Chapitre 4.2 – La dilatation du temps

Chapitre 4.2 – La dilatation du temps
Nos deux vaisseaux de l’espace
Afin d’illustrer les conséquences de la relativité restreinte, nous aurons besoin d’objets se
déplaçant à de très grandes vitesses. Définissons deux vaisseaux spatiaux pouvant voyager
dans l’espace à de très grandes vitesses :
Altaïr
L m a x = 9 km
Bellatrix
l = 6 km
Altaïr
Lmax = 9 km
LA
Observateur : Béatrice (B)
Observateurs : Albert (A) et Archibald (A’)
Bas du vaisseau : émetteur de lumière et
récepteur de lumière.
Unité mobile : L’habitable arrière de
l’Altaïr peut être déplacé ce qui permet de
faire varier la longueur LA. Ceci permet de
prendre des mesures à différents endroits
dans le vaisseau.
Haut du vaisseau : miroir réflecteur de
lumière.
Les longueurs des deux vaisseaux ont été évaluées au repos. Autrement dit, une personne
qui marche à l’intérieur du vaisseau et effectue la mesure de la longueur avec un pédomètre
obtiendra 6 km pour le Bellatrix et une longueur de 9 km pour l’Altaïr.
Le croissement des deux vaisseaux
Afin d’illustrer un phénomène relié à la relativité restreinte, le Bellatrix et l’Altaïr vont
effectuer l’expérience suivante :
Situation : Le Bellatrix et l’Altaïr se croisent
à une vitesse relative v .
Question : Combien de temps T prend un
faisceau de lumière pour faire un
aller-retour dans le Bellatrix selon
le Bellatrix ( TB ) et selon l’Altaïr
( TA )?
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
B
A
A'
Page 1
La question sera étudiée à l’aide de deux événements :
Événement E1 :
Béatrice (B) émet de la lumière vers le haut
et Béatrice (B) est vis-à-vis Albert (A).
Événement E2 :
Béatrice (B) reçoit de la lumière et Béatrice
(B) est vis-à-vis Archibald (A’).
événement E2
réception de la lumière
événement E1
émission de la lumière
B
B
A
A
A'
A'
Dans le référentiel du Bellatrix
Dans le référentiel du Bellatrix, nous avons les informations suivantes :
Trajet de la lumière selon le
Bellatrix
•
Le Bellatrix est immobile.
•
L’Altaïr se déplace à une vitesse de v.
•
La lumière se déplace sur une distance 2l (allerretour) avec une vitesse c entre l’événement E1
et l’événement E2.
l
B
Voici les mesures associées à nos deux événements :
Événement 1 :
Position :
x B(1) = 0
Temps :
t B(1) = 0
Événement E1
B
A
Événement 2 : (avec x = vt )
Position :
x B(2 ) = 0
Temps :
t B( 2 ) =
A'
Événement E2
2l
c
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
l
B
A
A'
Page 2
Selon le référentiel du Bellatrix, nous avons les mesures suivantes pour la distance et la
durée entre nos deux événements :
Distance :
DB = ∆x B = x B(2 ) − x B(1) = (0 ) − (0 )
⇒
DB = 0
Durée :
 2l 
TB = ∆t B = t B (2 ) − t B (1) =   − (0 )
 c 
⇒
TB =
2l
c
Exemple : (Situation du livre de référence : v = 0,6 c , l = 6 km )
DB = 0
et
TB = 40 µs
Dans le référentiel de l’Altaïr
Dans le référentiel de l’Altaïr, nous avons les informations suivantes :
Trajet de la lumière selon l’Altaïr
•
L’Altaïr est immobile.
•
Le Bellatrix se déplace avec une vitesse v.
•
Bien que la lumière soit émise vers le
haut dans le Bellatrix, l’Altaïr observera
une trajectoire de forme triangulaire.
Cette trajectoire sera plus grande que 2l .
l
•
La lumière se déplace sur une distance
égale à 2 D avec une vitesse c entre
l’événement E1 et l’événement E2.
•
La distance D peut être évaluée à l’aide
du théorème de Pythagore de la façon
suivante : D =
( L A / 2 )2 + l 2
E1
E2
A
A'
LA
D
l
E1
E2
LA /2
LA
Questions :
1) Puisqu’il n’y a pas « d’éther » pour donner une composante de vitesse horizontale à la
lumière, comment la lumière peut-elle se déplacer avec une trajectoire triangulaire selon
l’Altaïr si elle est lancée seulement verticalement selon le Bellatrix ?
2) Est-ce que Albert et Béatrice sont en accord sur l’orientation initiale du faisceau de lumière ?
