´EL´EMENTS DE TOPOLOGIE G´EN´ERALE

1Mathoman.com Sous-espace topologique
´
EL ´ EMENTS DE TOPOLOGIE
G´ EN ´ ERALE
1ESPACE TOPOLOGIQUE
1.1 TOPOLOGIE
D´ efinition 1 : ´ Etant donn´e une ensemble , on nomme topologie sur , une
partie telle que :
i) et ;
ii) et une famille d’´el´ements de , .
ou encore : est stable par r´eunions quelconques.
iii) , . Autrement dit est stable par intersection finie.
Exemple 1.1 : Il y a toujours deux topologies extrˆemes :
– ; tous les sous-ensembles sont des ouverts. C’est la topologie discr`ete.
– Rien n’est ouvert! C’est la topologie grossi`ere.
Exemple 1.2 : Dans un ensemble ordonn´e, on d´efinit les intervalles ouverts comme les parties de
la forme
(section commenc¸ante) (section finissante)
on peut alors d´efinir une topologie en d´efinissant les ouverts comme les r´eunions quelconques
d’intervalles. C’est la topologie de l’ordre.
D´ efinition 2 : On dira qu’une topologie est plus fine qu’une topologie si
. Autrement dit : tout ouvert de est un ouvert de .
1.2 FERM´ ES ET VOISINAGES
D´ efinition 3 : Une partie de est dite ferm´ee pour la topologie si son
compl´ementaire est un ouvert de
Il en r´esulte que dans tous les cas et sont `a la fois ouverts et ferm´es.
Propri´ et´ e 4 : Toute intersection de ferm´es est un ferm´e.
Toute r´eunion finie de ferm´es est un ferm´e.
Exemple 1.3 : Dans un intervalle ferm´e est ferm´e. On a en effet
qui est un ouvert en tant que r´eunion de deux ouverts.
D´ efinition 5 : On dit que est un voisinage de s’il existe un ouvert tel que
Lorsque on retrouve la d´efinition des voisinages vues en 1ere.
Proposition 6 : L’intersection de deux voisinages de est un voisinage de .
Toute partie contenant un voisinage de est un voisinage de .
Remarque 1.4 : On note souvent l’ensemble des voisinages de .
Propri´ et´ e 7 : Une partie de est ouverte si et seulement si elle est voisinage de
chacun de ses points.
DEMST : Le sens direct est trivial. r´eciproquement, tout est inclus dans un
ouvert de sorte que d’o`u l’´egalit´e des ensembles, celui du
milieu ´etant ouvert comme r´eunion d’ouvert.
D´ efinition 8 : On dit qu’une topologie est s´epar´ee si deux points de poss`edent
des voisinages disjoints.
Nous verrons que c’est cette notion qui permet de parler de limite en un point.
Exemple 1.5 : Dans un espace s´epar´e, les points sont ferm´es.
2SOUS-ESPACE TOPOLOGIQUE
Lemme 0 : Soit et une topologie sur .
L’ensemble d´efinit une topologie sur .
D´ efinition 1 : Cette topologie se nomme topologie induite sur et l’on nom-
mera sous-espace topologique de une partie de munie de sa topologie
induite.

2Mathoman.com El´ ements remarquables
Propri´ et´ e 2 : Avec les mˆemes notations
i) est un ferm´e pour o`u est un ferm´e de .
ii) est un voisinage de pour o`u est un voisinage
de pour .
iii) Si , alors (topologie induite par sur ).
Exemple 2.1 : Si est s´epar´ee alors ´egalement ;
Si , alors .
Exemple 2.2 : La topologie induite sur par la topologie usuelle de est la topologie discr`ete.
En effet – +
de sorte que tous les points sont des ouverts et donc la topologie est la discr`ete.
3EL´ EMENTS REMARQUABLES
3.1 INT´ ERIEUR
D´ efinition 1 : Soit o`u est un espace topologique On dira que st un
point int´erieur `a si est un voisinage de .
On nomme int´erieur de , ce qu’on note , l’ensemble des points
int´erieurs `a .
Propri´ et´ e 2 : est le plus grand ouvert inclus dans .
DEMST : Si , il existe ouvert , mais comme ,
est un voisinage de tout donc et par cons´equent est un voisinage de
, ceci pour tout donc est un ouvert.
R´eciproquement par d´efinition si alors , on a , et
.
Remarque 3.1 : Il en r´esulte que est un ouvert si et seulement si .
Propri´ et´ e 3 : et ´etant deux parties d’une espace topologique, on a :
i) .
ii)
iii)
iv) .
