Mesure produit Théorèmes de Fubini 1. Tribu produit

CHAPITRE 4
Mesure produit
Théorèmes de Fubini
1. Tribu produit
Définition
Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit de A et B la tribu engendrée par
{A × B / A ∈ A et B ∈ B}. On note A
⊗
B := σ{A × B / A ∈ A et B ∈ B}.
|{z}
« tenseur »
Exemple
On prend X = Y = [0, 1], A = {∅, [0, 1], [0, 12 [, [ 12 , 1]}. Alors A ⊗ A ) {A × B / A ∈ A et B ∈ A}. En effet,
[ 12 , 1] × [ 12 , 1] ∈ A ⊗ A \ {A × B / A ∈ A et B ∈ A}.
Proposition 1.1
X × Y −→ X
Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. On définit πX :
et
(x, y) 7−→ x
X × Y −→ Y
πY :
. Alors πX est (A ⊗ B, A)-mesurable et πY est (A ⊗ B, B)-mesurable.
(x, y) 7−→ y
Si T est une tribu sur X × Y telle que πX est (T , A)-mesurable et πY est (T , B)-mesurable, alors T ⊃ (A ⊗ B).
A ⊗ B est la plus petite tribu telle que πX et πY sont mesurables.
−1
Démonstration : Soit A ∈ A, on a πX
(A) = A × Y ∈ A ⊗ B et pour B ∈ B, on a πY−1 (B) = X × B ∈ A ⊗ B. Donc πX et πY
sont mesurables.
−1
Soit T une tribu sur X × Y comme dans l’énoncé, alors ∀A ∈ A, πX
(A) = A × Y ∈ T et ∀B ∈ B, πY−1 (B) = X × B ∈ T . Donc
(A × Y ) ∩ (X × B) = A × B ∈ T . Finalement, T ⊃ σ({A × B / A ∈ A et B ∈ B}) = A ⊗ B.
Proposition 1.2
(Z, C) −→
z
7−→
est (C, B)-mesurable.
Soient (X, A), (Y, B) et (Z, C) trois espaces mesurables. On considère f :
(X × Y, A ⊗ B)
. Alors
(fX (z), fY (z))
f est (C, A ⊗ B)-mesurable ⇐⇒ fX est (C, A)-mesurable et fY
Démonstration : ⇒ On a fX = πX ◦ f et fY = πY ◦ f .
fX et fY mesurables. Pour montrer que f est (C, A ⊗ B)-mesurable, il suffit de prouvert que ∀A ∈ A et
⇐ On suppose
−1
−1
−1
−1
∀B ∈ B, f (A × B) ∈ C. On sait que ∀A ∈ A, fX (A) ∈ C. On a aussi fX (A) = f (A × Y ) et d’autre part, ∀B ∈ B,
fY−1 (B) = f −1 (X × B)i nC. Donc f −1 (A × Y ) ∩ f −1 (X × B) = f −1 ((A × Y ) ∩ (X × B)) = f −1 (A × B) ∈ C.
Définition
Soient (X1 , A1 ), . . . , (Xn , An ) des espaces mesurables. On pose A1 ⊗ · · · ⊗ An = σ({A1 × · · · × An / Ai ∈
Ai pour 1 6 i 6 n}).
Proposition 1.3 – Associativité
Soient (X, A), (Y, B) et (S, C) trois espaces mesurables. On a A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C.
Démonstration : ∀(A, B, C) ∈ A×B ×C, on a A×B ×C ∈ A⊗(B ⊗C) car A ∈ A et B ×C ∈ B ⊗C. Donc A⊗B ⊗C ⊂ A⊗(B ⊗C).
Fixons A ∈ A. Notons TA = {Z ∈ B ⊗ C / A × Z ∈ A ⊗ B ⊗ C}. Montrons
que TA est une tribu. On
S a ∅ ∈ TA car
S
A×∅ =S
∅ ∈ A⊗B ⊗C. Soit (Zn )∞
⊂
T
.
