4. Logique des propositions

1!
4. Logique des propositions!
2!
Justification!
• La logique sert de fondement aux mathématiques car elle modélise !
!le raisonnement.!
• Une partie de l’informatique scientifique vise à l’automatisation!
!du raisonnement et se fonde à ce titre sur la logique.!
• La logique a ainsi des applications directes dans les domaines!
!informatiques suivants :!
• conception de circuits électroniques!
• preuves de programme!
• sémantique des langages de programmation!
• théorie des types, inférence!
• modélisation des problèmes!
• systèmes experts!
• démonstration automatique!
• programmation logique (langage Prolog)!
• intelligence artificielle!
• bases de données!
• réseaux booléens!
• ...!
3!
Algèbre de Boole!
Une algèbre de Boole est la donnée :!
• d’un ensemble E!
• de 2 éléments distincts ⊥ et dans E!
• de 2 opérations binaires . et +!
• d’une opération unaire !
tels que chacune des opérations . et + est :!
• idempotente!
• associative!
• commutative!
• distributive par rapport à l’autre mathématicien et!
logicien britannique!
et que pour tout x et tout y de E : (1815-1864)!
! ! !!!!!!
• x . = x (éléments neutres)!
!x + ⊥ = x!
• x . ⊥ = ⊥ (éléments absorbants)!
!x + = !
• x . x = ⊥ (complémentaire)!
!x + x = !
• x . ( x + y ) = x = ( y . x ) + x (absorption) !
Exemple Les parties d’un ensemble fini avec l’intersection et l’union.!
⊥!
⊥!
⊥!
⊥!
⊥!
4!
L’algèbre de Boole I!
• l’ensemble {0,1} muni des opérations suivantes est une!
!algèbre de Boole :!
• une addition (non usuelle)!
• la multiplication!
• on la note!
• l’opération unaire est appelée la complémentation!
• ⊥ est 0 et est 1!
• une variable à valeur dans est dite booléenne. !
.!0!1!
0!0!0!
1!0!1!
x!x!
0!1!
1!0!
+!0!1!
0!0!1!
1!1!1!
B!
B!I!
⊥!
B!I!

5!
Fonctions booléennes à 2 variables!
x !y!0!∧!
and!→!x!←!y!↔!
xor!
∨!
or!nor!↔!¬y!←!¬x!→!nand!1!
0!0!0!0!0!0!0!0!0!0!1!1!1!1!1!1!1!1!
0!1!0!0!0!0!1!1!1!1!0!0!0!0!1!1!1!1!
1 !0!0!0!1!1!0!0!1!1!0!0!1!1!0!0!1!1!
1!1!0!1!0!1!0!1!0!1!0!1!0!1!0!1!0!1!
• ensemble des fonctions de {0,1}2 dans {0,1}!
• opérateurs logiques principaux :!
! !la conjonction notée ∧!
!! !la disjonction notée ∨!
!! !la négation ¬ (fonction unaire) !
• ce sont le produit, l’addition et le complémentaire de l’algèbre de Boole!
• et aussi les AND, OR et NOT ou même les &&, || et ! informatiques. !
B!I!
6!
Qu’est-ce que la logique ?!
• La logique sert à étudier le raisonnement. On y fait la distinction!
!entre :!
• les symboles!
• la manipulation formelle de symboles : la syntaxe !
• la signification : la sémantique. !
• On crée des modèles logiques à partir :!
• de langages de symboles!
• d’ensembles de règles syntaxiques.!
Exemples!
• un programme est une suite de symboles ; un langage de programmation est un!
!ensemble de règles pour agencer ces symboles. Un programme se plie ainsi à!
!une syntaxe. Ensuite, on lui applique une sémantique afin d’interpréter ce!
!qu’il fait.!
• du point de vue symbolique, 3+4 est un mot de 3 caractères ; du point de vue!
!syntaxique, 3+4 est une expression arithmétique. Sémantiquement, on y voit!
!une addition entre les entiers 3 et 4 qui pourra être ensuite évaluée à 7.!
7!
Calcul propositionnel : syntaxe!
• On parle indifféremment de logique booléenne, de logique des propositions :!
!c’est la plus simple des logiques, appelée la logique d’ordre 0. !
!Dans cette logique, les formules sont appelées des propositions.!
• On définit le calcul propositionnel comme on définit le calcul arithmétique.!
• Les formules sont construites à l’aide de variables issues d’un ensemble V!
!dénombrable et des symboles {, , ¬, ∨, ∧, (, ), →,↔}.'
•  est l’absurde,  est son contraire : ce qui est toujours vrai.'
• Définition inductive de l’ensemble des formules F :!
(B) tout élément de V ∪{, } est une formule de F!
(I) si A ∈ F alors !
¬ A ∈ F
si A, B ∈ F alors !
( A ∧ B ) ∈ F
( A ∨ B ) ∈ F
( A → B ) ∈ F
( A ↔ B ) ∈ F
8!
Calcul propositionnel : sémantique!
• Soit F une formule et I une application de l’ensemble V dans .!
!On identifie les constantes booléennes 0 et 1 respectivement à Faux !
! et à Vrai . I est alors appelée une interprétation.!
• La valeur de vérité de F est notée I(F) et ainsi définie :!
(B) si F =  : I(F) = 1!
si F =  : I(F) = 0 !
!!!si F = v ∈ V : I(F) = I(v) ∈!
(I) si F = ¬F’ : I(F) = I(F’)'
!!!si F = F’ ∧ F" : !I(F) = I(F’) . I(F")!
!!!si F = F’ ∨ F" : !I(F) = I(F’) + I(F") '
!!!si F = F’ → F", !I(F) = I(F’) + I(F") '
!!!si F = F’ ↔ F", !I(F) = ( I(F’) + I(F") ) . ( I(F") + I(F’) )'
B!I!
B!I!