3) Pourquoi la lumière ne se déplace pas verticalement dans les deux référentiels ?
4) Est-ce que la lumière se déplace « réellement » à la vitesse c dans les deux référentiels ?
5) Comment peux-tu observer le déplacement de la lumière si elle voyage dans le vide ?
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Réponse :
Il est important de rappeler que c’est en observant la déformation d’un milieu sous le
passage de l’onde que l’on peut observer la présence de l’onde et évaluer sa vitesse.
Exemple :
Nous observons le déplacement des vagues pour visualiser la vitesse de l’onde
voyageant à la surface de l’eau.
Dans le cas des ondes lumineuses, il y a une particularité très déstabilisante : la lumière
voyage dans le « vide », mais nous ne pouvons pas observer la déformation du « vide ». Les
ondes lumineuses s’observent par l’intermédiaire de son interaction avec la matière. Le 2ième
postulat d’Albert Einstein stipule que la lumière doit toujours être observée se déplaçant à la
vitesse c. Ainsi, la lumière doit toujours interagir avec la matière à une vitesse c (et à c/n
dans un milieu matériel).
La lumière devient alors une onde particulière, car tout observateur est immobile par
rapport au vide (pas d’éther), mais un observateur peut être en mouvement par rapport au
milieu d’interaction. Une lumière voyageant dans un espace en mouvement par rapport à un
observateur aura une trajectoire plus grande à parcourir. La durée du trajet augmentera, car
la lumière se déplace dans tous les référentiels à vitesse c sans « effet de vent » causé par le
mouvement de l’espace qui pourrait affecter la vitesse de l’onde par rapport à l’observateur.
Exemple :
Dans le Bellatrix, la lumière est lancée verticalement. Selon l’Altaïr, la lumière est lancée
verticalement, mais l’espace transporté dans le Bellatrix pouvant interagir avec la lumière
permettant à Albert d’observer la trajectoire de la lumière se déplace vers la droite.
Supposons que cet espace est rempli de fumée et observons la séquence d’illumination de la
fumée dans les deux référentiels.
Bellatrix (#1)
Bellatrix (#2)
Bellatrix (#3)
Bellatrix (#4)
c
Altaïr (#1)
Altaïr (#2)
Altaïr (#3)
Altaïr (#4)
c
v
v
v
v
Dans les deux référentiels, ce sont les mêmes éléments de fumée qui seront éclairés (même
expérience). Dans le Bellatrix, la trajectoire est verticale à la vitesse c. Dans l’Altaïr, la
trajectoire est triangulaire à la vitesse c. La conséquence de cette expérience impose que la
durée du trajet n’est pas la même dans les deux référentiels !!!
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Retour à l’Altaïr
Voici les mesures associées à nos deux événements :
E1
Événement 1 :
Position :
x A (1) = 0
Temps :
t A (1) = 0
E1
A
A'
Événement 2 : (avec x = vt )
Position :
E2
D
x A ( 2 ) = LA = v t A ( 2 )
l
Temps :
t A (2 )
2D 2
=
=
c
E2
( L A / 2 )2 + l 2
A
c
LA = v tA
A'
Nous remarquons ici que la position du 2ième événement dépend du temps du 2ième
événement et vis-versa (c’est normal, car on cherche justement le temps). Retirons la
dépendance de la position L dans notre mesure de temps :
t A (2 ) =
2
( L A / 2 )2 + l 2
⇒
c
t A (2 )
2
2
[
2
4 ( LA / 2 ) + l 2
=
c2
]
 LA 2

4
+ l2 
4

= 
2
c
⇒
t A (2 )
⇒
t A (2 ) =
(Mettre au carré)
(Mettre au carré L/2)
2
2
L A + 4l 2
c2
(vt ( ) )
2
2
A 2
+ 4l 2
⇒
t A (2 ) =
⇒
c 2 t A ( 2 ) = v 2 t A ( 2 ) + 4l 2
⇒
c 2 t A ( 2 ) − v 2 t A ( 2 ) = 4l 2
⇒
t A ( 2 ) c 2 − v 2 = 4l 2
⇒
t A (2 ) =
⇒
t A (2 ) =
2
c2
(Remplacer LA = vt A (2 ) )
2
2
(Mettre au carré, Multiplier par c 2 ))
2
2
(Isoler terme avec t A (2 ) )
(
2
(Distribution du chiffre 4)
)
4l 2
c2 − v2
2l
2
c − v2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2
(Factoriser t A (2 ) )
2
(Isoler t A (2 ) )
(Appliquer la racine carrée)
Page 5
Selon le référentiel de l’Altaïr, nous avons les mesures suivantes pour la distance et la
durée : (puisque Albert et Archibald sont synchronisés, la distance est égale à la longueur)
Distance :
DA = ∆x A = x A (2 ) − x A (1) = (vt A (2 ) ) − (0 )
Durée :

2l
TA = ∆t A = t A (2 ) − t A (1) = 
2
2
 c −v
⇒
DA =

 − (0 ) ⇒


TA =
2l v
c2 − v2
2l
c2 − v2
Exemple : (Situation du livre de référence : v = 0,6 c , l = 6 km )
DA = LA = 9 km
et
TA = 50 µs
Comparaisons des intervalles de temps et des distances
À partir de cette situation, nous remarquons que la durée entre deux événements n’est pas
identique dans les deux référentiels :
Valeur de référence : v = 0,6 c , l = 6 km
Référentiel de l’Altaïr
P.S.
