Diffusion d`une particule dans un potentiel carré

Diffusion d’une particule dans un potentiel carr´e
Matthieu Schaller
matthieu.schaller@epfl.ch
27 mai 2008
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Th´eorie 2
2.1 Equation de Schr¨odinger ..................... 2
2.2 Sch´ema num´erique ........................ 3
2.3 Puits de potentiel ......................... 4
2.4 Conditions initiales ........................ 4
3 Simulations 5
3.1 Choix des constantes ....................... 5
3.2 Cas V0= 0 ............................ 5
3.3 Cas V0=−E0........................... 6
3.4 Cas V0=−5E0.......................... 8
3.5 Cas V0=−10E0......................... 9
4 Cas d’une barri`ere de potentiel 11
5 Conclusion 13
6 Annexe 14
1

1 INTRODUCTION 2
1 Introduction
La m´ecanique quantique propose un ensemble de r´esultats qui ne sont
pas intuitifs si on les compare aux habitudes que l’on a en physique clas-
sique. Un des ´el´ements essentiels est l’association d’une onde aux particules.
Ceci permet d’expliquer les ph´enom`enes de diffractions que l’on observe,
par exemple avec des ´electrons aux travers d’un r´eseau de fentes. Dans ce
travail, nous allons ´etudier les effets d’un puit de potentiel sur l’´evolution
d’une particule.
2 Th´eorie
2.1 Equation de Schr¨odinger
Les particules en m´ecanique quantique sont d´ecrites par une probabi-
lit´e de pr´esence en un point donn´e. |ψ(~x, t)|2est la densit´e de probabilit´e
qu’un corpuscule se manifeste au point ~x et au temps t.ψest une fonc-
tion complexe. Cette densit´e de probabilit´e est r´egie par l’´equation de
Schr¨odinger :
i¯h∂ψ
∂t =−¯h2 2m∇2ψ+V(~x)ψ(2.1)
o`u V(~x) correspond au potentiel au point ~x. C’est donc V(~x) qui d´ecrit
l’univers de la particule. On obtient la probabilit´e que le corpuscule se ma-
nifeste dans un petit volume dxdydzen effectuant :
dP (~x, t) = ψ(~x, t)|2dxdydz(2.2)
On peut simplifier l’´equation en d´efinissant le Hamiltonien du syst`eme
H=−¯h2
2m∇2+V. L’Hamiltonien est un op´erateur agissant sur la fonction
ψ. On r´ecrit alors l’´equation de Schr¨odinger comme :
i¯h∂ψ
∂t =Hψ (2.3)
Sous cette forme, l’´equation ressemble d’une certaine mani`ere `a une
´eqaution diff´erentielle du premier ordre. Dans la suite de ce travail, on
ne consid`ere que le cas uni-dimensionnel. En utilisant l’analogie avec une
´equation diff´erentielle du premier ordre, on peut ´ecrire pour ψ(x, t) :
ψ(x, t) = exp −it
¯hHψ(x, 0) (2.4)
Cette solution n’est cependant pas calculable analytiquement, `a cause
de la pr´esence de l’op´erateur Hdans l’exponentielle (qui devient ainsi elle-
mˆeme un op´erateur).

2 TH ´ EORIE 3
2.2 Sch´ema num´erique
Pour essayer de r´esoudre num´eriquement cette ´equation, on peut d´evelopper
l’exponentielle au premier ordre :
ψ(x, t + ∆t) = 1−i
¯h∆tHψ(x, t) + O(∆t2) (2.5)
Ce qui m`ene au sch´ema :
1−i
¯h
∆t
2Hψ(x, t + ∆t) = 1−i ¯h
∆t
2Hψ(x, t) + O(∆t2) (2.6)
Ce sch´ema est semi-implicite, car il faut r´esoudre une ´equation pour
obtenir l’´etat du syst`eme au pas de temps suivant.
ψ(x, t + ∆t) = 1−i
¯h
∆t
2H−11−i ¯h
∆t
2Hψ(x, t) + O(∆t2) (2.7)
En utilisant les diff´erences finies, avec une discr´etisation de l’espace en
Npas d’espaces ψ0, ..., ψN, on peut ´ecrire :
Hψi=−¯h2
2m
∂2ψi
∂x2+V ψi
=−¯h2
2m
ψi−1−2ψi+ψi+1
∆x2+V ψi+O(∆x2)
=−¯h2
2m
ψi−1
∆x2+¯h2 m
ψi
∆x2−¯h2 2m
ψi+1
∆x2+V ψi+O(∆x2)
i
¯h
∆t
2Hψi=−i¯h∆t 4m∆x2ψi−1+i¯h∆t 2m∆x2ψi−i¯h∆t 4m∆x2ψi+1 +i ¯h
∆tV
2ψi+O(∆x2)
=−aψi−1+ 2aψi−aψi+1 +bψi+O(∆x2)
Ce qui permet finalement d’´ecrire le sch´ema 2.6 sous la forme d’une
´equation matricielle AΨt+∆t=BΨtavec Ψ le vecteur des valeurs de ψ
aux Npoints du maillage et les matrices Aet Bdont seules les diagonales
ainsi que les sur- et sous-diagonales sont remplies. Ceci peut se faire en
utilisant la notation compacte suivante :
−a
1+2a+b
−a
T
ψi−1
ψi
ψi+1
(t+ ∆t) = 
a
1−2a−b
a
T
ψi−1
ψi
ψi+1
(t)

