Mesure produit Théorèmes de Fubini 1. Tribu produit

CHAPITRE 4
Mesure produit
Théorèmes de Fubini
1. Tribu produit
Définition
Soient ( X, A )et ( Y, B )deux espaces mesurables. On appelle tribu produit de A et B la tribu engendrée par
{A×B / A ∈Aet B∈B}. On note A⊗
|{z}
« tenseur »
B:=σ{A×B / A ∈Aet B∈B}.
Exemple
On prend X = Y = [ 0 , 1 ] , A = {∅,[ 0 , 1 ],[ 0 ,1
2[,[1 2,
1 ]} . Alors A⊗A){A×B / A ∈Aet B∈A} . En effet,
[1
2,1] ×[1 2,1] ∈A⊗A\ {A×B / A ∈Aet B∈A}.
Proposition 1.1
Soient ( X, A )et ( Y, B )deux espaces mesurables. On définit πX:X×Y−→ X
(x, y)7−→ x
et
πY:X×Y−→ Y
(x, y)7−→ y. Alors πXest (A⊗B,A)-mesurable et πYest (A⊗B,B)-mesurable.
Si T est une tribu sur X×Y telle que πX est ( T,A )-mesurable et πY est ( T,B )-mesurable, alors T⊃ ( A⊗B ).
A⊗Best la plus petite tribu telle que πXet πYsont mesurables.
Démonstration : Soit A∈A , on a π−1
X
( A ) = A×Y∈A⊗B et pour B∈B , on a π−1
Y
( B ) = X×B∈A⊗B . Donc πX et πY
sont mesurables.
Soit T une tribu sur X×Y comme dans l’énoncé, alors ∀A∈A , π−1
X
( A ) = A×Y∈T et ∀B∈B , π−1
Y
( B ) = X×B∈T . Donc
(A×Y)∩(X×B) = A×B∈T. Finalement, T⊃σ({A×B / A ∈Aet B∈B}) = A⊗B.
Proposition 1.2
Soient ( X, A ),( Y, B )et ( Z, C )trois espaces mesurables. On considère f:(Z, C)−→ (X×Y, A⊗B)
z7−→ (fX(z), fY(z))
. Alors
fest (C,A⊗B)-mesurable ⇐⇒ fXest (C,A)-mesurable et fYest (C,B)-mesurable.
Démonstration : ⇒On a fX=πX◦fet fY=πY◦f.
⇐ On suppose fX et fY mesurables. Pour montrer que f est ( C,A⊗B )-mesurable, il suffit de prouvert que ∀A∈A et
∀B∈B , f−1 ( A×B ) ∈C . On sait que ∀A∈A , f−1
X
( A ) ∈C . On a aussi f−1
X
( A ) = f−1 ( A×Y )et d’autre part, ∀B∈B ,
f−1
Y(B) = f−1(X×B)inC. Donc f−1(A×Y)∩f−1(X×B) = f−1((A×Y)∩(X×B)) = f−1(A×B)∈C.
Définition
Soient ( X1,A1 ) ,..., ( Xn,An )des espaces mesurables. On pose A1⊗ ··· ⊗ An = σ ( {A1× ··· × An/ Ai∈
Aipour 16i6n}).
Proposition 1.3 – Associativité
Soient (X, A),(Y, B)et (S, C)trois espaces mesurables. On a A⊗B⊗C=A⊗(B⊗C)=(A⊗B)⊗C.
Démonstration :∀ ( A, B, C ) ∈A×B×C , on a A×B×C∈A⊗ ( B⊗C )car A∈A et B×C∈B⊗C . Donc A⊗B⊗C⊂A⊗ ( B⊗C ).
Fixons A∈A . Notons TA = {Z∈B⊗C/ A ×Z∈A⊗B⊗C} . Montrons que TA est une tribu. On a ∅∈TA car
A×∅ = ∅∈A⊗B⊗C . Soit ( Zn )
∞
n=0 ⊂TA
. Alors ∀n , A×Zn∈A⊗B⊗C d’où
S
( A×Zn ) ∈A⊗B⊗C alors A×SZn∈A⊗B⊗C
et donc
SZn∈TA
. Si Z∈TA alors A×Z∈A⊗B⊗C et alors (X×Y×S)\(A×Z)
| {z }
∈A⊗B⊗C
= ((X\A)×Y×S)
| {z }
∈A⊗B⊗C
∪ ( A× (( Y×S ) \Z )).