DEMST : est un ouvert inclus dans donc dans ; or est le plus grand ouvert
dans . qui est ouvert donc voisinage de tous ses points donc inclus dans .
d’o`u une inclusion; puis l’autre en utilisant le i).
Exemple 3.2 : Attention au contrexemple du iv) et .
3.2 POINT ADH´ ERENT-ADH´ ERENCE
D´ efinition 4 : est dit adh´erent `a lorsque : .
L’ensemble des points adh´erents `a se nomme adh´erence de et se
note .
Proposition 5 : est le plus petit ferm´e contenant .
DEMST : Si , il existe un voisinage que l’on peut supposer ouvert
(car contient pr´ecis´ement un ouvert contenant lequel est un voisinage de ) tel que
donc . Tout point de (qui est ouvert) poss`ede un voisinage (
lui-mˆeme) ne rencontrant pas et donc n’est pas adh´erent. Ainsi qui est donc
ouvert : est ferm´e.
R´eciproquement : soit un ferm´e et . Si alors or ,
donc n’est pas adh´erent `a , d’o`u .
Propri´ et´ e 6 : et ´etant deux parties d’une espace topologique, on a :
i) .
ii)
iii)
iv) .
DEMST : Les d´emonstrations sont en tout point analogues au cas de l’int´erieur.
Exercice : Prouver que et que
D´ efinition 7 : On nomme fronti`ere de l’ensemble
– – –
Exercice : Prouver que ces ensembles sont bien ´egaux.
D´ efinition 8 : On dit qu’une partie est dense dans si .
C’est une notion qui n’a l’air de rien mais qui est particuli`erement importante et dont
nous verrons plusieurs applications.
D´ efinition 9 : Un point de est dit isol´e s’il existe , .
Un point est dit d’accumulation si tout voisinage de rencontre en
un point autre que .

3Mathoman.com topologie produit
Il en r´esulte que tout point adh´erent est soit isol´e soit d’accumulation.
Propri´ et´ e 10 : Si la topologie est s´epar´ee, un point est d’accumulation si tout
voisinage contient une infinit´e de point de .
DEMST : On prouve que si un voisinage ne contient qu’un nombre fini de point de
alors et est un point isol´e de .
Soit ce voisinage, et les points de distincts de (´eventuellement) qu’il
contient. , et tel que de sorte que
est un voisinage de qui ne contient aucun point de hormis ´eventuellement . Comme
Il en r´esulte que et donc que est isol´e.
4CONTINUIT´ E
Propri´ et´ e 1 : Soit – ; les propri´et´es suivantes sont
´equivalentes.
i) L’image r´eciproque d’un ouvert est un ouvert; soit , –;
ii) L’image r´eciproque d’un ferm´e est un ferm´e ;
iii) alors –.
D´ efinition 2 : Lorsque l’une de ces propri´et´es est v´erifi´ee on dit que est conti-
nue.
Une application bijective continue dont la r´eciproque est continue se
nomme un hom´eomorphisme.
Exemple 4.1 : L’application identit´e de la topologie grossi`ere dans la topologie discr`ete est bi-
jective mais sa r´eciproque n’est pas continue puisque par exemple est un ouvert pour la
topologie discr`ete (tout y est ouvert) tandis que son image r´eciproque n’est pas ouvert
puisque dans la grossi`ere seul et le sont.
Bien sˆur il existe des contrexemples bien moins pathologiques et extrˆemes.
Proposition 3 : Un produit d’applications continues (resp.
d’hom´eomorphismes) est continues (resp. un hom´eomorphisme).
Propri´ et´ e 4 : L’image d’un ouvert (d’un ferm´e) par un hom´eomorphismeest un
ouvert (un ferm´e).
Exemple 4.2 : est la moins fine des topologies telles que l’injection canonique –
soit continue.
5TOPOLOGIE PRODUIT
D´ efinition 1 : Soit une famille finie d’espaces topologiques. est dit
ouvert ´el´ementaire de , si o`u .
Propri´ et´ e 2 : On d´efinit une topologie sur en d´efinissant un ouvert comme
une r´eunion quelconque d’ouverts ´el´ementaires
DEMST : et sont bien des produits d’ouverts.
La stabilit´e par r´eunion quelconque est ´evidente.
est encore un ouvert ´el´ementaire et .
Propri´ et´ e 3 : Les projections – sont des applications continues et
ouvertes.
La topologie produit est la moins fine des topologies de rendant les
projections continues.
DEMST : Si est un ouvert, –qui est un
ouvert de .