Durée :
(intervalle de temps)
TA =
Distance :
(intervalle d’espace)
DA =
2l
2
c −v
2
2lv
c2 − v2
= 50 µs
= 9 km
Référentiel du Bellatrix
TB =
2l
= 40 µs
c
DB = 0
Nous avons une contradiction avec la transformation de Galilée, car TA ≠ TB .
Intervalle de temps propre
Un intervalle de temps propre T0 est une mesure d’intervalle de temps entre deux
événements situés au même endroit ( D = 0 ) par rapport à un référentiel. Il n’y a qu’un
seul référentiel qui peut effectuer cette mesure, car cette mesure nécessite qu’un seul
observateur pour observer les deux événements.
Notation mathématique :
intervalle temps propre = T0
Unité (seconde) :
[T0 ] = s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Dilatation du temps (transformation du temps propre)
La dilatation du temps T s’applique lorsque l’on veut
transformer un intervalle de temps propre T0 mesuré entre
deux événements vers un référentiel qui constante l’unique
observateur (qui mesure le temps propre) être en mouvement
à vitesse relative v par rapport à lui :
O
∆t O = T0
Dilatation du
temps
propre T0
T : Intervalle de temps dilaté (s).
γ : Facteur de Lorentz ( γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 ).
T0 : Intervalle de temps propre (s).
Mesure
du temps
propre T 0
Déplacement de A
selon l’objet O
v xA O = 0
T = γ T0
où
∆x O = 0
vx OA
A
∆x A = LA = vx OA∆tA
Déplacement de
l’objet O selon A
∆tA = γ OA∆tO
v : Vitesse relative entre les deux référentiels (m/s).
Preuve :
Évaluons la transformation requise pour transformer un intervalle de temps propre TB = T0
dans le référentiel du Bellatrix B vers un intervalle de temps dans le référentiel de l’Altaïr
A associé à notre situation précédente :
TA =
2l
c2 − v2
⇒
TA =
c
2l
c c2 − v2
(Multiplier par c / c )
⇒
TA =
2l
c
c c2 − v2
(Isoler le terme 2l / c )
⇒
TA = TB
⇒
TA = TB
⇒
⇒
⇒
TA = TB
TA = TB
TA = γ TB
c
(Remplacer TB =
c2 − v2
c
(Multiplier par c 2 / c 2 )
c 
c 2 −  2 v 2
c 
c
2
2
(
2
c 1− v / c
1
2
1− v / c
2
2
■
2l
)
c
)
(Factoriser c 2 )
(Sortir c 2 de la racine et simplifier c)
(Remplacer γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 )
Exemple : (Situation du livre de référence : v = 0,6 c , l = 6 km )
TB = 40 µs et γ = 1,25 ce qui nous donne
P.S.