Alors
∀n,
A×Z
∈
A⊗B
⊗C
d’où
(A×Z
)
∈
A⊗B
⊗C
alors
A×
Zn ∈ A⊗B ⊗C
A
n
n
n=0
et donc Zn ∈ TA . Si Z ∈ TA alors A × Z ∈ A ⊗ B ⊗ C et alors (X × Y × S) \ (A × Z) = ((X \ A) × Y × S) ∪(A × ((Y × S) \ Z)).
|
{z
∈A⊗B⊗C
}
|
{z
∈A⊗B⊗C
}
Donc A × ((Y × S) \ Z) = ((X × Y × S) \ (A × Z)) \ ((X \ A) × Y × S) ∈ A ⊗ B ⊗ C.
Donc ∀B ∈ B et ∀C ∈ C, A × B × C ∈ A ⊗ B ⊗ C et B × C ∈ TA . Donc TA ⊃ σ({B × C / B ∈ B et C ∈ C}) = B ⊗ C.
On a montré ∀A ∈ A, ∀Z ∈ B ⊗ C, A × Z ∈ A ⊗ B ⊗ C. Et donc σ({A × Z / A ∈ A et Z ∈ B ⊗ C}) ⊂ A ⊗ B ⊗ C, c’est-à-dire
A ⊗ (B ⊗ C) ⊂ A ⊗ B ⊗ C.
–1–
Corollaire 1.4
Soient (X1 , A1 ), . . . , (Xn , An ) des espaces mesurables tels que ∀i 6 n, Ai = σ(Fi ). On suppose que ∀i, Xi ∈ Fi .
Alors Ai ⊗ · · · ⊗ An = σ({F1 × · · · × Fn / Fi ∈ Fi }).
Démonstration : Par récurrence, pour n = 2, on a σ({F1 × F2 / F1 ∈ F1 et F2 ∈ F2 }) ⊂ σ({A1 × A2 / Ai ∈ Ai }) = A1 ⊗ A2 .
0
On pose A01 = {A1 ⊂ X1 / A1 × X2 ∈ σ(F)} où F = {F1 × F2 / F
S2 }. A1 est une tribu. En effetS∅ × X1 ∈0 σ(F).
S1 ∈ F1 et F2 ∈ F
0
Supposons que (An )∞
.
Alors
∀n,
A
×
X
∈
σ(F)
d’où
(A
×
X
)
=
⊂
A
A
An ∈ A1 . Soit
n
2
n
2
n × X2 ∈ σ(F) et donc
n=0
1
A1 ∈ A01 alors A1 × X2 ∈ σ(F) d’où (X1 × X2 ) \ (A1 × X2 ) = (X1 \ A1 ) × X2 . Donc (X1 \ A1 ) × X2 ∈ σ(F) et X1 \ A1 ∈ A01 .
Par ailleurs, ∀F1 ∈ F1 , F1 × X2 ∈ σ(F) =⇒ F1 ∈ A01 . Donc σ(F1 ) = A1 ⊂ A01 . Alors ∀A1 ∈ A1 , A1 × X2 ∈ σ(F) et de même,
∀A2 ∈ A2 , X1 × A2 ∈ σ(F). Donc (A1 × X2 ) ∩ (X1 × A2 ) = A1 × A2 ∈ σ(F). D’où A1 ⊗ A2 ⊂ σ(F).
A1 ⊗ · · · ⊗ An ⊗ An+1 = A1 ⊗ (A2 ⊗ · · · ⊗ An+1 )
= σ(F) ⊗ σ({F2 × · · · × Fn+1 / Fi ∈ Fi })
= σ({F1 ⊗ F2 × · · · × Fn+1 / Fi ∈ Fi })
1.1. Exemple fondamental – La tribu borélienne sur Rd
B(Rd ) est la tribu engendrée par les ouverts de Rd .
Théorème 1.5
B(Rd ) = B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R)
Démonstration : Notons I l’ensemble des intervalles ouverts de R et Od l’ensemble des ouverts de Rd . On sait que B(R) = σ(I)
et R ⊂ I. Donc B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R) = σ({I1 × · · · × Id / Ik ∈ I}). Comme I1 , . . . , Id ∈ I alors I1 × · · · × Id ∈ Od donc
B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R) ⊂ B(Rd ).
