Formules courantes http://www.hydroroues.fr/formules.htm

Formules courantes
http://www.hydroroues.fr/formules.htm#Puissance d'une chute
Formules utilisées dans nos calculs et quelques autres
Dans toutes les formules le signe * est le signe de multiplication
Certaines formules ont été écrite en caractères mathématiques, d'autres non, cette
présentation pourra s'améliorer par la suite.
Le séparateur décimal est le point et non la virgule
La dite remarque s'applique à la totalité du site
Vous pouvez disposer d'un logiciel qui calculera pour vous toutes ces formules
Vitesse/Hauteur
Une formule très courante en hydraulique est la relation vitesse hauteur
elle donne la vitesse de l'eau qui sort d'un orifice ou la pression amont évaluée en hauteur d'eau
est H
H est en mètres , V en mètres/sec et g est l'accélération de la pesanteur
Equations aux dimensions (facultatif !)
Les curieux pourront chercher à savoir ce qui se cache derrière les formules
Les unités primaires du système légal sont le mètre, la masse et la seconde
Dans la formule ci dessus g est une accélération, homogène à une longueur divisée par le carré
d'un temps
g est homogène à L T-2
2gh sera donc homogène à L2 T-2
V sera homogène à L T-1 qui est la racine du précédent
La vérification de l'homogénéité permettra d'éviter des erreurs de calcul grossières si on
s'aventure seul dans les calculs ....
Vannes
Débit d'une vanne simple
Comme formule bien approchée nous prendrons
S étant la section de passage
h=charge=différence de hauteur entre le niveau haut et le
dessus de la lame d'eau stabilisée sortant de la vanne , en
mètres
La section est en m2
Q est en m3/seconde
K varie de 3.2 à 3.0 selon les dimensions et l'ouverture de la
vanne
Attention : il y a lieu de bien choisir la valeur de h qui correspond à la surface libre de la veine
Exemple vanne de largeur 1.2 mètres

La hauteur d'eau en amont est 0.60
Déversoir
Très utilisé pour la mesure des débits partout ou il est
possible d'en l'installer un
La formule la plus simple
Q = 0.41 * B * h * racine(2gh)
h est la charge en m. (voir dessin) elle doit être mesurée
depuis loin à l'amont
B est la largeur en m
Q est en m3/s
Cette formule ne fait pas intervenir la profondeur p, aussi est elle approximative
Un calcul plus précis utilise le paramètre p
Mon logiciel utilise la célèbre formule de Rehbock :
Détails avancés
Puissance d'une chute
La puissance théorique valable pour toute installation est donnée par la formule
P = 0.01333 * Q * H en CV ou pour employer des unités proches des légales :
P = 9.81 * Q * H en watts
Q est le débit de la chute en litres/seconde
Si Q est en m3/sec alors
P = 13.33 * Q * H en CV ou pour employer des unités proches des légales :
P = 9.81 * Q * H en kilowatts
C'est la plus classique que l'on traduit souvent en tenant compte d'un certain rendement global
Pu = 7 * Q * H (Pu puissance utile en kW Q m3/s H mètres)
Ex H = 10 m Q =3 m3/s Pu = 210 kW aux bornes de sortie de l'alternateur
Pour les puristes la formule rigoureuse en légales S.I. est :
P=  * g * Q * H en watts avec g = 9.81 m/s/s ,  = 1000 kg/m3 , Q en m3/s , H en m
H est la hauteur de chute nette en mètres
Pour avoir la puissance réelle il faut multiplier par le rendement, coefficient < 1
Calculs très rapides avec mon logiciel !