9!
Vocabulaire!
• Une formule est F est valide si, pour toute interprétation I :!
I(F) = 1!
! on dit que F est une tautologie'
• Une formule F est satisfiable si il existe une interprétation I telle que :!
I(F) = 1 '
! on dit que I satisfait F et on le note : I F!
• Une formule F est insatisfiable si, pour toute interprétation I on a :!
I(F) = 0!
! !!
! on dit que F est une antilogie.!
• Une interprétation qui rend vrai un ensemble de formules est un modèle.!
10!
Satisfiabilité!
Théorème Le problème de la satisfiabilité en logique des!
! ! !propositions est décidable.!
• Autrement dit, il existe un algorithme qui prend en entrée une!
!formule donnée F et qui renvoie en sortie 0 ou 1 selon que la!
!formule est satisfiable ou pas.!
• Cet algorithme n’est pas efficace. Il consiste en l’énumération!
!exhaustive de toutes interprétations de F i.e. de toutes les valeurs!
!de vérité possibles pour les variables.!
• D’autres algorithmes qui ne se fondent plus sur l’interprétation!
!(donc purement syntaxiques) pourraient être plus efficaces. C’est!
!l’idée de la déduction naturelle, une manière de produire!
!automatiquement des formules valides.!
11!
Equivalence!
• Soient F et F’ deux formules, F et F’ sont équivalentes et on note!
F ≡ F’!
!si et seulement si, pour toute interprétation I, on a :!
I (F) = I (F’)'
!Exemple une loi ou identité logique De Morgan* :!
¬ ( p ∨ q) ≡ ( ¬p ) ∧ (¬q )'
il y a 4 possibilités pour le couple ( p,q).'
pour toutes les possibilités, les deux formules ont la même valeur!
!de vérité. Elles sont donc équivalentes.!
* mathématicien et logicien britannique (1806-1871)!
12!
Quelques «"identités remarquables"»!
!Prenons 2 variables booléennes p et q. !
!Voici quelques équivalences purement syntaxiques :!
!Elimination des flèches :!
p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p )'
p → q ≡ ¬ p ∨ q '
!Au sujet de la négation :'
¬ ( ¬ p) ≡ p!
¬ ( p ∨ q) ≡ ( ¬p ) ∧ (¬q )'
¬ ( p ∧ q) ≡ ( ¬p ) ∨ (¬q )'