Soit O ∈ Od . On pose R =
d
Q
]ak , bk [ / ak < bk et ak ∈ Q, bk ∈ Q . R est dénombrable et ∀x ∈ O, ∃δ > 0 tel que
k=1
d
Q
]xi − δ, xi + δ[ ⊂ O. Alors ∀k, ∃ak , bk ∈ Q tels que xi − δ < ak < xi < bk < xi + δ. D’où ∀x ∈ O, ∃R ∈ R tel que R ⊂ O et
k=1
x ∈ R. Finalement, O =
S
R. Donc ∀O ∈ Od , O ∈ B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R) et ainsi, B(Rd ) ⊂ B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R).
R∈R
R⊂O
{z
|
d fois
}
Proposition 1.6
Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. Soit C ∈ A ⊗ B. Alors ∀x ∈ X, Cx = {y ∈ Y / (x, y) ∈ C} ∈ B
et ∀y ∈ Y , Cy = {x ∈ X / (x, y) ∈ C} ∈ A.
Démonstration : Soit x ∈ X. On pose Tx = {C ∈ A ⊗ B / Cx ∈ B}. Tx est une tribu. Soit A ∈ A et B ∈ B. On pose
C = A × B. Alors Cx = B si x ∈ A et Cx = ∅ si x ∈
/ A. Dans tous les cas, Cx ∈ B. Comme Tx est une tribu, alors
Tx ⊃ σ({A × B / A ∈ A et B ∈ B}) = A ⊗ B.
Corollaire 1.7
Soit f : (X × Y, A ⊗ B) −→ (R, B((R)) mesurable. Alors ∀x ∈ X, fx :
(X, A) −→ (R, B(R))
y
et ∀y ∈ Y , f :
est mesurable.
x
7−→
f (x, y)
(Y, B) −→
y
7−→
(R, B((R))
est mesureabe
f (x, y)
Démonstration : Soit C ∈ A ⊗ B. On pose f = 1C et fx = 1Cx . Comme Cx ∈ A, alors fx est mesurable. f : X × Y −→ R est
étagée donc on peut écrire f =
n
P
αi 1Ci et donc fx =
P
αi 1(Ci )x est donc mesurable.
i=1
Soit f mesurable, alors ∃(fn ) étagées telles que fn −−−−→ f simplement. ET donc (fn )x −−−−→ fx simplement. Donc fx est
n→∞
n→∞
mesurable.
2. Mesures produit de mesures σ-finies
Définition
Une mesure µ sur (X, A) un espace mesurable est dite σ-finie s’il existe une suite (croissante) d’ensembles En ∈ A
∞
S
tels que X =
En et ∀n ∈ N, µ(En ) < +∞.
n=
–2–
Exemple
On prend (X, A) = (R, B(R)) et λ la mesure de Lebesgue.
∞
S
En = [−n, n] et R =
En et λ(En ) = 2n donc λ est σ-finie.
n=0
Soit Γ non dénombrable, on prend X = P(Γ) et µ la mesure de décompte.
Théorème 2.1
Soient (X, A, µ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés σ-finis. Alors il existe une unique mesure m sur (X × Y, A ⊗ B)
telle que ∀A ∈ A et ∀B ∈ B, m(A × B) = µ(A)ν(B). Cette mesure est σ-finie et elle est notée m = µ ⊗ ν.
On a les propriétés suivantes :
• ∀C ∈ A ⊗ B, x 7−→ ν(CRx ) est A-mesurable
R et y 7−→ µ(Cy ) est B-mesurable
• m(C) = (µ ⊗ ν)(C) = X ν(Cx ) dµ(x) = Y µ(C y ) dν(y)
Démonstration : Admis.
Proposition 2.2
Le Théorème 2.1 s’étend aux produits finis de mesures σ-finies. Soient (Xi , Ai , µi ) des espaces mesurés σ-finis
n
Q
avec 1 6 i 6 n. Alors µi ⊗ · · · ⊗ µn est caractérisé par (µ1 ⊗ · · · ⊗ µn )(A1 × · · · × An ) =
µi (Ai ) avec Ai ∈ Ai .
i=1
Exemple
On appelle mesure de Lebesgue sur (Rd , B(Rd )) λd := λ ⊗ · · · ⊗ λ.
| {z }
d fois
3. Théorèmes de Fubini
Théorème 3.1 – Théorème de Fubini-Tonelli
Soit f : (X × Y, A ⊗ B) −→ (R+ , B(R+ )) positive et mesurable. Soient µ et ν des mesures σ-finies sur A et B
respectivement.