Donc A×((Y×S)\Z) = ((X×Y×S)\(A×Z)) \((X\A)×Y×S)∈A⊗B⊗C.
Donc ∀B∈Bet ∀C∈C,A×B×C∈A⊗B⊗Cet B×C∈TA. Donc TA⊃σ({B×C / B ∈Bet C∈C}) = B⊗C.
On a montré ∀A∈A , ∀Z∈B⊗C , A×Z∈A⊗B⊗C . Et donc σ ( {A×Z / A ∈Aet Z∈B⊗C} ) ⊂A⊗B⊗C , c’est-à-dire
A⊗(B⊗C)⊂A⊗B⊗C.
– 1 –

Corollaire 1.4
Soient ( X1,A1 ) ,..., ( Xn,An )des espaces mesurables tels que ∀i6n , Ai = σ ( Fi ). On suppose que ∀i , Xi∈Fi .
Alors Ai⊗ ··· ⊗ An=σ({F1× ··· × Fn/ Fi∈Fi}).
Démonstration : Par récurrence, pour n = 2, on a σ ( {F1×F2/ F1∈F1et F2∈F2} ) ⊂σ ( {A1×A2/ Ai∈Ai} ) = A1⊗A2 .
On pose A0
1
= {A1⊂X1/ A1×X2∈σ ( F ) } où F = {F1×F2/ F1∈F1et F2∈F2} . A0
1
est une tribu. En effet ∅×X1∈σ ( F ).
Supposons que ( An )
∞
n=0 ⊂A0 1
. Alors ∀n , An×X2∈σ ( F )d’où
S
( An×X2 ) =
SAn×X2∈σ
( F )et donc
SAn∈A0
1
. Soit
A1∈A0
1
alors A1×X2∈σ ( F )d’où ( X1×X2 ) \ ( A1×X2 )=( X1\A1 ) ×X2 . Donc ( X1\A1 ) ×X2∈σ ( F )et X1\A1∈A0
1
.
Par ailleurs, ∀F1∈F1 , F1×X2∈σ ( F ) = ⇒F1∈A0
1
. Donc σ ( F1 ) = A1⊂A0
1
. Alors ∀A1∈A1 , A1×X2∈σ ( F )et de même,
∀A2∈A2,X1×A2∈σ(F). Donc (A1×X2)∩(X1×A2) = A1×A2∈σ(F). D’où A1⊗A2⊂σ(F).
A1⊗ · · · ⊗ An⊗An+1 =A1⊗(A2⊗ · · · ⊗ An+1)
=σ(F)⊗σ({F2× · · · × Fn+1 / Fi∈Fi})
=σ({F1⊗F2× · · · × Fn+1 / Fi∈Fi})
1.1. Exemple fondamental – La tribu borélienne sur Rd
B(Rd)est la tribu engendrée par les ouverts de Rd.
Théorème 1.5
B(Rd) = B(R)⊗ ··· ⊗ B(R)
Démonstration : Notons I l’ensemble des intervalles ouverts de R et Od l’ensemble des ouverts de Rd . On sait que B ( R ) = σ ( I )
et R⊂I . Donc B ( R ) ⊗ · · · ⊗ B ( R ) = σ ( {I1× · · · × Id/ Ik∈I} ). Comme I1,...,Id∈I alors I1× · · · × Id∈Od donc
B(R)⊗ · · · ⊗ B(R)⊂B(Rd).
Soit O∈Od . On pose R =
d
Q
k=1
]ak, bk[/ ak< bket ak∈Q, bk∈Q . R est dénombrable et ∀x∈O , ∃δ > 0tel que
d
Q
k=1
]xi−δ, xi + δ[⊂O . Alors ∀k , ∃ak, bk∈Q tels que xi−δ < ak< xi< bk< xi + δ . D’où ∀x∈O , ∃R∈R tel que R⊂O et
x∈R. Finalement, O=S
R∈R
R⊂O
R. Donc ∀O∈Od,O∈B(R)⊗ · · · ⊗ B(R)et ainsi, B(Rd)⊂B(R)⊗ · · · ⊗ B(R)
| {z }
dfois
.
