Calcul élémentaire des probabilités

Épreuves répétées.
Calcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1
1 IRMA,
Université Louis Pasteur
Strasbourg, France
Licence 1ère Année 29 novembre 2006
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
Calcul élémentaire des probabilités
Épreuves répétées.
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
Sommaire
1
Épreuves répétées.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
Calcul élémentaire des probabilités
Épreuves répétées.
Le problème
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
R
Soit une fonction X : Ω → qui est une variable aléatoire dont
la loi est inconnue. Notons µ et σ 2 son espérance et sa
variance, c’est-à-dire E[X ] = µ et Var[X ] = σ 2 .
La solution
Pour étudier X , on va faire l’expérience suivante : on tire au
hasard un élément ω1 de Ω et on mesure X (ω1 ) puis on
recommence (peut être que ω2 = ω1 ). On tire au hasard ω2 et
on mesure X (ω2 ), et on recommence un certain nombre de
fois.
On dispose alors de n variables aléatoires que l’on notera
X1 , . . . .Xn .
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Épreuves répétées.
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
On a à notre disposition trois théorèmes très importants et très
utiles. Le premier s’intitule : la loi des grands nombres.
Théorème
Soient X1 , X2 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de
même loi que la variable aléatoire X . On a alors le résultat
suivant :
X1 + X2 + . . . + Xn
n
tend vers E[X ] = µ
quand n tend vers plus l’infini.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Épreuves répétées.
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
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Exercice.
Interprétation
Ceci veut dire que si n est suffisament grand la moyenne
observée doit être proche de l’espérance de X .
Première question
Dans la pratique pourquoi ne pas prendre n = 30 ?
Remarque
En fait on sait donner une estimation de l’erreur commise en
n
remplaçant µ par X1 +X2 +...+X
.
n
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Posons Mn =
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
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Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
X1 +X2 +...+Xn
.
n
Moyenne et écart-type
Après quelques calculs élémentaires, on trouve que
E [Mn ] = µ
et
σ
σ [Mn ] = √ .
n
Remarque
En particulier
Mn√
−µ
σ/ n
est une variable aléatoire centrée-réduite.
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Moyenne et écart-type.
Exemple.
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Exercices.
Exercice.
Exemple
On répète 100 fois de manière indépendante une expérience
de moyenne 11 et d’écart-type 8. Alors la moyenne Mn suit une
loi de moyenne 11 et d’écart-type 0.8.
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Exemple.
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Exercice.
Le deuxième théorème s’intitule l’inégalité de
Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème
La probabilité que
X1 + X2 + . . . + Xn
σ
− µ > t √
n
n
est inférieure ou égale à t12 , avec t 6= 0 sous réserve que les
v.a. X1 , . . . , Xn sont indépendantes et aient toutes la même
variance σ 2 .
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Moyenne et écart-type.
Exemple.
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Exercice.
Application directe
Par exemple si n = 10 il y a 90 chances sur 100 que
X1 + X2 + . . . + Xn
−
µ
n
soit inférieure ou égale à 0.6 σ.
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Exercice.
Exemple
Dans une population, on veut estimer la proportion µ de gens
qui vont voter pour Mr X. lors des prochaines élections. On
interroge 900 personnes, et on regarde le résultat Mn . Alors
l’inégalité
de Bienaymé-Tchebicheff
nous dit que
#
"
q
1
1
×(1− )
P |Mn − µ| > t 2√900 2 6 t12 .
Par exemple pour ne se tromper qu’au plus une fois sur 10, on
prend t = 3.3. On trouve alors que Mn et µ diffèrent d’au plus
11 % . Ce qui entre nous soit dit est extrêmement mauvais.
Heureusement, on trouvera un moyen plus efficace de faire des
sondages dans la suite de ce chapitre.
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Un autre exemple
Si un sondeur nous disait que Mr S. fera entre 35 et 55 % aux
prochaines élections, qui achetera son sondage ?