(Y, B) −→ R
(X, A) −→ R
R
R
et
sont mesurables
(a)
x
7−→ Y f (x, y) dν(y)
y
7−→ X f (x, y) dµ(x)
(b)
Z
Z Z
Z Z
f (x, y) d(µ ⊗ ν) =
f (x, y) dν(y) dµ(x) =
f (x, y) dµ(x) dν(y)
(?)
X×Y
X
Y
Y
X
R
Démonstration : (a) On sait que fx : y 7−→ f (x, y) est mesurable et positive, donc Y f (x, y) dν(y) a un sens.
R
R
Si f = 1C avec C ∈ A ⊗ B, Y f (x, y) dν(y) = Y 1C (x, y) dν(y) = ν(Cx ). On a admis que x 7−→ ν(Cx ) est mesurable.
Si f =
n
P
α1 1Ci avec αi > 0, x 7−→
i=1
n
P
αi ν(Ci )x est mesurable.
i=1
Soit
R f mesurable et positive,
R alors ∃(fn ) étagées positives telles que fn converge simplement en croissant vers f et alors ∀x,
f
(x,
y)
dν(y)
−
−
−
−
→
f (x, y) dν(y) d’après le théorème de convergence monotone.
n
Y
Y
n→∞
R
x 7−→ Y f (x, y) dν(y) est donc A-mesurable.
(b) Toutes les intégrales impliquées ont un sens.
R
R
Si f = 1C avec C ∈ A ⊗ B, le Théorème 2.1 entraîne que (µ ⊗ ν)(C) = X ν(Cx ) dµ(x) = Y µ(C y ) dν(y) i. e.
Z
Y
1C d(µ ⊗ ν) =
Z Z
X
1C (x, y) dν(y) dµ(x) =
Y
Z Z
Y
1C (x, y) dµ(x) dν(y)
X
Comme (?) est vraie pour les fonctions indicatrices, alors (?) est vraie pour les fonctions étagées positives. Donc (?) est
vraie pour les fonctions mesurables et par approximation croissante par des fonctions étagées positives et par le théorème de
convergence monotone.
–3–
Théorème 3.2 – Théorème de Fubini
Soit f : (X × Y, A ⊗ B) −→ (R, B(R)) mesurable. Si de plus, f ∈ L1R (µ ⊗ ν), alors
(i) x-presque partout, fx : y 7−→ f (x, y) ∈ L1 (ν)
(ii) y-presque partout, fy : x 7−→ f (x, y) ∈ L1 (µ)
R
(iii) La fonction définie x-presque partout par x 7−→ R Y f (x, y) dν(y) ∈ L1 (µ)
(iv) RLa fonction définie y-presque
∈ L1 (ν) → X f (x,Ry) dµ(x)
R R partout par y 7−
R
(v) X×Y f (x, y) d(µ ⊗ ν) = X Y f (x, y) dν(y) dµ(x) = Y X f (x, y) dµ(x) dν(y).
R
R
Démonstration : (i) et (ii) Par hypothèse, X×Y f + d(µ ⊗ ν) < +∞ et X×Y f − d(µ ⊗ ν) < +∞. On applique Fubini-Tonelli à
R
R
R
R
f + et alors X×Y f + d(µ ⊗ ν) = X Y f + dν(y) dµ(x) < +∞. Donc x-presque partout, Y f + (x, y) dν(y) < +∞. Il en est
R
de même pour f − . Donc x-presque partout, Y |f |(x, y) dν(y) < +∞.
R
R R
R
R R
(iii) et (iv) On applique Fubini-Tonelli, X×Y f + d(µ⊗ν) = X Y f + dν(y) dµ(x)+∞ et X×Y f + d(µ⊗ν) = Y X f + dµ(x) dν(y)+
R +
R
1
+
1
−
∞. Donc x 7−→
Y
f (x, y) dν(y) ∈ L (µ) et y 7−→
(v) On applique Fubini-Tonelli à f
+
et f
−
y
f (x, y) dµ(x) ∈ L (ν). Il en est de même pour f , d’où (iv) .
et on fait la différence.
