théorème de rolle et théorème de la moyenne de lagrange
THÉORÈME DE ROLLE ET THÉORÈME
DE LA MOYENNE DE LAGRANGE
1Théorème de Rolle
2Théorème de la moyenne de Lagrange
3Interprétation physique
4Conséquences mathématiques du théorème
de la moyenne de Lagrange
5Trouver une primitive
6Équations différentielles et hauteur d’un projectile
Conséquence du théorème de Rolle, le théorème de la moyenne de
Lagrange est un principe fondamental du calcul différentiel; il établit un
lien entre le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle et son
taux de variation instantané en un point de cet intervalle. Le théorème de la
moyenne de Lagrange est le fondement de plusieurs résultats importants.
Nous avons vu comment trouver la position instantanée d’un corps en
chute libre. Nous savons également comment obtenir les fonctions vitesse et
accélération du corps en chute libre. Mais que faire si nous ne connaissons que
son accélération, c’est-à-dire l’effet de la gravité sur ce corps? Est-il possible
de faire la démarche inverse et de trouver les fonctions représentant sa vitesse
et sa position ?
La question mathématique sous-jacente est celle-ci : de quelle autre
fonction une fonction donnée peut-elle être la dérivée ? Par exemple, pouvons-
nous déduire une fonction vitesse à partir d’une fonction accélération donnée ?
Pouvons-nous trouver une fonction position correspondant à une fonction
vitesse donnée ? Comme nous le verrons sous peu, les conséquences du théorème
de la moyenne nous permettront de répondre à ces questions.
1 Théorème de Rolle
D’un point de vue géométrique, il est assez évident qu’entre deux points où
une courbe dérivable prend la même valeur, il existe toujours au moins un
point de la courbe où la tangente est horizontale. Un théorème de Michel
Rolle, publié en 1691, établit clairement ce fait. Nous verrons plus loin que le
théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de la moyenne de Lagrange.
Preuve du théorème 1 Puisque fest continue, le théorème des extremums
absolus garantit que fatteint un maximum et un minimum absolus sur l’inter-
valle [a,b]. En conséquence du théorème des extremums relatifs, ces deux
extremums ne peuvent se trouver qu’aux points suivants de l’intervalle :
1. aux bornes de l’intervalle [a, b];
2. à un point intérieur de l’intervalle où f(x) 0;
3. à un point intérieur de l’intervalle où fn’existe pas.
Selon l’hypothèse, la fonction fest dérivable en tout point de ]a, b[, ce qui
élimine l’option 3. Les seules possibilités sont donc les bornes aet bainsi que
les points intérieurs où f(x) 0. Examinons ces deux cas.
1. Si le maximum et le minimum sont tous les deux en aet en b, alors les
valeurs maximale et minimale de fsont égales, c’est-à-dire que f(x) f(a) f(b).
Donc fest une fonction constante et f(x) 0 pour tout xdans l’intervalle
]a,b[; cpeut alors être choisi n’importe où dans l’intervalle ]a, b[.
2. Si le maximum ou le minimum existe en un point intérieur cde l’inter-
valle, alors f(c) 0 selon le théorème des extremums relatifs, et nous avons
trouvé un point cconfirmant la conclusion du théorème de Rolle.
Prêtez attention aux hypothèses du théorème de Rolle. Si l’une des condi-
tions n’est pas observée, il est possible que la fonction fn’admette aucune
tangente horizontale sur l’intervalle (figure 2).
THÉORÈME 1 Théorème de Rolle
Soit fune fonction satisfaisant les trois conditions suivantes :
•fest continue en tout point de l’intervalle fermé [a, b];
•fest dérivable en tout point de l’intervalle ouvert ]a, b[;
•f(a) f(b).
Alors, il existe au moins un nombre cdans ]a, b[ tel que f(c) 0
(figure 1).
x
y
0
y f(x)
f'(c1) 0
f'(c2) 0
f'(c3) 0
c2c3
c1
ab
Figure 1 Selon le théorème de Rolle,
toute courbe dérivable admet au moins
une tangente horizontale entre deux
points d’ordonnées égales. Le nombre c
pour lequel f(c) 0 n’est pas
nécessairement unique : ici, f(x) 0
entrois points.
x
y
ab
x0
x
y
ab
x0
x
y
a
y
f (x)
b
y
f (x)
y
f (x)
a) f dérivable partout sur ]a, b[
mais discontinue à l’une des
bornes.
b) f discontinue en un point
intérieur et nécessairement non
dérivable en un point x0 de ]a, b[.
c) f continue sur [a, b], mais
non dérivable en un point x0
de ]a, b[.
Figure 2 Trois situations où fn’admet pas de tangente horizontale sur ]a, b[.
