activité 1:résoudre une équation du second degré i trajectoire d`une

A CTIVITÉ 1 : R ÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
I
T RAJECTOIRE D ’ UNE FUSÉE EXPÉRIMENTALE :
L’association « Planète sciences », en partenariat
avec le CNES (Centre National d’Etudes Spatiales),
soutient l’activité de clubs de jeunes dont l’objectif
est de s’initier aux problématiques liées à la fabrication et au lancement d’engins spatiaux.
On s’intéresse ici à la trajectoire d’une fusée expérimentale qui peut atteindre des altitudes voisines de
1000m.
On appelle y la hauteur atteinte par la fusée quand
celle-ci est située à une distance x du point de décollage, distance mesurée au sol. On peut modéliser
la trajectoire de la fusée par la parabole représentée
ci-contre d’équation :
y = −0, 005x 2 + 4x
A. (1) Résoudre l’équation : −0, 005x 2 + 4x = 0
(2) Que peut-on déduire de cette résolution pour la fusée ?
B. (1) Factoriser l’expression : x 2 − 800x + 160000
(2) A l’aide de (1), résoudre l’équation : −0, 005x 2 + 4x = 800
(3) Interpréter les solutions de la question précédente.
C. Traduire chacune des questions suivantes par une équation ou une inéquation qu’on ne demande
pas de résoudre.
(1) A quelle(s) distance(s) x de son point de départ la fusée est-elle située quand elle est à la hauteur
de 600 m ?
(2) La fusée dépasse-t-elle l’altitude de 1000 m ? Si oui, pour quelle(s) distance(s) x de son point de
départ ?
II
U NE MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE DE RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS DE DE GRÉ
2 DATANT DU IX E SIÈCLE :
Le mathématicien arabe Al-Kwarizmi (783 - 850) a posé et résolu géométriquement le problème
suivant : « Trouver un nombre réel tel que le carré et dix racines égalent 39 unités. »
On peut traduire cet énoncé par l’équation (E ) : x 2 + 10x = 39 soit x 2 + 10x − 39 = 0.
1
Activité : Second degré
Ce mathématicien qui est à l’origine des mots « algorithme », « algèbre »et de l’utilisation des nombres
arabes a proposé la méthode suivante :
¦ étape 1 : on suppose que x est positif et on construit un carré de côté x.
¦ étape 2 : on borde ce carré de deux rectangles dont l’aire vaut 5x, on obtient ainsi 5 comme autre
dimension.
¦ étape 3 : on complète le grand carré.
1. Schématiser les 3 étapes ci dessus :
2. Exprimer l’aire du carré de l’étape 3 de deux fao̧ns différentes et en déduire que :
x 2 + 10x = (x + 5)2 − 25
3. En déduire que résoudre l’équation (E ) revient à résoudre l’équation (x +5)2 = 64. Déterminer alors
la solution positive de l’équation (E ).
Al-Kwarizmi ne parle pas de l’autre solution de cette équation, car pour lui 64 n’a qu’une racine
carrée : 8
4. Déterminer l’autre solution de l’équation (E ).
R EMARQUE : l’écriture (x + 5)2 − 64 est appelée la forme canonique du polynôme du second degré x 2 +
10x − 39
III
D IFFÉRENTES ÉCRITURES D ’ UNE FONCTION POLYNÔME DU SECOND
DEGRÉ
Soit f (x) = x 2 − 2x − 15
(1)
Voici deux expressions :
(x − 1)2 − 16
(2)
(x − 5)(x + 3)
(3)
1. Vérifier que f (x) est égale à chacune de ces deux expressions.
2. Donner un nom à chacune des trois expressions.
3. Pour chacune des questions suivantes, dire laquelle de ces quatre formes permet de donner rapidement la réponse.
2
Activité : Second degré
(a) Calculer les images par f de 0, de 1, de 5 et de −3 .
(b) Déterminer les antécédents éventuels de 0 par f.
(c) Résoudre l’équation f (x) = −16.
(d) Etudier le sens de variation de f sur R.
(e) Etudier le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
(f) Déterminer l’extremum de f sur R .
IV
D ÉTERMINATION ALGÉBRIQUE DE LA FORME CANONIQUE D ’ UN
POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
Voici ci-dessous la méthode permettant d’écrire un polynôme du second degré sous forme
canonique.
On considère la fonction polynôme f telle que :
f (x) = 2x 2 − 8x − 24
M ÉTHODE
C ALCULS
1 Mettre en facteur le coefficient du
monôme du second degré.
2 Considérer x 2 − 4x comme le dé
but du carré de (x − 2).
3 On obtient alors la forme cano
nique de f (x)
A PPLICATION :
1. Ecrire sous forme canonique les polynômes du second degré suivants :
(a) f (x) = x 2 + 2x − 8
(b) g (x) = −4x 2 + 12x + 1
(c) h(x) = 2x 2 − 8x + 10
(d) k(x) = 3x 2 + 6x + 15
2. Factoriser si possible les polynômes du second degré précédents.
3
Activité : Second degré
V
O BSERVATION DE PARABOLES
Soit une fonction polynôme du second degré 2 ax 2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels (a
étant non nul). On note ∆ le réel défini par ∆ = b 2 − 4ac.
1. On considère les fonctions f , g , h, i et j définies respectivement, pour tout réel x, par :
f (x) = 3x 2 + 2x − 5
g (x) = −9x 2 + 13x + 10
i (x) = 5x 2 + x + 3
j (x) = 2x 2 − 8x + 8
h(x) = 6x 2 + 5x
(a) Pour chacune d’entre elles, identifier les coefficients a, b et c et calculer ∆.
Compléter les quatre premières colonnes du tableau ci-dessous.
a
b
∆
c
N
f (x)
g (x)
h(x)
i (x)
j (x)
(b) A l’aide d’une calculatrice, tracer la représentation graphique de chacune de ces fonctions
et noter le nombre N de points d’intersection entre chaque parabole et l’axe des abscisses.
Compléter la dernière colonne du tableau.
(c) Quel semble être le lien entre le signe de ∆ et N ?
2.
(a) Si C f est la courbe représentative d’une fonction f , que représente graphiquement les solutions de l’équation f (x) = 0.
(b) Quel semble être le lien entre le nombre de solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0 (où a, b et
c sont des réels quelconques, a étant non nul) et le signe du réel ∆ = b 2 − 4ac ?
VI
A LA DÉCOUVERTE DE FORMULES PERMETTANT DE RÉSOUDRE ALGÉ BRIQUEMENT LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Soit une fonction polynôme du second degré f : x 7−→ ax 2 +bx +c, où a, b et c sont des nombres réels
(a étant non nul), on note ∆ le réel défini par ∆ = b 2 − 4ac.
∆ est appelé le discriminant de la fonction polynôme du second degré f .
µ
¶
b 2 ∆
1. Démontrer que pour tout x ∈ R , f (x) = a x +
−
2a
4a
2. Résoudre l’équation f (x) = 0 lorsque ∆ > 0.
3. Résoudre l’équation f (x) = 0 lorsque ∆ = 0.
4. Résoudre l’équation f (x) = 0 lorsque ∆ < 0.
4