Comment les appliquer ?
1
1. On applique Fubini-Tonelli à |f | pour
R montrer que f ∈ L (µ ⊗ ν) (on choisit entre
2. On applique Fubini pour calculer X×Y f d(µ ⊗ ν).
R R
X
Y
et
R R
Y
X
).
Exemple
R +∞ sin x −t
Calcul de F (t) = 0
dx pour t > 0.
x e
R1
sin x
On a x = 0 cos(xy) dypour x > 0. Soit f (x, y) = cos(x, y)e−tx avec (x, y) ∈ [0, +∞[ × [0, 1]. On a alors
R +∞ R 1
R +∞ R 1
R +∞
F (t) = 0
f (x, y) dy dx. On a |f (x, y)| 6 e−tx , d’où 0
|f (x, y)| dy dx 6 0 e−tx dx = 1t < ∞.
0
0
Donc f ∈ L1 (]0, +∞[, [0, 1]), d’après le théorème de Fubini-Tonelli. On peut donc appliquer le théorème de
Fubini, ainsi
Z ∞ Z 1
f (x, y) dy dx
F (t) =
0
Z
1
0
∞
Z
cos(xy)e−tx dx
=
0
Z
dy
0
1
Z
∞
Re
=
(iy−t)x
e
0
dx
dy
0
+∞
e(iy−t)x
dy
iy − t 0
0
Z 1
1
=
Re
dy
t − iy
0
Z 1
t
=
dy
2
2
0 t +y
Z 1
dy
1
=
y2 t
0 1 + t2
Z 1t
1
d
=
2 u
1
+
u
0
1
= Arctan
t
π
= − Arctan t
2
Z
=
1
Re
4. Théorème de changement de variables
Définition
Soient U et V deux ouverts de Rn . Une application ϕ : U −→ V est un C 1 -difféomorphisme de U sur V si ϕ est
une bijection de U sur V telle que ϕ et ϕ−1 sont de classe C 1 .
–4–
Rappel
Soit ϕ : U −→ Rn où U est un ouvert de Rp . Alors ϕ est de classe C 1 ⇐⇒ ∀x ∈ U, ∀i ∈ {1, . . . , p},
est continue sur U.
∂ϕ
∂xi
existe et
Exemple
ϕ : ]a, b[ −→ ]c, d[ est un C 1 -difféomorphisme ⇐⇒ ϕ est C 1 , surjective et ϕ0 ne s’annule pas (ϕ0 > 0 sur ]a, b[ ou
ϕ0 < 0 sur ]a, b[).
Définition
Soit ϕ : U −→ Rn où U est un ouvert de Rn . On a ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) où ϕi : U −→ R est de classe C 1 . On appelle
déterminant jacobien de ϕ en x et on note
∂ϕ1 (x) · · · ∂ϕ1 (x) ∂x1
∂xn .. ..
Jϕ (x) = ...
.
. ∂ϕn (x)
∂ϕn (x) ∂x
···
∂xn
1
Théorème 4.1 (admis)
Soit U un ouvert de Rn et ϕ : U −→ Rn de classe C 1 . Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) ϕ(U) est un ouvert de Rn et ϕ est un C 1 -difféomorphisme de U sur ϕ(U)
(ii) ϕ est injective et ∀x ∈ U, Jϕ (x) 6= 0
Théorème 4.2
Soient U et V des ouvert de Rn et ϕ un C 1 -difféomorphisme de U sur V.
R
R
(a) Soit f : V −→ R+ borélienne alors (f ◦ ϕ)|Jϕ k est borélienne et V f dλn = U (f ◦ ϕ)|Jϕ | dλn . R
(b)R Soit f : V −→ R borélienne. Alors f ∈ L1 (V, λn ) ⇐⇒ (f ◦ ϕ)|Jϕ | ∈ L1 (U, λn ). Dans ce cas, V f dλn =
(f ◦ ϕ)|Jϕ | dλn .