ROLLE
Mathématicien autodidacte, Michel Rolle
(Ambert, 1652 – Paris, 1719) était comptable
et il étudiait l’algèbre dans ses moments
libres. En 1690, il publie le traité d’algèbre
qui contient sa « méthode des cascades »,
permettant d’encadrer les racines réelles de
certains types d’équations. Un an plus tard,
dans sa « Démonstration d’une méthode pour
résoudre les égalités de tous les degrés », on
y trouve le théorème qui porte son nom et
selon lequel « une fonction ne peut s’annuler
plus d’une fois dans l’intervalle séparant
deux racines réelles consécutives de sa
fonction dérivée ». De nos jours, on formule
ce théorème de façon équivalente en disant
qu’entre deux zéros d’une fonction déri-
vable se trouve toujours au moins un zéro
de sa dérivée. Rolle se méfiait des nou-
velles méthodes du calcul différentiel et
il s’évertua à les dénoncer et à combattre
le livre de calcul de L’Hospital. Ironie du
sort que ce mathématicien français soit
aujourd’hui reconnu pour son apport dans
le domaine qu’il essaya de discréditer de
son vivant !
THÉORÈME 2 Théorème de la moyenne de Lagrange
Soit fune fonction vérifiant les deux conditions suivantes :
•fest continue en tout point de [a, b];
•fest dérivable en tout point de ]a, b[.
Alors, il existe au moins un nombre cdans l’intervalle ]a, b[ tel que
c’est-à-dire f(c)(ba) f(b) f(a).
f(c) ,
f(b) f(a)
ᎏ
ᎏ
ba
EXEMPLE 1 Explorer le théorème de Rolle
Montrez que les conditions du théorème de Rolle sont satisfaites par
et trouvez une valeur ctelle que f(c) 0.
Solution
En tant que polynôme, f(x) est continue et dérivable partout ; f(x) est donc
continue et dérivable sur [3, 3]. Nous avons également
f(3) 1 f(3).
Les conditions du théorème de Rolle sont donc satisfaites. D’après le théo-
rème, fdoit valoir 0 au moins une fois en un point cde l’intervalle ouvert
]3, 3[. Or, f(x) x23. Cette dérivée prend la valeur 0 deux fois sur
l’intervalle ]3, 3[: en et en
Voir les exercices 5, 24 et 25.
2 Théorème de la moyenne de Lagrange
Le théorème de la moyenne de Lagrange, aussi appelé théorème des accrois-
sements finis, peut être considéré comme une version « inclinée » du théorème
de Rolle.
x
兹苵
3 c2.
x
兹苵
3 c1
f(x) 3x1 sur l’intervalle [3, 3],
x3
ᎏ
3
Preuve du théorème 2 Représentons le graphe de fpar une courbe dans le
plan (figure 3) et traçons la droite passant par les points A(a,f(a)) et B(b,f(b)).
Voici l’équation point-pente décrivant cette droite :
(1)
L’écart vertical séparant les graphes de fet gau point d’abscisse xest donné par
(2)
La figure 4 présente simultanément les graphes de f, get h.
La fonction hsatisfait aux trois conditions du théorème de Rolle sur [a, b] : elle
est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ puisque fet gle sont également.
f(x) f(a) f(b) f(a)
b a (x a)
.
h(x) f(x) g(x)
.g(x) f(a) f(b) f(a)
b a (x a)
LAGRANGE
Louis Lagrange (Turin,
25 janvier 1736 – Paris,
1813) a 19 ans lorsqu’il
communique à Leonhard
Euler une méthode pour
trouver les extremums d’une fonction. Le
grand homme lui exprime son admiration ;
pour Lagrange, ce sera toujours son résultat
le plus important, mais il y en aura tant
d’autres ! Il trouvera une façon d’analyser
les vibrations d’une corde sous tension et
obtiendra des résultats remarquables en
dynamique des astres.
Appelé à Berlin par Frédéric II de Prusse,
il y produira des œuvres en mécanique, en
probabilités et en analyse fondamentale.
En 1787, il devient membre de l’Académie
des sciences à Paris, qui publiera son œuvre
magistrale sur la mécanique, synthèse de
tous les développements dans ce domaine
depuis Newton. La France devient ainsi sa
dernière patrie : il fera partie de la commis-
sion qui créera le système métrique et sera
anobli par Napoléon.
On doit à Lagrange la notation prime pour
les dérivées et le fameux théorème de la
moyenne, qui porte son nom.
x
y
0
f'(c)
acb
y f(x)
f(b) f(a)
————–
b a
B
A
Tangente parallèle
à la sécante
Pente
Pente
Figure 3 En termes géométriques,
le théorème de la moyenne de Lagrange
affirme qu’en un point situé quelque part
entre Aet B, la courbe admet au moins une
tangente parallèle à la sécante AB.
De plus, h(a) h(b) vu que les graphes de fet de gse coupent aux points
Aet B; nous pouvons d’ailleurs le vérifier algébriquement en détail :
et
Selon le théorème de Rolle, il existe un nombre cdans l’intervalle ]a,b[
pour lequel h(c) 0.
Dérivons les deux membres de l’équation (2) par rapport à x, puis posons
xc:
comme nous voulions le démontrer.