2 TH ´ EORIE 4
On sp´ecifie ensuite les conditions aux bords, et on r´esoud en utilisant
la m´ethode de Gauss. On peut remarquer que le seul terme qui d´epend de
xdans ce sch´ema est bet donc seule la diagonale principale va changer.
On remarque ´egalement que l’algorithme a une convergence en O(∆t2) +
O(∆x2), il devrait donc converger tr`es rapidement.
2.3 Puits de potentiel
Dans ce travail, on consid`ere l’´evolution d’une particule aux abords d’un
puits de potentiel. On prend donc un univers o`u V(x) est donn´e par :
V(x) = V0si xl< x < xr
0sinon (2.8)
o`u xlet xrcorrespondent respectivement aux bords gauches et droites
du puits.
Fig. 1: Puit de potentiel
Classiquement, une particule arrivant sur un tel puits le traverse sans
aucun probl`eme. Elle va l´eg`erement plus vite dans le puits, puis reprend sa
vitesse initiale `a la sortie de ce-dernier.
2.4 Conditions initiales
Comme on l’a vu, en m´ecanique quantique une particule est caract´eris´ee
par une fonction d’onde ψ. Il faut donc d´eterminer cette fonction. Dans une
zone o`u le potentiel est nul, on peut ´ecrire l’´energie d’un corpuscule de masse
met de vitesse vcomme :
E0=1
2mv2=p2 2m(2.9)
De Broglie a associ´e `a chaque particule de quantit´e de mouvement pune
onde donn´ee par son nombre d’onde k0:
p= ¯hk0⇒E0=¯h2k2
0
2m(2.10)

3 SIMULATIONS 5
En utilisant le principe d’incertitude de Heisenberg, on sait qu’on ne
peut connaˆıtre simultan´ement la position et la vitesse d’un corps avec une
pr´ecision infinie. En effet, on a :
∆x∆p≥¯h(2.11)
Par cons´equent, l’onde n’est pas localis´ee en un point pr´ecis mais est
repr´esent´ee par un paquet d’onde, avec donc un certain ´etalement ∆x, dont
le maximum de longueur d’onde est donn´e par la relation 2.10. On obtient
ainsi une incertitude `a la fois sur la position et la vitesse de la particule. Pour
pouvoir observer quelque chose d’int´eressant au niveau du puit, on choisit
un ´etalement spatial plus petit que la largeur du puit xr−xl. L’´etalement
des longueurs d’ondes est alors donn´e en utilisant la relation 2.11 avec un
signe =. Dans ce travail on a utili´e une distribution gaussienne pour cr´eer cet
´etalement. On alors plus qu’`a laisser ´evoluer le syst`eme via le sch´ema propos´e
pr´ec´edemment. On calcule ´egalement les probabilit´es que la particule soit
`a gauche du puits, dans le puits et `a droite du puits pour chaque pas de
temps.
3 Simulations
3.1 Choix des constantes
Comme ce sont les comportements qualitatifs qui nous int´eressent, on
choisi les constantes de mani`ere `a simplifier le plus possible les calculs. Toutes
les grandeurs sont sans unit´es. On prend donc :
Constante Symbole Valeur
Constante de Dirac ¯h1
Masse de la particules m1/2
Nombre d’intervalles N1000
Position du puits xl175
Position du puits xr475
Nombre d’onde du maximum k032
Fig. 2: Choix des diff´erentes constantes du syst`eme
Pour la profondeur V0du puits de potentiel, on l’exprime en multiple de
E0.
3.2 Cas V0= 0
Consid´erons pour commencer un univers sans puit de potentiel. On peut
raisonnablement s’attendre `a ce que la particule ne subisse aucune pertur-
bation et continue son chemin tout droit. Le r´esultat obtenu est pr´esent´e sur