Les nombres algébriques et les nombres transcendantaux

Les nombres alg´ebriques et les nombres transcendantaux
(Pour le niveau 11 et 12, ou encore pour ceux qui ont une certaine maturit´e en alg`ebre)
On peut subdiviser tous les nombres r´eels en cat´egories de nombres. Nous r´evisons quelques-
unes de celles-ci:
•Les nombres naturels:N={1,2,3,4, . . .}
•L’ensemble des entiers:Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}
•Les entiers non-n´egatifs:N∗={0,1,2,3,...}
•Les nombres rationnels:Q={a
b:a, b ∈Z, b 6= 0}.`
A noter que tous les nombres
entiers sont des nombres rationnels.
•Les nombres r´eels,R, sont tous les nombres que nous connaissons et qui se trouvent
quelque part sur la ligne droite utilis´ee pour ordonner les nombres.
•Les nombres r´eels qui ne sont pas des nombres rationnels sont les nombres irrationnels.
Les nombres √3, πet le nombres d’Euler een sont des exemples.
On partage ´egalement les nombres r´eels Ren deux cat´egories: les nombres alg´ebriques et
les nombres transcendantaux.
Les nombres alg´ebriques: Un nombre alg´ebrique est un nombre qui est la racine d’un
polynˆome anxn+an−1xn−1+···+a2x2+a1x+a0dont tous les co´efficients aisont des
nombres rationnels.
Par exemple:
•Tous les nombres rationnels a
bsont des nombres alg´ebriques puisque a best une solution
de l’´equation x−a
b= 0 et donc est une racine du polynˆome aux co´efficients rationnels
x−a
b
•Plusieurs nombres irrationnels sont ´egalement des nombres alg´ebriques. Par exemple,
le nombre irrationnel √3 est alg´ebrique puisque √3 est une racine du polynˆome x2−3
(c.-`a-d. il satisfait l’´equation x2−3 = 0).
Les nombres transcendantaux: Un nombre transcendantal est un nombre qui n’est pas un
nombre alg´ebrique. C’est-`a-dire qui n’est pas la racine d’un polynˆome anxn+an−1xn−1+
···+a2x2+a1x+a0dont tous les co´efficients aisont des nombres rationnels.
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•Puisque tous les nombres rationnels sont des nombres alg´ebriques on trouve les nom-
bres transcendantaux que parmi les nombres irrationnels.
•De fait, on a d´emontr´e que la “plupart” des nombres irrationnels sont transcendan-
taux.
•Et pourtant, d´emontrer qu’un nombre irrationnel est transcendantal est une tˆache
assez difficile.
–Ce n’est qu’un 1873 qu’on a d´emontr´e pour la premi`ere fois que le nombre d’Euler
eest transcendantal.
–Et c’est en 1884 qu’on a r´eussi `a d´emontrer que πest transcendantal.
–On sait aussi que eπet 3√5sont des nombres transcendantaux.
•Avis aux chercheurs: On ne sait pas encore aujourd’hui si les nombres π+e,π−e,
πe,π
e,ππ,ee,πesont transcendantaux ou alg´ebriques.
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Club Pythagore, 2007
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