Soit un ouvert de . , si
. Cette r´eunion ´etant bien un ouvert de .
Soit une topologie rendant les continues. Il faut prouver que tout ouvert de
est un ouvert de . Il suffit de le prouver pour les ouverts ´el´ementaires. Pour cela,
on observe d’abord que o`u . Or
–qui est ouvert par hypoth`ese.
Remarque 5.1 : Il faut remarquer que moins il y a d’ouverts dans , autrement dit plus la to-
pologie de est grossi`ere ou moins elle est fine, et moins une application partant de a de
chance d’ˆetre continue. Ainsi cet ´enonc´e dit que la topologie est la topologie ”minimale” qui
rendent les continues.
Propri´ et´ e 4 : Soit – avec . est continue si et
seulement si , est continue.
Autrement dit, une application `a valeur dans un produit est continue ssi
toutes les applications coordonn´ees le sont
DEMST : Si est continue, est une compos´ee d’applications continues donc
l’est.
R´eciproquement, si est un ouvert ´el´ementaire de et on a aussi
, d`es lors –et – –
– – ; c’est une intersection d’ouverts de .
Propri´ et´ e 5 : est s´epar´e si et seulement si , est s´epar´e.
DEMST : Si les sont s´epar´es, soit . Il existe alors un indice
tel que et donc des ouverts disjoints de , contenant respectivement
et . Mais alors et sont des
voisinages de et disjoints puisqu’`a l’indice , .
R´eciproquement, fixons et soit . Soit ensuite et
; alors dans donc il existe et tels

4Mathoman.com Compacit´ e
que . Il existe ensuite des ouverts ´el´ementaires disjoints , et
o`u . Comme pour , et que
, on doit avoir .
Exercice : Montrer que est s´epar´e si et seulement si la diagonale est ferm´ee dans .
6COMPACIT´ E
6.1 ESPACE COMPACT
D´ efinition 1 : Un espace topologiqueest dit compact s’il est s´epar´e et s’il v´erifie
la propri´et´e de Borel-Lebesgue :
”De tout recouvrement de par une famille d’ouverts on peut extraire
un sous recouvrement fini”.
Autrement dit : si , il existe fini tel que .
Le point important est que le nouveau recouvrement soit fini.
L’hypoth`ese de s´eparation oblige la topologie `a avoir ”beaucoup” d’ouverts, c’est-`a-
dire `a ˆetre plutˆot fine. Sans cette hypoth`ese, n’importe quel ensemble serait compact pour
sa topologie grossi`ere.
Un espace topologique fini et s´epar´e est toujours compact.
n’est pas compact car la famille – + est un recouvrement de dont
on ne peut extraire un sous-recouvrement fini car ce serait une r´eunion finie de parties
born´ees contenant qui n’est justement pas born´e.
En passant au compl´ementaire on obtient
Proposition 2 : La propri´et´e de Borel-Lebesgue ´equivaut `a
”De toute famille de ferm´es d’intersection vide on peut extraire une
sous-famille finie d’intersection vide”.
Corollaire 1 : Si est compact et si est une suite d´ecroissante de ferm´es
non vides alors .
DEMST : Sinon on pourrait trouver une sous-famille finie d’intersection vide ce qui
n’est puisque cette intersection est ´egal au plus petit d’entre eux.
6.2 PARTIE COMPACTE
D´ efinition 3 : Une partie est dite compacte si elle est compacte pour la
topologie induite .
Proposition 4 : est compact si et seulement si :
”De tout recouvrement de par des ouverts de , on peut extraire un
sous-recouvrement fini.”
DEMST : Soit une famille d’ouverts de telle que ; soit
. et l’on a . On a donc une recouvrement de
. Il existe donc fini tel que d’o`u .
Exemple 6.1 : En anticipant un peu, dans une espace s´epar´e, si est une suite convergente de
limite alors l’ensemble est compact.
Propri´ et´ e 5 : Une partie compacte d’un espace s´epar´e est ferm´ee.
DEMST : On prouve que son compl´ementaire est un ouvert.
Soit et . Il existe un ouvert contenant et un ouvert contenant
.
La famille des constitue un recouvrement de par des ouverts de , dont on
extrait un sous-recouvrement fini , . Soit maintenant ; c’est un
ouvert comme intersection fini d’ouverts et il contient .
car et que .
Proposition 6 : Dans un espace compact, ”compact” ´equivaut `a ”ferm´e”.