U
Démonstration : (a) f est borélienne, ϕ et |Jϕ | sont continues car ϕ est C 1 . Alors (f ◦ ϕ)|Jϕ k est borélienne. Supposons (a)
prouvé.
(b) On applique (a) à |f | = |f | ◦ ϕ et on applique (a) à f + et f − .
Exemple 1
Soit ϕ : ]a, b[ −→ ]c, d[ C 1 et bijective telle que ϕ > 0 sur ]a, b[. Alors |Jϕ (x)| = |ϕ0 (x)| = ϕ0 (x).
Z
(f ◦ ϕ)ϕ0 dλ =
b
Z
(f ◦ ϕ)(x)ϕ0 (x) dx
a
]a,b[
Z
f dλ
=
]c,d[
d
Z
f (x) dx
=
c
Si ϕ0 < 0 sur ]a, b[,
R
]a,b[
−(f ◦ ϕ)ϕ0 dλ =
R
]c,d[
f dλ i. e.
Rb
a
(f ◦ ϕ)(x)ϕ0 (x) dx =
Rd
c
f (x) dx.
Remarque
Soient ϕ : [a, b] −→ R de classe C 1 , f : ϕ([a, b]) −→ R continue et F une primitive de f .
Z
b
(f ◦ ϕ)(x)ϕ0 (x) dx = [F ◦ ϕ]ba
a
= F (ϕ(b)) − F (ϕ(a))
Z ϕ(b)
=
f (x) dx
ϕ(a)
Cette formule est encore vraie lorsque l’on n’a pas supposé que ϕ0 ne s’annule pas.
f a une primitive et on a utilisé le lien intégrale-primitive en dimension 1.
–5–
Exemple 2
Soit U = {(r, θ) / r > 0 et θ ∈ ]−π, π[} et V = R2 \ {(x, y) / y = 0 et x 6 0}. Soit ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) =
cos θ −r sin θ
= r cos2 θ + r sin2 θ = r > 0. De plus, ϕ
r(cos θ, sin θ). ϕ est clairement C 1 et on a Jϕ = sin θ r cos θ est injective car ϕ(U) = V. Donc ϕ est un C 1 -difféomorphisme de U sur V d’après le Théorème 4.1. Soit
f ∈ L1 (V, λ2 ).
Z
Z
f dλ2 = (f ◦ ϕ)kJϕ | dλ2
V
ZUZ
=
f (r cos θ, r sin θ)r dλ2 (r, θ)
]0,+∞[×]−π,π[
+∞ Z π
Z
f (r cos θ, r sin θ)r dθ
=
0
π
Z
Z
−π
+∞
dr
f (r cos θ, r sin θ)r dr
=
−π
dθ
0
Si f : V −→ R est borélienne, f ∈ L1 (V)
R π R +∞
f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ < +∞.
−π
0
R +∞ R π
⇐⇒
−π
0
f (r cos θ, r sin θ)r dθ dr < +∞
⇐⇒
Exemple 3
R
2
Calculons R e−x dx. On sait que x
R
R +∞ −y2
+∞ −x2
e
dx
e
dy
< +∞.
0
0
Z
+∞
−x2
e
2
dx
+∞
Z
=
0
Z
0
+∞
−x2
e
Z
dx
0
+∞
e−(x
=
Z0Z
+∞
Z
2
+y 2 )
e−x
7−→
2
∈
L1 ([0, +∞[). On a
R
+∞ −x2
e
0
dx
2
=
−y 2
e
dy
dy dx
0
e−(x
=
2
+y 2 )
dx dy
(Fubuni-Tonelli)
]0,+∞[×]0,+∞[
ZZ
2
e−r r dr dθ
=
(théorème de changement de variable pour les fonctions positives)
]0,+∞[×]0, π
2[
Z
+∞
=
−r 2
e
Z
r
dθ
0
=
π
2
!
π
2
dr
0
Z
+∞
2
e−r r dr
0
+∞
π
1 −r2
=
− e
2
2
0
π
=
4
2
R +∞
2
dx = π4 et alors 0 e−x dx =
R
2
+∞
Donc 0 e−x
R +∞ −x2
√
e
dx = π.
−∞
√
–6–
π
2
(car la fonction est positive). Et enfin, par parité,