Solution
Heureusement grâce à ce qui suit on verra qu’en fait avec le
même risque d’erreur, on obtiendra une fourchette de ±3%.
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Exercice.
Le troisième théorème s’intitule le théorème de la limite
centrale.
Théorème
Mn − µ
X + . . . + Xn − nµ
√ = 1
√
σ/ n
σ n
converge vers la loi normale centrée-réduite.
L’idée est de dire que ce théorème est tellement juste que dans
√ n −nµ par une loi
la pratique, on peut remplacer la loi de X1 +...+X
σ n
N (0, 1).
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Exercice.
Exercice 1
On lance un dé n fois. On considère le nombre de six obtenus
que l’on note N à la fin des n lancers.
À partir de quel entier n on a
N
1 P − < 0.01 > 0.90?
n
6
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Exercice.
Exercice 2
Un restaurateur peut servir 75 repas. La pratique montre que
20 % des clients ayant reservé ne viennent pas.
1
Le restaurateur accepte 90 réservations. Quelle est la
probabilité qu’il se présente plus de 50 clients ?
2
Combien de réservations le restaurateur doit-il accepter
pour avoir une probabilité supérieure ou égale à 0.90 de
pouvoir servir tous les clients arrivants ?
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Exemple.
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Exercice.
Retour à l’exemple des sondages
On interroge 900 personnes, et on observe le résultat. Disons
que la SOFRES ou l’IFOP nous dise :
« On observe, sur un échantillon de 900 personnes que 20 %
votent pour Mr S. ».
Question
Que peut-on en déduire ?
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Réponse
√ n −nµ = Y suit une loi N (0, 1).
Tout se passe comme si X1 +...+X
σ n
Maisp
la difficulté est que µ et σ sont inconnus, où
σ = µ(1 − µ) < 1/2. On en déduit que
√ X1 + . . . + Xn
n
P − µ > α = P |Y | > α ×
n
σ
√ 6 P |Y | > α × 2 n .
Pour n = 900, on obtient donc
X1 + . . . + Xn
P − µ > α 6 P [|Y | > 60α] .
n
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Conclusion
Donc en lisant la table de la loi normale centrée-réduite, pour
α = 0.01, on a que 60α = 0.60, et
P [|Y | > 60α] ' 0.549.
Donc il y a moins d’une chance sur deux que le nombre de
gens qui votent pour Mr S. soit compris entre 19 et 21%
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Remarque
Ce même résultat peut s’interpréter autrement. En effet,
remarquons qu’il y a une chance sur deux d’avoir une erreur
> α = 1% = 0.01...
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Exercice
Un statisticien veut estimer la proportion p de la population U
de taille N qui votera pour Mr S. Pour cela, le statisticien
interroge un échantillon de taille n < N personnes
sélectionnées au hasard (avec remise) dans la population U et
compte le nombre X de personnes qui déclarent qu’ils voteront
Mr S. lors des prochaines élections.
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Questions. Partie A
1
2
Quelle est la loi de X ?
Supposons que
1/10 < p < 9/10,
n > 300.
Par quelle loi est-il légitime d’approcher X ? Quels sont ces
paramètres ?
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Suite des questions. Partie B
1
2
b le pourcentage estimé. Par quelle loi peut-on
Soit p
b?
approcher p
Pour p voisin de 0.50 et n = 1000, quelles sont les
probabilités que :
1
2
p1
p2
b − p < 0.02 ?
: p
b − p > 0.01 ?
: p
3
b = 0.51. Quelle est la
Pour n = 1000, le sondeur observe p
probabilité pour que p > 0.50 ?
4
Comment
le
sondeur doit-il choisir n pour que la probabilité
b
que p − p > 0.50 soit 1/10?
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Suite et fin des questions. Partie C
1
Deux sondeurs réalisent chacun un sondage
indépendamment de l’autre sur 1 000 personnes et
observent les proportions suivantes respectivement :
c1 = 0.51 et p
c2 = 0.52.
p
Quelle est la probabilité que p > 0.50 ?
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