Proposition 1.6
Soient ( X, A )et ( Y, B )deux espaces mesurables. Soit C∈A⊗B . Alors ∀x∈X , Cx = {y∈Y / ( x, y ) ∈C} ∈ B
et ∀y∈Y,Cy={x∈X / (x, y)∈C} ∈ A.
Démonstration : Soit x∈X . On pose Tx = {C∈A⊗B/ Cx∈B} . Tx est une tribu. Soit A∈A et B∈B . On pose
C = A×B . Alors Cx = B si x∈A et Cx = ∅ si x /∈A . Dans tous les cas, Cx∈B . Comme Tx est une tribu, alors
Tx⊃σ({A×B / A ∈Aet B∈B}) = A⊗B.
Corollaire 1.7
Soit f: ( X×Y, A⊗B ) −→ ( R,B ( (R )) mesurable. Alors ∀x∈X , fx:(Y, B)−→ (R,B((R))
y7−→ f(x, y)
est mesureabe
et ∀y∈Y,fy:(X, A)−→ (R,B(R))
x7−→ f(x, y)est mesurable.
Démonstration : Soit C∈A⊗B . On pose f =
C
et fx =
Cx
. Comme Cx∈A , alors fx est mesurable. f:X×Y−→ R est
étagée donc on peut écrire f=
n
P
i=1
αi Ciet donc fx=Pαi(Ci)xest donc mesurable.
Soit f mesurable, alors ∃ ( fn )étagées telles que fn−−−−→
n→∞ f
simplement. ET donc ( fn )
x−−−−→
n→∞ fx
simplement. Donc fx est
mesurable.
2. Mesures produit de mesures σ-finies
Définition
Une mesure µ sur ( X, A )un espace mesurable est dite σ -finie s’il existe une suite (croissante) d’ensembles En∈A
tels que X=∞
S
n=
Enet ∀n∈N,µ(En)<+∞.
– 2 –

Exemple
On prend (X, A)=(R,B(R)) et λla mesure de Lebesgue.
En= [−n, n]et R=∞
S
n=0
Enet λ(En)=2ndonc λest σ-finie.
Soit Γnon dénombrable, on prend X=P(Γ) et µla mesure de décompte.
Théorème 2.1
Soient ( X, A, µ )et ( Y, B, ν )deux espaces mesurés σ -finis. Alors il existe une unique mesure m sur ( X×Y, A⊗B )
telle que ∀A∈Aet ∀B∈B,m(A×B) = µ(A)ν(B). Cette mesure est σ-finie et elle est notée m=µ⊗ν.
On a les propriétés suivantes :
• ∀C∈A⊗B,x7−→ ν(Cx)est A-mesurable et y7−→ µ(Cy)est B-mesurable
•m(C)=(µ⊗ν)(C) = RXν(Cx) dµ(x) = RYµ(Cy) dν(y)
Démonstration :Admis.
Proposition 2.2
Le Théorème 2.1 s’étend aux produits finis de mesures σ -finies. Soient ( Xi,Ai, µi )des espaces mesurés σ -finis
avec 1 6i6n . Alors µi⊗ ··· ⊗ µn est caractérisé par ( µ1⊗ ··· ⊗ µn )( A1× ··· × An ) =
n
Q
i=1
µi ( Ai )avec Ai∈Ai .
Exemple
On appelle mesure de Lebesgue sur (Rd,B(Rd)) λd:=λ⊗ ··· ⊗ λ
| {z }
dfois
.
3. Théorèmes de Fubini
Théorème 3.1 – Théorème de Fubini-Tonelli
Soit f: ( X×Y, A⊗B ) −→ ( R+,B ( R+ )) positive et mesurable. Soient µ et ν des mesures σ -finies sur A et B
respectivement.
(a) (X, A)−→ R
x7−→ RYf(x, y) dν(y)et (Y, B)−→ R y7−→ RXf(x, y) dµ(x)sont mesurables
(b) ZX×Y
f(x, y) d(µ⊗ν) = ZXZY f(x, y) dν(y)dµ(x) = ZYZX f(x, y) dµ(x)dν(y)(?)
Démonstration :(a) On sait que fx:y7−→ f(x, y)est mesurable et positive, donc RYf(x, y) dν(y)a un sens.
