INFZ21, Logiques du raisonnement valide

INFZ21, Logiques du raisonnement valide
AUDIBERT Laurent 1
4 mai 2004
1. DELIC - Université de Provence - 29 Avenue Robert SCHUMAN - 13621 Aix-en-Provence
Cedex 1 - laurent.audib[email protected]

1
Le but de la logique est de calculer des conclusions sûres. Le langage naturel s’avère
trop imprécis et riche pour permettre des développements simples et rigoureux.
La logique est un outil pour parler et raisonner dans un domaine déterminé. Différents
domaines ont différentes logiques. C’est un problème à la fois philosophique et mathéma-
tique que de savoir si une logique donnée est adéquate pour un domaine particulier.
Les logiques classiques (la logique des propositions et la logique des prédicats) ont été
créées pour raisonner sur des objets mathématiques. Comme ces objets sont conceptuelle-
ment assez simple, ces logiques le sont aussi. Tout comme en mathématiques, les systèmes
déductifs de la logique classique se limitent à la formalisation du raisonnement valide.
Un système formel de déduction de la logique classique est composé d’un ensemble de
schémas d’axiomes et de règles d’inférence. Un tel système permet d’inférer des conclusions
à partir de prémisses et définit donc une relation de déduction entre formules, notée ⊢.
Cette relation possède les propriétés suivantes :
–propriété de réflexivité :{p1, . . . ,pn,q} ⊢ q;
–propriété de monotonie : si {p1, . . . ,pn} ⊢ qalors {p1, . . . ,pn,r} ⊢ q;
–propriété de transitivité : si {p1,...,pn} ⊢ ret {p1,...,pn,r} ⊢ qalors {p1,...,pn} ⊢ q
.
Dans les expressions ci-dessus, p1, . . . ,pn,q et rdésignent des formules du langage lo-
gique considéré. Ces propriétés fondamentales traduisent formellement certaines exigences
du raisonnement valide :
– Inférer une conclusion identique à l’une des prémisses est une opération valide ;
– Un résultat acquis n’est pas remis en cause par des résultats ultérieurs ;
– Des résultats intermédiaires peuvent être utilisés pour établir la validité d’une
conclusion.

TABLE DES MATIÈRES 2
Table des matières
1 Logique des propositions 4
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Langage de la logique des propositions : (ie. syntaxe) . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Travaux dirigés (la syntaxe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Théorie des modèles (ie. sémantique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Validité et consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Équivalence des formules bien formées . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Travaux dirigés (validité, consistance, formules équivalentes) . . . . 12
1.3.6 Travaux pratiques : tables de vérité sous Excel . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Calcul propositionnel et résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Principe de déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Travaux dirigés (algorithmes de Quine et de réduction) . . . . . . . 16
1.4.3 Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 Travaux dirigés (normalisation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.5 Principe de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.6 Travaux dirigés (principe de résolution I) . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.7 Principe de résolution adapté aux clauses de Horn . . . . . . . . . . 21
1.4.8 Travaux dirigés (principe de résolution II) . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Logique des prédicats 24
2.1 Langage de la logique des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Définition d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Travaux dirigés (formules bien formées) . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Variables liées, variables libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Travaux dirigés (variables liées ou libres) . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.6 Clôture d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Théorie des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Validité et consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Table de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5 Travaux dirigés (théorie des modèles) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

TABLE DES MATIÈRES 3
2.2.6 Traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.7 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Équivalence des formules bien formées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Formules équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Formes prénexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Travaux dirigés (Logique des prédicats) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Traduction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Traduction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Forme prénexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Programmation logique : prolog 36
3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Premier programme (swi-prolog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Travaux pratiques (Arbre généalogique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Travaux pratiques (Règles syntaxiques en prolog) . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1 Micro grammaire en prolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.2 Problème de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.3 Décomposition syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.4 Accords en genre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Annexe 43
A Correction des travaux dirigés : logique des propositions 44
A.1 Travaux dirigés 1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2 Travaux dirigés 1.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.3 Travaux dirigés 1.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.4 Travaux dirigés 1.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.5 Travaux dirigés 1.4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.6 Travaux dirigés 1.4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliographie 54

CHAPITRE 1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS 4
Chapitre 1
Logique des propositions
1.1 Introduction
Le but initial de la logique est de formaliser certaines relations qui peuvent apparaître
de bon sens. Si je dis la phrase p: « il fait beau et je suis en vacances », cette phrase
sera vraie si les deux propositions q: « il fait beau » et r: « je suis en vacances » sont
vraies toutes les deux. Si l’une des deux est fausse, alors la phrase psera fausse. Nous
utilisons donc une interprétation intuitive du connecteur et qui nous permet de déterminer
la valeur de vérité d’une phrase contenant deux sous-propositions reliées par et si nous
connaissons la valeur de vérité de chacune des propositions. De même, nous utilisons un
mécanisme semblable pour des phrases contenant les connecteurs ou,donc, . . . , c’est le
principe de compositionalité.
Logique des propositions
Le but du calcul propositionnel est de donner un fondement formel à un ensemble
restreint d’énoncés du langage. Nous utiliserons comme élément de base des propositions
élémentaires (i.e. des énoncés déclaratifs) : « il fait beau », « je suis en vacances », etc.
Ces propositions élémentaires seront soit vraies, soit fausses (principe du tiers-exclu). Pour
former des phrases, à partir de ces propositions élémentaires, nous n’utiliserons que quatre
connecteurs, et,ou,donc,équivalent à, ainsi que la négation (si la phrase « il fait beau »
est vraie, alors « il ne fait pas beau » est fausse).
Pas de convention : divergence des interprétations
Plaçons-nous dans le contexte suivant : « Il aime les fraises et la chantilly ».
Dites si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
1. « Il aime les fraises et il aime la chantilly ».
2. « Il aime les fraises et il n’aime pas la chantilly ».
3. « Il aime les fraises ou il aime la chantilly ».
4. « Il aime les fraises ou il n’aime pas la chantilly ».
5. « Il aime les fraises donc il aime la chantilly ».
6. « Il aime les fraises donc il n’aime pas la chantilly ».
7. « Il n’aime pas les fraises donc il aime la chantilly ».