Calcul élémentaire des probabilités
Épreuves répétées.
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
Le problème
Soit une fonction X: Ω →qui est une variable aléatoire dont
la loi est inconnue. Notons µet σ2son espérance et sa
variance, c’est-à-dire E[X] = µet Var[X] = σ2.
La solution
Pour étudier X, on va faire l’expérience suivante : on tire au
hasard un élément ω1de Ωet on mesure X(ω1)puis on
recommence (peut être que ω2=ω1). On tire au hasard ω2et
on mesure X(ω2), et on recommence un certain nombre de
fois.
On dispose alors de nvariables aléatoires que l’on notera
X1, . . . .Xn.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Épreuves répétées.
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
On a à notre disposition trois théorèmes très importants et très
utiles. Le premier s’intitule : la loi des grands nombres.
Théorème
Soient X1,X2, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes de
même loi que la variable aléatoire X. On a alors le résultat
suivant :
X1+X2+. . . +Xn
ntend vers E[X] = µ
quand n tend vers plus l’infini.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Épreuves répétées.
Théorème : La loi des grands nombres
Moyenne et écart-type.
Exemple.
Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
Théorème de la limite centrale.
Exercices.
Exercice.
Interprétation
Ceci veut dire que si nest suffisament grand la moyenne
observée doit être proche de l’espérance de X.
Première question
Dans la pratique pourquoi ne pas prendre n=30 ?
Remarque
En fait on sait donner une estimation de l’erreur commise en
remplaçant µpar X1+X2+...+Xn
n.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
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