TA = γTB = (1,25)(40 ) = 50 µs
Il est important de remarquer que cette transformation est valide seulement
lorsque la mesure de TB est effectuée par un observateur unique (ex : Béatrice).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
O
Le facteur de Lorentz
Le facteur de Lorentz γ est un facteur permettant d’effectuer des transformations
relativistes entre un référentiel B se déplaçant à une vitesse relative v par rapport à un
référentiel A :
1
γ=
où
,
1 − v2 / c2
γ =
1
1− β 2
,
β=
v
c
γ : Facteur de Lorentz avec vitesse relative entre le référentiel A et B
v : Vitesse du référentiel B par rapport à A (m/s)
c : Vitesse de la lumière ( 3 × 10 8 m/s )
β : Fraction de la vitesse de la lumière
Lorsque le rapport entre la vitesse relative v entre deux référentiels et la vitesse de la
lumière c est très petite ( β << 1 ), le facteur de Lorentz γ peut être approximé de la façon
suivante :
1
2
γ ≈ 1+ β 2
(lorsque β << 1 )
Preuve :
Effectuons le développement en série de Taylor du facteur de Lorentz et conservons
uniquement les deux premiers termes de la série :
γ =
1
1− β
2
⇒
γ = (1 − β 2 )
⇒
γ ≈ 1 −  − β 2
⇒
γ ≈ 1+ β 2 ■
−1 / 2
 1
 2
1
2
(Mettre l’exposant en haut)
(Approximation : (1 − x ) ≈ 1 − nx , x << 1 , x = β 2 )
n
(Simplification du signe négatif)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
Ordre de grandeur du facteur de Lorentz
Voici un tableau décrivant la correction relativiste à apporter à des mesures d’objets en
mouvement :
Objet en mouvement
Vitesse
β = v/c
γ = 1/ 1 − β 2
Marche humaine
8 km/h
0,000 000 007
1,000 000 000
Son
333 m/s
0,000 001 11
1,000 000 000
Lune autour de la Terre
1000 m/s
0,000 003 33
1,000 000 000
Vitesse libération de la Terre
11,2 km/s
0,000 037
1,000 000 001
Pioneer 10 (sonde voyageur)
14,4 km/s
0,000 048
1,000 000 001
Soleil à l’intérieur de la Galaxie
2,1 × 10 5 m/s
0,000 70
1,000 000 245
Électron dans un tube de TV
9 × 10 7 m/s
0,3
1,05
Muons au CERN
2,996 × 10 8 m/s 0,999 4
28,87
Application de la dilatation du temps
Voici quelques exemples et expériences qui nécessitent une correction relativiste du temps :
1) Désynchronisation des
montres des astronautes
Astronaute en orbite
4) Temps de demi-vie et
désintégration du muon
µ − via la force faible
Diagramme de Feynman
2) Désynchronisation des
horloges atomiques (avion
et au sol)
horloge atomique à rubidium
3) Le système GPS
Satellite pour GPS
5) La physique des particules
au CERN
CERN : 27 km de circonférence
N.B. Lorsqu’il y a désynchronisation entre deux horloges en des lieux où la gravité n’est
pas identique, il faut ajouter un effet de dilatation gravitationnel du temps fondé sur des
arguments de relativité général (dilatation du temps sous une diminution du champ g).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9
Situation 1 : La dilatation du temps. Un e sou cou pe vola n t e su r vole la ville de Mon t r éa l a vec u n e
vit esse con st a n t e éga le à la m oit ié de la vit esse de la lu m ièr e. Sa t r a ject oir e fa it en sor t e
qu ’elle su r vole le St a de Olym piqu e, pu is, qu elqu es in st a n t s plu s t a r d, la P la ce VilleMa r ie : da n s le r éfér en t iel de la ville de Mon t r éa l, il y a 6,5 km en t r e le St a de Olym piqu e
et la P la ce Ville-Ma r ie. On désir e dét er m in er com bien de t em ps s’écou le en t r e les deu x
su r vols d’a pr ès (a) les h a bit a n t s de la ville de Mon t r éa l et (b) les pa ssa ger s de la sou cou pe.
Nous avons deux référentiels à utiliser dans cette situation :
Référentiel M : Ville de Montréal (deux lieux : Stade Olympique et Place Ville-Marie)
Référentiel S : Soucoupe volante
La vitesse relative entre nos deux référentiels est la suivante :
v = 0,5c
Notre situation comporte deux événements :
E1 : La soucoupe volante survole le Stade Olympique
E2 : La soucoupe volante survole la Place Ville Marie
Évaluons notre facteur gamma :
1
γ =
⇒
1− β 2
1
γ =
 0,5c 
1− 

 c 
2
γ = 1,155
⇒
Dans le référentiel de Montréal (M), les deux événements sont situés à deux endroits
différents. La durée peut être évaluée à partir de la cinématique du MUA :
Longueur :
LM = 6,5 km
Distance :
DM = LM
(les deux lieux sont synchronisés dans ce référentiel)
Durée :
∆x M = v∆t M
⇒
(DM ) = v(TM )
⇒
(6,5 × 10 ) = (0,5 ∗ 3 × 10 )T
⇒
TM = 43,3 µs (a)
3
8
M
Dans le référentiel de la soucoupe (S), les deux événements sont situés au même endroit.
La durée peut être évalué à partir de la dilatation du temps, car TS = T0 :
Longueur :
LS = ?