DEMST : Il ne reste qu’`a prouver la r´eciproque. Soit un ferm´e dans un compact ,
et une famille de ferm´e de , . Comme avec ferm´e dans
, est ferm´e dans , il existe donc une sous-famille fini telle que .
6.3 COMPACIT´ E ET CONTINUIT´ E
Th´ eor` eme 7 : Soit – continue de compact dans s´epar´e, alors
est compact.
Autrement dit ”l’image continue d’un compact dans un s´epar´e est com-
pacte”.
DEMST : Soit un recouvrement de par des ouverts. Comme est conti-
nue, –est un ouvert de et ´evidemment – –
–. Les constituent donc un recouvrement de par des ouverts on peut donc
en extraire un sous-recouvrement fini . et .
Corollaire 1 : Une bijection continue entre deux compacts est un
hom´eomorphisme.

5Mathoman.com Connexit´ e
DEMST : Soit –et un ferm´e de ; c’est un compact donc –
est compact donc ferm´e! et est donc continue.
6.4 COMPACTS DE
Th´ eor` eme 8 : (de Borel-Lebesgue) Un intervalle est compact.
DEMST : Soit une famille d’ouverts de .
Consid´erons recouvert par un nombre fini de .
car ´evidemment et est born´e puisque ses ´el´ements sont dans .
Soit donc . On a donc . Il existe alors tel que
. de surcroˆıt , tel que – + . Comme – , il existe ,
– et donc est recouvert par un nombre fini d’ouverts, il suffit alors de
rajouter pour obtenir que + est recouvert par un nombre fini de .
Si , on peut choisir pour que + mais cela contredit la maximalit´e de
. Il en r´esulte .
Th´ eor` eme 9 : Les compacts de sont les parties ferm´ees born´ees.
DEMST : On sait d´ej`a qu’un compact est ferm´e. Du recouvrement –
+ on extrait un sous-recouvrement fini qui est alors born´e.
R´eciproquement, si est born´e, on a ] qui est compact. Si de plus est
ferm´e, il est ferm´e dans un compact donc compact.
Proposition 10 : Les compacts de sont les parties ferm´ees born´ees.
DEMST : On sait d´ej`a qu’ils sont ferm´es. Si maintenant et ,
on pose – + ; c’est un ouvert et . On extrait ensuite un
nombre fini de et est donc born´e.
R´eciproquement , born´e est inclus dans un pav´e qui est compact puisque
les sont compacts. ferm´e dans un compact est compact.
Propri´ et´ e 11 : Un produit fini de compact est compact.
7CONNEXIT´ E
Notons tout d’abord que par passage au compl´ementaire, il est ´equivalent de dire
”Il existe un ouvert (non trivial) dont le compl´ementaire est ouvert”, ”Il existe un ferm´e
(non trivial) dont le compl´ementaire est ferm´e”, ”il existe une partie non triviale `a la fois
ouverte et ferm´ee”.
D´ efinition 1 : Un espace est dit connexe s’il ne v´erifie PAS cette propri´et´e.
Exemple 7.1 : n’est pas connexe car si , + + or le premier membre
est un ouvert de et le second un ferm´e.
Exemple 7.2 : est connexe. On raisonne part l’absurde en supposant que est ouvert et ferm´e.
Soit ( existe car ) alors + + et aussi
– – . ´etant non vide, ou est non vide par exemple . Il est
minor´e et l’on pose . Comme est ferm´e, mais est aussi ouvert d’o`u un
tel que – + ce qui est absurde.
Proposition 2 : est connexe si et seulement si toute application continue de
dans (topo. discr`ete) est constante.
DEMST :–est `a la fois ouvert et ferm´e comme image r´eciproque d’une
partie ouverte et ferm´e. Si c’est alors –et , et sinon et
.
R´eciproquement par l’absurde, Si et sont ouverts, on pose et
. est continue puisque –et –qui sont ouverts, et
n’est bien sˆur pas constante.
D´ efinition 3 : Une partie sera dite connexe si elle est connexe pour la topolo-
gie induite.
Propri´ et´ e 4 : Si est connexe et une application continue d´efinie sur alors
est connexe.
DEMST : Soit une application continue sur `a valeur dans . est
continue sur donc constante par connexit´e de . et par cons´equent l’est sur .
Th´ eor` eme 5 : Les parties connexe de sont les intervalles.
DEMST : Si n’est pas un intervalle, il existe tels que et .
Mais alors + + est ouvert et ferm´e et non vide puisque contenant .
Remarque 7.3 : En joignant ces deux derniers r´esultats, on obtient ´evidemment le th´eor`eme des
valeurs interm´ediaires.