliser cet outil pour connaître les chances qu’on a d’obtenir un nombre pair dans un tirage de 100, 150
ou plus tirages aléatoires de nombres.
Il y a deux écoles, celle qui préconise de prendre uniquement la partie décimale donnée par la calculatrice
Nous sommes plutôt partisans de faire 1000 fois RAN# et d’obtenir ainsi directement lisiblement un nombre entier.
Les tableurs
Vous pouvez utiliser Excel et certainement également OpenOffice.
Sur Excel, vous avez l’instruction ALEA qui donne également un nombre aléatoire compris entre 0 et 1
Puisqu’on a cherché, on vous donne le truc (pour ceux qui ne connaîtraient pas déjà) :
Comment simuler un lancer de dé équilibré à six faces ?
Il faut taper dans une cellule ENT(6*ALEA()+1) ; Vous copiez cette instruction dans autant de cases que vous voulez ensuite en
grisant le nombre de cases que vous souhaitez et vous tapez ENTREE.
demonstration.xls
Une info utile qui fait gagner du temps :
Dans Excel, de la colonne A à la J incluse, on a 10 colonnes, il suffit donc de sélectionner le bon nombre de lignes en fonction de
la taille de l’échantillon souhaité.
En cherchant encore plus, nous nous sommes aperçus que sur la dernière version de EXCEL, il existe directement le tirage
aléatoire entre deux bornes que vous définissez. Il suffit de taper =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)
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JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
Le programme de troisième (2008) partie probabilités
extrait d’une présentation de Michel HENRY, président de l’IREM de Besançon
Les programmes à la rentrée 2008
Classe de seconde : expérimentations numériques, observations des fluctuations d’échantillonnage,
simulation et distributions de fréquences
Classes de première : expérience aléatoire, vocabulaire des événements, loi de probabilité sur un
ensemble fini d’issues, probabilité d’un événement, loi des grands nombres, modèle d’équiprobabilité.
Classe de terminale S : probabilités conditionnelles, indépendance, formule des probabilités totales, lois
discrètes (Bernoulli, binomiale), lois continues (uniforme, exponentielle), adéquation de données à une
loi équirépartie.
Dans cette progression, la définition (scolaire) de la probabilité synthétise les deux approches dans le
cadre de la modélisation :
-
15
Une expérience aléatoire donne lieu à n issues possibles notées xi. Un événement est représenté
par un ensemble de ces issues.
On modélise cette expérience par une loi de probabilité P: aux xi on fait correspondre les pi tels
que 0 ≤ pi ≤ 1 et ∑ pi = 1. Si pi = 1/n, la loi est équirépartie.
La probabilité d’un événement est la somme des pi associées aux issues constituant cet événement
(deuxième principe de Laplace).
On en déduit les propriétés: P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, P(Ac) = 1 – P(A),
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
16
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
-
Qu’est-ce que le hasard ?
-
Peut-on le quantifier ?
-
Des générateurs de hasard familiers : pièces, dés, roulettes, urnes…
-
La probabilité pour évaluer le poids des cas favorables par rapport à tous les cas possibles.
-
L’équiprobabilité comme hypothèse de modèle.
-
Fluctuations des fréquences et stabilisation. Usage de tableurs.
-
Caractère théorique de la probabilité : un nombre pour évaluer les « chances », approximativement mesuré par une
fréquence stabilisée . Distinction entre modèle et réalité.
-
Mesure expérimentale approximative d’une probabilité par la fréquence stabilisée. Punaises…
Fin de la présentation de Michel Henry.
Les Baccalauréats professionnels
A partir du Projet de programme d’Avril 2008
Les trois domaines du programme de mathématiques
•
- Statistique et notion de probabilité ;
•
- Algèbre – Analyse ;
•
- Géométrie.
Statistique et notion de probabilité
•
Ce domaine constitue un enjeu essentiel de formation du citoyen. La plupart des outils ont déjà été introduits au collège.
Leur enseignement facilite, souvent de façon
privilégiée, les interactions entre diverses parties du programme de mathématiques (traitements numériques et graphiques) et
les liaisons entre les enseignements de différentes disciplines.
En vert, nous avons relevé le vocabulaire qui est censé avoir été introduit en 3° à partir de cette année dans les nouveaux
programmes et qui peut donc logiquement être considéré comme des pré requis en 2nde professionnelle.
•
L'étude des fluctuations d’échantillonnage permet de prendre conscience de l’esprit de la statistique et précise la notion
de probabilité. Elle porte sur des exemples de données expérimentales obtenues,
- dans un premier temps, par quelques expériences (lancers de pièces, de dés, ou tirages dans une urne…) et,
- dans un deuxième temps, par simulation à l’aide du générateur de nombres aléatoires d’une calculatrice ou d’un tableur.
•
Les objectifs principaux de ce domaine sont :
- exploiter des données ;
- apprendre à identifier, classer, hiérarchiser l'information ;
- interpréter un résultat statistique ;
17
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
- gérer des situations simples relevant des probabilités.
•
Le calcul d’indicateurs, la construction de graphiques et la simulation d’expériences aléatoires à l’aide de logiciels
informatiques sont des outils indispensables et constituent une obligation de formation.
Capacités
Connaissances
Commentaires
Expérimenter, d’abord à l’aide de
pièces, de dés ou d’urnes, puis à
l’aide d’une simulation
informatique prête à l’emploi, la
prise d’échantillons aléatoires de
taille n fixée, extraits
Tirage au hasard et avec remise
de n éléments
Toutes les informations concernant l’outil de
simulation sont fournies.
dans une population où la
fréquence p relative à
un caractère est connue.
d’une population où la fréquence p
relative à un caractère est connue.
