activité 1:résoudre une équation du second degré i trajectoire d`une

ACTIVITÉ 1:RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
I TRAJECTOIRE D’UNE FUSÉE EXPÉRIMENTALE :
L’association « Planète sciences », en partenariat
avec le CNES (Centre National d’Etudes Spatiales),
soutient l’activité de clubs de jeunes dont l’objectif
est de s’initier aux problématiques liées à la fabrica-
tion et au lancement d’engins spatiaux.
On s’intéresse ici à la trajectoire d’une fusée expéri-
mentale qui peut atteindre des altitudes voisines de
1000m.
On appelle yla hauteur atteinte par la fusée quand
celle-ci est située à une distance xdu point de dé-
collage, distance mesurée au sol. On peut modéliser
la trajectoire de la fusée par la parabole représentée
ci-contre d’équation :
y= −0,005x2+4x
A. (1) Résoudre l’équation : −0,005x2+4x=0
(2) Que peut-on déduire de cette résolution pour la fusée ?
B. (1) Factoriser l’expression : x2−800x+160000
(2) A l’aide de (1), résoudre l’équation : −0,005x2+4x=800
(3) Interpréter les solutions de la question précédente.
C. Traduire chacune des questions suivantes par une équation ou une inéquation qu’on ne demande
pas de résoudre.
(1) A quelle(s) distance(s) xde son point de départ la fusée est-elle située quand elle est à la hauteur
de 600 m ?
(2) La fusée dépasse-t-elle l’altitude de 1000 m ? Si oui, pour quelle(s) distance(s) xde son point de
départ ?
II UNE MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DE DE-
GRÉ 2DATANT DU IXE SIÈCLE :
Le mathématicien arabe Al-Kwarizmi (783 - 850) a posé et résolu géométriquement le problème
suivant : « Trouver un nombre réel tel que le carré et dix racines égalent 39 unités. »
On peut traduire cet énoncé par l’équation (E) : x2+10x=39 soit x2+10x−39 =0.
1

Activité : Second degré
Ce mathématicien qui est à l’origine des mots « algorithme », « algèbre »et de l’utilisation des nombres
arabes a proposé la méthode suivante :
¦étape 1 : on suppose que xest positif et on construit un carré de côté x.
¦étape 2 : on borde ce carré de deux rectangles dont l’aire vaut 5x, on obtient ainsi 5 comme autre
dimension.
¦étape 3 : on complète le grand carré.
1. Schématiser les 3 étapes ci dessus :
2. Exprimer l’aire du carré de l’étape 3 de deux fao¸ns différentes et en déduire que :
x2+10x=(x+5)2−25
3. En déduire que résoudre l’équation (E) revient à résoudre l’équation (x+5)2=64. Déterminer alors
la solution positive de l’équation (E).
Al-Kwarizmi ne parle pas de l’autre solution de cette équation, car pour lui 64 n’a qu’une racine
carrée : 8
4. Déterminer l’autre solution de l’équation (E).
REMARQUE :l’écriture (x+5)2−64 est appelée la forme canonique du polynôme du second degré x2+
10x−39
III DIFFÉRENTES ÉCRITURES D’UNE FONCTION POLYNÔME DU SECOND
DEGRÉ
Soit f(x)=x2−2x−15 (1)
Voici deux expressions :
(x−1)2−16 (2)
(x−5)(x+3) (3)
1. Vérifier que f(x) est égale à chacune de ces deux expressions.
2. Donner un nom à chacune des trois expressions.
3. Pour chacune des questions suivantes, dire laquelle de ces quatre formes permet de donner rapi-
dement la réponse.
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Activité : Second degré
(a) Calculer les images par fde 0, de 1, de 5 et de −3 .
(b) Déterminer les antécédents éventuels de 0 par f.
(c) Résoudre l’équation f(x)= −16.
(d) Etudier le sens de variation de fsur R.
(e) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
(f) Déterminer l’extremum de fsur R.
IV DÉTERMINATION ALGÉBRIQUE DE LA FORME CANONIQUE D’UN
POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
Voici ci-dessous la méthode permettant d’écrire un polynôme du second degré sous forme
canonique.
On considère la fonction polynôme ftelle que :
f(x)=2x2−8x−24
MÉTHODE CALCULS
1
Mettre en facteur le coefficient du
monôme du second degré.
2
Considérer x2−4xcomme le dé-
but du carré de (x−2).
3
On obtient alors la forme cano-
nique de f(x)
APPLICATION :
1. Ecrire sous forme canonique les polynômes du second degré suivants :
(a) f(x)=x2+2x−8
(b) g(x)= −4x2+12x+1
(c) h(x)=2x2−8x+10
(d) k(x)=3x2+6x+15
2. Factoriser si possible les polynômes du second degré précédents.
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Activité : Second degré
V OBSERVATION DE PARABOLES
Soit une fonction polynôme du second degré 2 ax2+bx +c, où a,bet csont des nombres réels (a
étant non nul). On note ∆le réel défini par ∆=b2−4ac.
1. On considère les fonctions f,g,h,iet jdéfinies respectivement, pour tout réel x, par :
f(x)=3x2+2x−5g(x)= −9x2+13x+10 h(x)=6x2+5x
i(x)=5x2+x+3j(x)=2x2−8x+8
(a) Pour chacune d’entre elles, identifier les coefficients a,bet cet calculer ∆.
Compléter les quatre premières colonnes du tableau ci-dessous.
a b c ∆N
f(x)
g(x)
h(x)
i(x)
j(x)
(b) A l’aide d’une calculatrice, tracer la représentation graphique de chacune de ces fonctions
et noter le nombre Nde points d’intersection entre chaque parabole et l’axe des abscisses.
Compléter la dernière colonne du tableau.
(c) Quel semble être le lien entre le signe de ∆et N?
2. (a) Si Cfest la courbe représentative d’une fonction f, que représente graphiquement les solu-
tions de l’équation f(x)=0.
(b) Quel semble être le lien entre le nombre de solutions de l’équation ax2+bx +c=0 (où a,bet
csont des réels quelconques, aétant non nul) et le signe du réel ∆=b2−4ac ?
VI A LA DÉCOUVERTE DE FORMULES PERMETTANT DE RÉSOUDRE ALGÉ-
BRIQUEMENT LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Soit une fonction polynôme du second degré f:x7−→ ax2+bx +c, où a,bet csont des nombres réels
(aétant non nul), on note ∆le réel défini par ∆=b2−4ac.
∆est appelé le discriminant de la fonction polynôme du second degré f.
1. Démontrer que pour tout x∈R,f(x)=aµx+b
2a¶2
−
∆
4a
2. Résoudre l’équation f(x)=0 lorsque ∆>0.
3. Résoudre l’équation f(x)=0 lorsque ∆=0.
4. Résoudre l’équation f(x)=0 lorsque ∆<0.
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