chap 15 somme des angles triangles

CHAPITRE 15
SOMMES DES ANGLES DANS UN TRIANGLE
I Activités :
Voici trois triangles ABC de tailles et de formes toutes différentes, à toi d’en dessiner un quatrième :
A l’aide du rapporteur, mesure chaque angle de ces triangles et complète les trois 1ères colonnes du tableau :
 40 60 80 180
 110 30 40 180
 20 70 90 180
 180
Effectuer une conjecture, c’est supposer un résultat qu’il faudra prouver ensuite.
Conjecture :…la somme des angles fait 180°……………………………………………………..
Découpe le bas de la fiche et plie la en deux dans le sens de la longueur (redéplie), prends 1 point sur le haut et 2 sur le bas et trace un grand
triangle que tu vas découper.
Marque les angles de chaque côtés de la feuille.
Effectue trois pliages de façons à obtenir comme moi.
Que peut-on dire ? les trois angles forment un angle plat
1
2
3
4

II Somme des angles d'un triangle :
1) Propriété :
Soit un triangle ABC.
Trace la droite (xy) passant par A et parallèle à (BC).
L'angle xAB est égal à l'un des angles du triangle ABC.
Lequel et pourquoi ?
…xAB = ABC car ils sont alternes – internes..
et (xy) // (BC)……………………………………
Même question pour l'angle CAy ? ……CAy = ACB car ils sont alternes - internes …….……
………… et (xy) // (BC)……………………………………………..
Complète : xAB + BAC + CAy = …180°………… car c’est …un angle plat…………………………
donc : ABC + BAC + BCA = …180°……
Propriété :…… La somme de la mesure des trois angles d'un triangle est égale à 180°.…………...
……………………………………………………………………………………………………………………...
2) Exercice type n°1 :
Soit un triangle SKI tel que :
SK = 6 cm,
SKI = 100° et ISK = 25°.
a) Trace ce triangle dans le cadre ci-contre.
b) Calcule la mesure de l’angle KIS .
c) Vérifie ton résultat sur la figure
b) On a par hypothèses : un triangle SKI avec SKI = 100° et ISK = 25°
Or : La somme de la mesure des trois angles d'un triangle est égale à 180°
Donc : SKI + ISK + KIS = 180°
KIS = 180° − (100° + 25°)
KIS = 180 ° − 125°
KIS = 55°
3) Triangle équilatéral :
ABC est un triangle équilatéral donc les trois angles sont égaux.
Soit x la valeur d’un angle : x + x + x = 180°
3 × x = 180°
3x = 180°
x = 180° ÷ 3
x = 60° et par suite ABC = BCA = BAC = 60°
Propriété : Si un triangle équilatéral alors chaque angle mesure 60°.
Propriété réciproque : Si les angles d'un triangle mesurent 60° alors ce triangle est équilatéral.
= =
A
B C
x y
A B
C

4) Triangle rectangle :
5) Triangle rectangle isocèle :
Soit un triangle ABC rectangle et isocèle en A.
D'après la propriété des triangles rectangles : ABC + ACB = 90°
mais ABC est isocèle donc les angles à la base ABC et ACB sont égaux,
donc ABC = ACB et par suite ABC = ACB = 45° (90° ÷ 2)
Propriété : …si un triangle est rectangle isocèle alors ses angles aigus mesurent 45°……
6) Exercice type n°2 :
Soit FUN un triangle isocèle en U. Ce triangle possède un angle de 80°. Quels sont les cas possibles ?
1er cas : F = 80°
On a par hypothèses : FUN isocèle en U
Or si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont de même mesure
Donc N = F = 80°
On a par hypothèses : FUN un triangle N = F = 80°
Or : La somme de la mesure des trois angles d'un triangle est égale à 180°
Donc : N + F + U = 180°
U = 180° − 2 × 80°
U = 180° − 160°
U = 20°
Le cas où N = 80° est identique au 1er cas.
2ème cas : U = 80°
On a par hypothèses : FUN isocèle en U
Or si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont de même mesure
Donc N = F
On a par hypothèses : FUN un triangle N = F et U = 80°
Or : La somme de la mesure des trois angles d'un triangle est égale à 180°
Donc : N + F + U = 180°
N = (180° − 80°) ÷ 2
N = 100° ÷ 2
N = 50° et F aussi.
Intégrer les exos types de la partie III du calque dans le cours au moment opportun.
ABC est un triangle rectangle en A, par suite : BAC = 90°, d'où ABC + BCA = 90°
Propriété : Si un triangle est rectangle alors la somme des mesures des
angles aigus est égale à 90°. (alors les angles aigus sont complémentaires).
A
B
C
Propriété réciproque : si un triangle a deux angles aigus complémentaires alors ce triangle
est rectangle.
A
B
C