Déterminer l’étendue des
fréquences de la série
d’échantillons de taille n obtenus
par expérience ou simulation.
Fluctuation d’une fréquence
relative à un caractère, sur des
échantillons de taille n fixée.
Stabilisation relative des
fréquences quand n
La propriété de stabilisation relative des
fréquences vers la probabilité est mise en
évidence graphiquement à l’aide d’un outil de
simulation.
augmente. Notion de
probabilité.
Programme des classes de première professionnelle
1. STATISTIQUE ET NOTION DE PROBABILITÉ
. 1.2 Fluctuation d’une fréquence selon les échantillons (groupements A, B et C)
•
L’objectif de ce module est de consolider et d’approfondir l’étude, initiée en seconde professionnelle, de la variabilité
lors d’une prise d’échantillon, pour favoriser la prise de décision dans un contexte aléatoire.
La consolidation des notions déjà acquises en
seconde professionnelle se traite en prenant appui sur des exemples de situations concrètes, issues de la vie courante, du
domaine professionnel ou des thématiques parues au B.O.E.N..
Capacités
Connaissances
Expérimenter, à l’aide d’une simulation
Distribution
d’échantillonnage d’une
fréquence.
informatique, la prise d’échantillons
aléatoires de
Commentaires
taille n fixée, extraits d’une population où
18
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
la
fréquence p relative à un caractère est
connue
Calculer la moyenne de la série des
fréquences fi
Moyenne de la distribution
d’échantillonnage
La population est suffisamment importante pour
pouvoir assimiler les prélèvements à des tirages
des échantillons aléatoires de même taille
n
d’une fréquence.
avec remise.
prélevés.
La stabilisation vers p, lorsque la taille n des
Comparer la fréquence p de la population
et la
échantillons augmente, de la moyenne des
fréquences est mise en évidence graphiquement à
moyenne de la série des fréquences fi des
l’aide d’un outil de simulation.
échantillons aléatoires de même taille n
prélevés,
Distinguer, par leurs notations, la fréquence p de
la population et les fréquences fi des échantillons
lorsque p est connu.
aléatoires.
Calculer le pourcentage des échantillons
de taille
Intervalle de fluctuation.
n simulés, pour lesquels la fréquence
relative au
caractère étudié appartient à l’intervalle
donné
[p –1/n ; p +1/n].
Se restreindre au cas où
n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1– p) ≥ 5 : la connaissance de
ces conditions n’est pas exigible. La formule de
l’intervalle est donnée.
Exercer un regard critique sur les données
statistiques en s'intéressant à la « variabilité
naturelle » des fréquences d'échantillon, c'est-à
dire environ 95% des échantillons fournissent
une fréquence dans l’intervalle
[p –1/n ; p +1/n].
Programme des classes de terminale professionnelle
1. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
1.2 Probabilités (groupements A, B et C)
•
L’objectif de ce module est d’entraîner les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples à mettre en œuvre,
et à calculer des probabilités.
•
Tout développement théorique est exclu. La notion de probabilité est introduite en s’appuyant sur l’observation de la
fluctuation d’échantillonnage d’une fréquence et sur la relative stabilité de cette fréquence lorsque l’expérience est
19
JEBALI Satar – LAVALLEE Claude
répétée un grand nombre de fois. Les études menées s’appuient sur des exemples simples issus du domaine
technologique ou de la vie courante.
•
Les capacités figurant au programme de première professionnelle, concernant la fluctuation d'échantillonnage, restent
exigibles.
•
On arrive à plus de formalisme tant dans la notation que dans la précision du vocabulaire, sachant que fluctuation,
échantillon et aléatoire sont alors maîtrisés puisque vus depuis la 3°.
•
On définit donc les termes d’univers.
•
L’évènement noté A comme partie de l’univers.
•
La notion de probabilité est définie de façon formelle comme le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de
cas possibles.
•
On définit les propriétés sur les événements contraires, incompatibles…
Capacités
Passer du langage probabiliste au
langage courant et réciproquement.
Connaissances
Expérience aléatoire,
événement élémentaire,
univers, événement.
Réunion et intersection
d’événements.
Commentaires
Se limiter au cas où l’ensemble des événements
élémentaires est fini.
La connaissance des symboles  (réunion), 
(intersection) et la notation Ā (événement
contraire) est exigible.
Événements incompatibles,
événements contraires.
Calculer la probabilité d’un événement
par addition des probabilités
d’événements élémentaires.
Reconnaître et réinvestir des situations
de probabilités issues d’expériences
aléatoires connues : tirages aléatoires
avec ou sans remise, urnes.
Probabilité d’un événement.
Faire le lien avec les propriétés des fréquences.
Événements élémentaires
équiprobables.
Les tirages simultanés sont exclus.
Événements élémentaires non
équiprobables.
Entraîner les élèves à utiliser à bon escient des
représentations pertinentes (arbres, tableaux,
diagrammes) pour organiser et dénombrer des
Calculer la probabilité d’un événement
données relatives à une expérience aléatoire. Ces
Contraire Ā.
représentations constituent une preuve.
Calculer la probabilité de la réunion
Toute utilisation de formules d’arrangement ou
de combinaison est hors programme.
d’événements incompatibles.
Utiliser la formule reliant la probabilité
de AB
et de AB.
La généralisation à des cas où les événements
élémentaires ne sont pas équiprobables se fait à
partir d’exemples simples.
La notion d’indépendance est hors programme.
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JEBALI Satar – LAVALLEE Claude