Si f=Cavec C∈A⊗B,RYf(x, y) dν(y) = RYC(x, y) dν(y) = ν(Cx). On a admis que x7−→ ν(Cx)est mesurable.
Si f=
n
P
i=1
α1Ciavec αi>0,x7−→
n
P
i=1
αiν(Ci)xest mesurable.
Soit f mesurable et positive, alors ∃ ( fn )étagées positives telles que fn converge simplement en croissant vers f et alors ∀x ,
RYfn(x, y) dν(y)−−−−→
n→∞ RYf(x, y) dν(y)d’après le théorème de convergence monotone.
x7−→ RYf(x, y) dν(y)est donc A-mesurable.
(b) Toutes les intégrales impliquées ont un sens.
Si f=Cavec C∈A⊗B, le Théorème 2.1 entraîne que (µ⊗ν)(C) = RXν(Cx) dµ(x) = RYµ(Cy) dν(y)i. e.
ZY
Cd(µ⊗ν) = ZXZY C(x, y) dν(y)dµ(x) = ZYZX C(x, y) dµ(x)dν(y)
Comme ( ? )est vraie pour les fonctions indicatrices, alors ( ? )est vraie pour les fonctions étagées positives. Donc ( ? )est
vraie pour les fonctions mesurables et par approximation croissante par des fonctions étagées positives et par le théorème de
convergence monotone.
– 3 –

Théorème 3.2 – Théorème de Fubini
Soit f: (X×Y, A⊗B)−→ (R,B(R)) mesurable. Si de plus, f∈L1
R(µ⊗ν), alors
(i) x-presque partout, fx:y7−→ f(x, y)∈L1(ν)
(ii) y-presque partout, fy:x7−→ f(x, y)∈L1(µ)
(iii) La fonction définie x-presque partout par x7−→ RYf(x, y) dν(y)∈L1(µ)
(iv) La fonction définie y-presque partout par y7−→ RXf(x, y) dµ(x)∈L1(ν)
(v) RX×Yf(x, y) d(µ⊗ν) = RXRYf(x, y) dν(y)dµ(x) = RYRXf(x, y) dµ(x)dν(y).
Démonstration :(i) et (ii) Par hypothèse,
RX×Yf+d
( µ⊗ν ) < + ∞ et
RX×Yf−d
( µ⊗ν ) < + ∞ . On applique Fubini-Tonelli à
f+ et alors
RX×Yf+d
( µ⊗ν ) =
RXRYf+dν(y)dµ
( x ) < + ∞ . Donc x -presque partout,
RYf+
( x, y ) dν ( y ) < + ∞ . Il en est
de même pour f−. Donc x-presque partout, RY|f|(x, y) dν(y)<+∞.
(iii) et (iv) On applique Fubini-Tonelli,
RX×Yf+d
( µ⊗ν ) =
RXRYf+dν(y)dµ
( x )+ ∞ et
RX×Yf+d
( µ⊗ν ) =
RYRXf+dµ(x)dν
( y )+
∞. Donc x7−→ RYf+(x, y) dν(y)∈L1(µ)et y7−→ Ryf+(x, y) dµ(x)∈L1(ν). Il en est de même pour f−, d’où (iv) .
(v) On applique Fubini-Tonelli à f+et f−et on fait la différence.
Comment les appliquer ?
1. On applique Fubini-Tonelli à |f|pour montrer que f∈L1(µ⊗ν)(on choisit entre RXRYet RYRX).
2. On applique Fubini pour calculer RX×Yfd(µ⊗ν).
Exemple
Calcul de F(t) = R+∞
0
sin x
xe−tdxpour t > 0.
On a
sin x
x
=
R1
0cos
( xy ) dy pour x > 0. Soit f ( x, y ) = cos ( x, y )e
−tx
avec ( x, y ) ∈[ 0 , + ∞[×[ 0 , 1 ] . On a alors
F ( t ) =
R+∞
0R1 0f(x, y) dydx
. On a |f ( x, y ) |6 e
−tx
, d’où
R+∞
0R1 0|f(x, y)|dydx6R+∞ 0
e
−tx dx
=
1
t<∞
.