(distance entre Stade Olympique et Place Ville-Marie)
Distance :
DS = 0
(temps propre)
Durée :
T = γ T0
⇒
(TM ) = γ ( TS )
⇒
(43,3) = (1,155)( TS )
⇒
TS = 37,5 µs (b)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 10
Situation 2 : Du Soleil vers Proxima du Centaure. P r oxim a du Cen t a u r e est l’ét oile la plu s
r a ppr och ée du Soleil : elle se sit u e à 4,22 a n n ées-lu m ièr e de dist a n ce. U n a st r on ef
voya gea n t à vit esse con st a n t e pr en d 3 a n s (d’a pr ès ses pa ssa ger s) pou r a ller du Soleil à
P r oxim a du Cen t a u r e. On désir e dét er m in er le m odu le de la vit esse de l’a st r on ef pa r r a ppor t
a u Soleil. (On su ppose qu e P r oxim a du Cen t a u r e est im m obile pa r r a ppor t a u Soleil.)
Nous avons deux référentiels à utiliser dans cette situation :
Référentiel S : Soleil et Proxima du Centaure sont immobiles un par rapport à l’autre.
Référentiel A : Astronef.
La vitesse relative entre nos deux référentiels est inconnue :
v=?
Notre situation comporte deux événements :
E1 : L’astronef est près du Soleil.
E2 : L’astronef est près de Proxima du Centaure.
Dans le référentiel de l’astronef (A), les deux événements sont situés au même
endroit. Selon l’astronef, c’est le Soleil qui s’éloigne et Proxima du Centaure qui
s’approche. Nous savons que le temps propre sera associé à ce référentiel ( TA = T0 ) :
Longueur :
LA = ?
(distance entre Soleil et Proxima du Centaure)
Distance :
DA = 0
(temps propre)
Durée :
TA = 3 ans
⇒
TA = 3 ans ×
⇒
TA = 9,467 × 10 7 s
365,25 j 24 h 60 min 60 s
×
×
×
an
j
h
min
Dans le référentiel du Soleil (S), les deux événements sont situés à deux endroits
différents. Selon eux, c’est l’astronef qui se déplace pour passer de la position du Soleil à
la position de Proxima du Centaure :
365,25 j 24 h 60 min 60 s
m
Longueur :
LS = 4,22 a.l. ⇒
LS = 4,22 a.l. ×
×
×
×
× 3 × 10 8
a
j
h
min
s
⇒
LS = 3,995 × 1016 m
Distance :
DS = LS
(les deux lieux sont synchronisés dans ce référentiel)
Durée :
∆xS = v∆t S
⇒
(DS ) = v(TS )
⇒
TS =
DS
v
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 11
Pour obtenir la vitesse v de l’astronef, il faut évaluer le temps du voyage dans le référentiel
S à partir de la dilatation du temps du référentiel A et comparer ce résultat avec la mesure
obtenue par l’équation du MUA :
T = γ T0
⇒
(TS ) = γ (TA )
(Remplacer T0 = TA et T = TS )
⇒
 LS 
  = γ TA
 v 
(Remplacer TS =
⇒
LS
TA
=
v
1− v2 / c2
(Remplacer γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 )
⇒
LS
TA
=
2
v
1− v2 / c2
⇒
LS
T
= 2 A2
2
v
c − v / c2
⇒
LS
c 2TA
= 2
v2
c − v2
⇒
LS c 2 − v 2 = c 2 v 2TA
⇒
LS c 2 − LS v 2 = c 2 v 2TA
⇒
LS c 2 = c 2 v 2TA + LS v 2
⇒
LS c 2 = v 2 c 2TA + LS
2
2
2
(Mettre au carré)
2
(
(Dénominateur commun)
)
2
2
(
2
DS
, DS = LS )
v
(
(Monter le c 2 au numérateur)
)
)
2
2
(Retirer les dénominateurs)
2
2
2
(
2
2
2
2
2
)
2
(Distribution de LS )
(Isoler les termes en v 2 )
(Factoriser v 2 )
2
⇒
LS c 2
2
v =
2
2
c TA + LS
(Isoler v 2 )
2
2
⇒
v=±
LS c 2
2
c 2TA + LS
(Isoler v)
2
Évaluons cette expression afin d’obtenir la vitesse de l’astronef : (vitesse positive)
v=
2
c 2TA + LS
(3,995 × 10 ) (3 × 10 )
) (9,467 × 10 ) + (3,995 × 10 )
16 2
2
LS c 2
2
⇒
v=
⇒
v = 2,445 × 10 8 m/s
⇒
v = 0,815 c
(3 × 10
8 2
7 2
8 2
16 2
Paradoxe des jumeaux
En construction …
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 12