13!
Quelques «"identités remarquables"» (suite)!
!Prenons 3 variables booléennes p, q et r.!
Au sujet de la disjonction :!
p ∨ q ≡ q ∨ p'
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r!
p ∨  ≡ p'
p ∨  ≡ '
Au sujet de la conjonction :'
p ∧ q ≡ q ∧ p'
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r'
p ∧  ≡  '
p ∧  ≡ p'
Distributivité de l’une par rapport à l’autre :'
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) !
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) !
14!
Des équivalences célèbres!
!Les équivalences logiques sont à la base des techniques de!
!démonstration.!
!L’implication et sa contraposée :!
!( p → q ) ≡ ( (¬q) → (¬p) )'
en effet : ( p → q ) ≡ (¬ p ∨ q ) ≡ q ∨ ( ¬ p ) ≡ ( ¬ q ) → ( ¬ p )
!Deux raisonnements par l’absurde :!
( ( ¬ p) →  ) ≡ p'
!en effet : ( ¬ p) →  ≡ ( (¬( ¬ p ) ) ∨  ) ≡ p ∨  ≡ p!
( ( p ∧ (¬q ) ) →  ) ≡ ( p → q ) '
!en effet : ( p ∧ (¬q ) ) →  ≡ ( ¬ ( p ∧ (¬q ) ) ∨  ≡ (¬ p ) ∨ q ∨  '
' ' ' '' ≡ (¬ p ) ∨ q !
≡ ( p → q ) '
l’absurde!
15!
Table de vérité!
x !y!y → x!x ∨ ( y → x)!¬(x ∨ ( y → x))!¬(x ∨ ( y → x)) ∧ y!
0!0!1!1!0!0!
0!1!0!0!1!1!
1 !0!1!1!0!0!
1!1!1!1!0!0!
!Pour connaître la valeur de vérité d’une formule, on calcule de!
!proche en proche la valeur de vérité des sous-formules qui la!
!composent :!
16!
Diagrammes de Quine* !
¬(x ∨ ( y → x)) ∧ y!
y=0!y=1!
¬(x ∨ ( 0 → x)) ∧ 0!¬(x ∨ ( 1 → x))!
¬x ∧ ¬(x)!
¬x!
x=0!x=1!
¬0!¬1!
0!1!0!
¬(x ∨ ( y → x))!∧ y!
x=0!x=1!
¬(0 ∨ ( y → 0))!∧ y!¬(1 ∨ ( y!→ 1)) ∧ y!
¬( y → 0)!∧ y!¬(1)!∧ y!
y=0!y=1!0 !∧ y!
¬( y → 0) ∧ 0!¬( 1 → 0) ∧ 1!y=0!y=1!
¬(0)!
0! 1!0!0!
!On effectue les calculs pour les 2 possibilités de chaque variable. On simplifie les!
!calculs au fur et à mesure que des valeurs de variables sont fixées.!
!L’ordre dans lequel on procède n’importe pas :!
* logicien américain, né en 1908.!

17!
Conséquence!
• Un ensemble de formules {F1, F2, …, Fn} satisfait F et on note!
{F1, F2, …, Fn} F!
!si, pour toute interprétation I, on a :!
! ( ∀i, I(Fi) = 1 ) ⇒ I(F) = 1
• On dit alors que F est une conséquence des {F1, F2, …, Fn}.!
!Théorème!
{ F1, F2,..., Fn } F!
ssi !
( F1 ∧ F2 ∧ … ∧ Fn ) → F est une tautologie.!
!Exercice : la démonstration se fait par simple récurrence sur n.!
18!
Modus ponens!
Est-ce que {p → q , p} q ?!
• on cherche à montrer si, pour toute interprétation I, on a :!
! ( ( ( p → q ) ∧ p ) → q ) ≡ '
• on pourrait faire la table de vérité ...!
!on procède ici par identités remarquables :'
'( ( ( p → q ) ∧ p ) → q ) ≡ ¬ ( ( p → q ) ∧ p ) ∨ q!
!! ! !! ≡ ¬ ( (¬ p ∨ q ) ∧ p ) ∨ q !
! ! !!! ≡ ¬ ( (¬ p ∧ p ) ∨ ( q ∧ p ) ) ∨ q !
! ! !!! ≡ ¬ (  ∨ ( q ∧ p ) ) ∨ q !
! ! !!! ≡ ¬ ( q ∧ p ) ∨ q !
! ! !!! ≡ ¬ q ∨ (¬ p) ∨ q !
! ! !!! ≡ (¬ p) ∨ !
!! ! !! ≡ '
• Cette règle de déduction s’appelle le modus-ponens.'
19!
Déduction!
• En informatique, on est très intéressé par la démonstration!
!automatique!
• d’où la nécessité de formaliser le raisonnement, et plus!
!précisément la déduction!
• Un raisonnement valide :!
S’il pleut, je ne sors pas. !
Or je sors,!
donc il ne pleut pas. !
• Un raisonnement qui ne l’est pas :!
S’il pleut, je ne sors pas. !
Or il ne pleut pas,!
donc je sors. !