Choc d'un jet sur une surface fixe ou mobile
Quand un jet d'eau animé d'une vitesse V rencontre une surface à angle droit il exerce sur cette
surface une force
F =  *Q * (V-v)
F force en Newtons
Q débit en m3 /seconde
V et v en m/s
 étant la masse spécifique de l'eau en kg/m3 soit 1000
v vitesse de recul de la plaque dans la direction du jet
Pour ceux qui s'intéressent aux équations aux dimensions
F est homogène à M L-3 L3 T-1 L T-1 soit M L T-2 (produit masse accélération)
Cette formule peut aussi se déduire de l'équation F=M * (V-v) , équation de la percussion
obtenue par la prise en compte des quantités de mouvement .. Dans ce cas M est la masse par
unité de temps.
Exemple
V=60 m/s
Q =0.6 m3/s
Si v=0 (plaque immobile) on trouve F=36000 N
Cet exemple correspond à une chute d'eau avec H=183.5 m et Q =0.6 m3/s
La puissance théorique de cette chute (avec rendement unité) est de 1080000 watts (1080 kW)
C'est cette même valeur que l'on retrouve si on considère l'énergie cinétique du jet , soit 1/2 M
* V * V
Cas de la puissance
Pour une plaque plane :
Si la surface est immobile celle ci ne récupère aucune énergie, mais l'eau conserve une énergie
propre en quittant la plaque.
Dans le cas de la plaque immobile, une question qui se pose est de savoir quelle est la perte
d'énergie due au choc.
Je n'ai pas de trouvé de réponse à ce problème complexe
Si v n'est pas nul la puissance récupérée est F * v
Si enfin v= V/2 la puissance passe par un maximum
soit donc P=  *Q * V * V / 4
La formule complète est P=  *Q * v * (V -v )
P est nulle pour v=0 et v=V
Elle est max comme déjà dit pour v = V/2 car alors la dérivée dP/dv est nulle.
Il s'agit de la puissance récupérable par une plaque plane.
En reprenant notre calcul avec v=V/2 on trouve une puissance de 540000 watts, moitié de la
puissance totale.
Cette récupération (en théorie, mais vérifiable par des expériences correctes) en fonction de la
forme est donc :
La moitié de l'énergie du jet pour une plaque plane rencontrant le jet perpendiculairement
La totalité (en théorie) pour une surface courbe renvoyant l'eau en sens inverse de la
direction du jet (cas d'une hémisphère, ou des turbines Pelton ; et aussi Banki)
Dans ce cas notre valeur de P est à multiplier par 2

Remarque : On verrait sans peine que P est homogène à M L2 T-3
Jet sans choc
Cette question est traitée avec les machines à action
Energie et Puissance
Certains visiteurs ne distinguent pas bien ces 2 notions
Une masse de 1 Kg située à 1000 m d'altitude a par rapport au niveau de la mer
une énergie (potentielle) de 10000 joules
Si elle tombe au niveau zéro elle libère son énergie ; la chute non contrôlée conduit à une
dégradation : l'énergie se perd en chaleur.
Mais on peut imaginer un système mécanique pour récupérer l'énergie, par exemple la chute sur
une plaque (robuste !) fera remonter de 1 mètre une masse de 1000 Kg.
Si toutes les secondes une nouvelle masse suit la précédente et active une machine bien étudiée
celle ci recevra une énergie de 10000 joules par seconde ce qui correspond à une puissance de
10000 watts
1 watt = 1 joule par seconde
On suppose dans tous les cas que le rendement est parfait ce qui est loin de la vérité car la
résistance de l'air fausse le calcul.
Revenons à notre énergie de 10000 joules
Elle équivaut à 10000/4.18 =2392 calories (petites) soit 2.392 Kcalories
1 Kg de charbon de bonne qualité a une énergie interne de 8000 Kcalories
Si on le brûle dans une centrale thermique et si on transforme la chaleur en énergie mécanique
avec un rendement de 30% on récupère 2400 Kcalories soit l'équivalent de 3 Kwh environ.
En fait il faut déjà une centrale performante pour arriver à ce résultat : chaudière à haute
pression, condenseur.
L'énergie nucléaire est convertie en énergie électrique avec un rendement de cet ordre.
Les locomotives à vapeur avaient un rendement de 5% à peine !
Et l'homme ??
Théorème de Bernoulli
Ce théorème essentiel découvert par Bernoulli (1700 - 1782) nous montre que l'énergie
spécifique par unité de poids d'un fluide non visqueux (pour nous, de l'eau) dans un
écoulement sans pertes de charges est constante
P + H + (V * V / 2 / g) = constante
P : pression du fluide évaluée en mètres d'eau
Si la pression est en Pascals il faut remplacer P par P /  ,  étant le poids spécifique en
Newton par m3 soit 10000 pour l'eau
H hauteur du point d'observation considéré par rapport à un niveau de référence arbitraire mais
fixe.
V vitesse du fluide en mètres par seconde