SMA Logique mathématique

SMA
Logique math´ ematique
Dimitri ZAGANIDIS
Notes de cours du Prof. Jacques Duparc
Dernière modification le 17 septembre 2014

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TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Introduction 6
2 Rappels 6
3 Syntaxe 12
3.1 Langage, termes et formules ................... 12
3.2 Arbre de décomposition d’une formule ............. 14
3.3 Variables libres et variables liées ................ 14
3.4 Formule close et clôture universelle ............... 15
3.5 Substitution ............................ 15
4 Sémantique 17
4.1 Réalisation d’un langage ..................... 17
4.2 Évaluation d’une formule dans une structure .......... 17
4.3 Théories et conséquence sémantique .............. 20
4.4 Jeu d’évaluation d’une formule ................. 21
4.4.1 Théorie des jeux ..................... 21
4.4.2 Évaluation d’une formule ................ 26
5 Un soupçon de théorie des modèles 33
5.1 Homomorphisme, plongement et isomorphisme ........ 33
5.2 Sous-structure ........................... 35
5.3 Equivalence élémentaire ..................... 36
5.4 Sous-structure élémentaire .................... 38
6 Théorème de compacité 40
6.1 Filtre, base de filtre et ultrafiltre ................ 40
6.2 Ultraproduit ............................ 42
6.3 Théorème de Łoś ......................... 44
6.4 Théorème de compacité ..................... 46
6.5 Modèles non-standard de l’arithmétique ............ 47
7 Nombres ordinaux et cardinaux 48
7.1 Bons ordres ............................ 48
7.2 Ordinaux ............................. 52
7.3 Axiome du Choix, Lemme de Zorn et Théorème de Zermelo . 58
7.4 Cardinaux ............................. 58
8 Théorèmes de Löwenheim-Skolem 62
8.1 Énoncés des théorèmes ...................... 62
8.2 Forme prénexe polie et Skolémisée d’une formule ....... 62
8.3 Preuves des théorèmes ...................... 63

4TABLE DES MATIÈRES
9 Théorie de la démonstration 66
9.1 Systèmes axiomatiques ...................... 66
9.2 Déduction naturelle ........................ 67
9.2.1 Anatomie d’une règle ................... 67
9.2.2 Les règles de la logique minimale ............ 68
9.2.3 Les règles de la logique intuitionniste .......... 71
9.2.4 Les règles de la logique classique ............ 71
9.2.5 Déduction ......................... 72
9.2.6 Comparaison entre les différentes logiques ....... 73
9.3 Calcul des séquents ........................ 76
9.3.1 Les règles du calcul des séquents ............ 76
9.3.2 Logique classique, intuitionniste et minimale ...... 77
9.3.3 L’élimination des coupures ................ 78
10 Indécidabilité de la logique du premier ordre 81
10.1 Traduction de Gödel ....................... 81
10.1.1 Langages non égalitaires ................. 81
10.1.2 Langages égalitaires ................... 81
10.2 Décidabilité ............................ 82
10.3 Indécidabilité de la logique du premier ordre .......... 82
11 Modèles de Kripke de la logique du premier ordre 83
11.1 Logique intuitionniste ...................... 83
11.1.1 Langages non égalitaires et sans symbole de fonction . 83
11.1.2 Langages égalitaires avec symbole de fonction ..... 85
11.2 Logique minimale ......................... 86
12 Théorèmes de complétude 88
12.1 Énoncés des théorèmes de complétude ............. 88
12.2 Preuve du théorème de complétude de la logique classique . . 88
12.2.1 Sens indirect ....................... 88
12.2.2 Sens direct ........................ 89
12.3 Conséquences des théorèmes de complétude .......... 95
12.3.1 Quelques formules non démontrable en logique intui-
tionniste .......................... 95
12.3.2 Une formule non démontrable en logique minimale . . 95
12.3.3 Théorème de compacité ................. 96
Appendices 97
A Axiomatique : Peano, Robinson et ZFC 97
A.1 Arithmétique de Peano ...................... 97
A.2 Arithmétique de Robinson .................... 97
A.3 Les axiomes de Zermelo-Fraenkel ................ 98

TABLE DES MATIÈRES 5
B Déduction naturelle et calcul des séquents 99
B.1 Déduction Naturelle ....................... 99
B.2 Calcul des Séquents ........................100
C Résultats vus dans les exercices 101
References 102