Donc f∈L1 ( ] 0 , + ∞[,[ 0 , 1 ] ), d’après le théorème de Fubini-Tonelli. On peut donc appliquer le théorème de
Fubini, ainsi
F(t) = Z∞
0Z1 0
f(x, y) dydx
=Z1
0Z∞ 0
cos(xy)e−tx dxdy
=Z1
0
Re Z∞
0
e(iy−t)xdxdy
=Z1
0
Re e(iy−t)x
iy−t+∞
0
dy
=Z1
0
Re 1
t−iydy
=Z1
0
t
t2+y2dy
=Z1
0
1
1 + y2
t2
dy
t
=Z1
t
0
1
1 + u2
d
u
= Arctan 1
t
=π
2−Arctan t
4. Théorème de changement de variables
Définition
Soient U et V deux ouverts de Rn . Une application ϕ:U−→ V est un C1 -difféomorphisme de U sur V si ϕ est
une bijection de Usur Vtelle que ϕet ϕ−1sont de classe C1.
– 4 –

Rappel
Soit ϕ:U−→ Rn où U est un ouvert de Rp . Alors ϕ est de classe C1⇐⇒ ∀x∈U , ∀i∈ { 1 , . . . , p} ,
∂ϕ
∂xi
existe et
est continue sur U.
Exemple
ϕ: ]a, b[−→ ]c, d[ est un C1-difféomorphisme ⇐⇒ ϕ est C1 , surjective et ϕ0 ne s’annule pas ( ϕ0> 0sur ]a, b[ ou
ϕ0<0sur ]a, b[).
Définition
Soit ϕ:U−→ Rn où U est un ouvert de Rn . On a ϕ = ( ϕ1, . . . , ϕn )où ϕi:U−→ R est de classe C1 . On appelle
déterminant jacobien de ϕen xet on note
Jϕ(x) = 
∂ϕ1(x)
∂x1··· ∂ϕ1(x) ∂xn
.
.
.....
.
.
∂ϕn(x)
∂x1··· ∂ϕn(x) ∂xn
Théorème 4.1 (admis)
Soit Uun ouvert de Rnet ϕ:U−→ Rnde classe C1. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) ϕ(U)est un ouvert de Rnet ϕest un C1-difféomorphisme de Usur ϕ(U)
(ii) ϕest injective et ∀x∈U,Jϕ(x)6= 0
Théorème 4.2
Soient Uet Vdes ouvert de Rnet ϕun C1-difféomorphisme de Usur V.
(a) Soit f:V−→ R+borélienne alors (f◦ϕ)|Jϕkest borélienne et RVfdλn=RU(f◦ϕ)|Jϕ|dλn.
(b) Soit f:V−→ R borélienne. Alors f∈L1 ( V, λn ) ⇐⇒ ( f◦ϕ ) |Jϕ| ∈ L1 ( U, λn ). Dans ce cas,
RVfdλn
=
RU(f◦ϕ)|Jϕ|dλn.
Démonstration :(a) f est borélienne, ϕ et |Jϕ| sont continues car ϕ est C1 . Alors ( f◦ϕ ) |Jϕk est borélienne. Supposons (a)
prouvé.
(b) On applique (a) à |f|=|f| ◦ ϕet on applique (a) à f+et f−.
Exemple 1
Soit ϕ: ]a, b[−→ ]c, d[C1et bijective telle que ϕ > 0sur ]a, b[. Alors |Jϕ(x)|=|ϕ0(x)|=ϕ0(x).
Z]a,b[
(f◦ϕ)ϕ0dλ=Zb
a
(f◦ϕ)(x)ϕ0(x) dx
=Z]c,d[ fdλ
=Zd
c
f(x) dx
Si ϕ0<0sur ]a, b[,R]a,b[−(f◦ϕ)ϕ0dλ=R]c,d[fdλi. e. Rb
a(f◦ϕ)(x)ϕ0(x) dx=Rd cf(x) dx.
Remarque
Soient ϕ: [a, b]−→ Rde classe C1,f:ϕ([a, b]) −→ Rcontinue et Fune primitive de f.
Zb
a
(f◦ϕ)(x)ϕ0(x) dx= [F◦ϕ]b
a
=F(ϕ(b)) −F(ϕ(a))
=Zϕ(b)
ϕ(a)
f(x) dx
Cette formule est encore vraie lorsque l’on n’a pas supposé que ϕ0ne s’annule pas.
fa une primitive et on a utilisé le lien intégrale-primitive en dimension 1.
– 5 –