Les conditions du théorème de la moyenne de Lagrange n’exigent pas que
fsoit dérivable en aou en b. Il suffit que la fonction soit continue à droite en a
et à gauche en b(figure 5).
Normalement, tout ce que nous savons sur le point d’abscisse cest ce que
nous en dit le théorème, c’est-à-dire que cexiste. Il y a des cas où nous pou-
vons satisfaire notre curiosité sur la position exacte de ccomme à l’exemple 2.
L’importance du théorème n’a cependant rien à voir avec la capacité de situer
le point d’abscisse c. D’ailleurs, les cas où nous pouvons le faire sont l’exception
plutôt que la règle.
EXEMPLE 2 Explorer le théorème de la moyenne de Lagrange
La fonction f(x) x2(figure 6) est continue sur 0 ⱕxⱕ3 et dérivable sur
0x3. Dès lors que f(0) 0 et f(3) 9, selon le théorème de la moyenne
de Lagrange, il doit exister un point cde l’intervalle de définition de la dérivée
pour lequel f(x) 2xest égale à (f(3) f(0))/(3 0) (9 0)/(3 0) 3.
Ici, nous pouvons trouver cau moyen de l’équation f(c) 2c3, soit
c3/2.
Dérivée de l’équation (2)...
f
(c) f(b) f(a)
b a
,
0 f
(c) f(b) f(a)
b a
h(c) f
(c) f(b) f(a)
b a
h(x) f
(x) f(b) f(a)
b a
… évaluée en xc
h(c) 0 par le théorème de
Rolle sur la fonction h
f(c) isolée
h(b) f(b) f(a) (ba)
f(b) f(a) [f(b) f(a)]
0.
f(b) f(a)
ᎏ
ᎏ
ba
h(a) f(a) f(a) (aa)
0
f(b) f(a)
ᎏ
ᎏ
ba
y
x
y
01
–1
1 x2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1,–1 x 1
≤≤
Figure 5 La fonction
satisfait aux conditions du théorème de
Rolle et donc à celles du théorème de la
moyenne de Lagrange sur [1, 1], même
si fn’est pas dérivable en 1 et en 1.
f(x) 兹1 x
2
h(x) f(x) g(x)
x
b
a
B
Ay g(x)
y f(x)
Figure 4 La sécante AB est le graphe
de la fonction g(x). La fonction
h(x) f(x) g(x) correspond à l’écart
vertical séparant les graphes de fet de g
au point d’abscisse x.
Voir les exercices 1à 4et 6.
3 Interprétation physique
Considérons la quantité (f(b) f(a))/(ba) comme la variation moyenne
de fsur [a, b], et f(c) comme une variation instantanée. Le théorème de la
moyenne de Lagrange affirme que la variation instantanée en un certain point
intérieur c doit être égale à la variation moyenne pour tout l’intervalle.
EXEMPLE 3 Interpréter le théorème de la moyenne
a)Si une automobile partie du repos parcourt 120 m en 8 s, sa vitesse
moyenne pendant l’intervalle de 8 secondes est de 120/8 15 m/s. À un
instant c pendant ces 8 secondes, le compteur de vitesse doit indiquer
exactement 54 km/h (15 m/s) (figure 7). (En fait, la vitesse de 15 m/s
pourrait être atteinte plus d’une fois, car le théorème de la moyenne dit
« au moins un nombre c».)
b) Supposons que la voiture a atteint la vitesse de 72 km/h à la fin de l’inter-
valle de 8 secondes. Montrez qu’à un moment donné, l’accélération de
la voiture a été exactement de 9 km/s2.
Solution
L’accélération est une fonction dérivable du temps. La vitesse est de
0 km/h au temps t0 et de 72 km/h au temps t8s.
Donc,
est l’accélération moyenne de la voiture pendant ces 8 secondes. Grâce
au théorème de la moyenne, nous pouvons affirmer que cette valeur de
9 km/s2donne l’accélération exacte à un moment cde l’intervalle.
4 Conséquences mathématiques du théorème
de la moyenne de Lagrange
Comme nous l’avons souligné au début de la section, le théorème de la
moyenne de Lagrange est le fondement de plusieurs résultats importants
du calcul différentiel. Par exemple, nous devons l’utiliser pour démontrer
le théorème 3.2.1 (voir page suivante) qui a permis de développer les outils
d’analyse des graphes de fonctions.
(72 0)/8 9 km/s2
v(t2) v(t1)
ᎏ
ᎏ
t2t1
y x2
x
y
c1
(3/2, 9/4)
B(3, 9)
A(0, 0) 23
Figure 6 La tangente au point d’abscisse
c3/2 est parallèle à la sécante. Leur
pente commune vaut 3.
t
s
0c
25
50 À ce point,
la vitesse de lía uto
était de 54 km/h.
Temps (s)
(8, 120)
75
100
125
Distance (m)
s f(t)
Figure 7 Le graphe de la distance
en fonction du temps pour la voiture
à l’exemple 3.
6
7
8
9
10
11
12
13
1
/
13
100%
