Exercice E3 - XMaths

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Exercice E3
1°) f est définie par f(x) = 5x
x
2
+ 1
Pour tout réel x, on a x
2
³ 0 , donc x
2
+ 1 ³ 1 donc x
2
+ 1 ≠ 0 .
Donc f est définie sur IR.
2°) f est une fonction rationnelle, donc f est dérivable sur tout intervalle de son ensemble de définition.
Donc f est dérivable sur IR .
f'(x) = 5
x (x
2
+ 1) - 5x x 2x
(x
2
+ 1)
2
= 5x
2
+ 5 - 10x
2
(x
2
+ 1)
2
= -5x
2
+ 5
(x
2
+ 1)
2
= -5(x
2
- 1)
(x
2
+ 1)
2
donc f'(x) = -5(x - 1)(x + 1)
(x
2
+ 1)
2
3°) (x
2
+ 1)
2
> 0 pour tout x ∈ IR, donc f'(x) est du signe du trinôme -5(x - 1)(x + 1)
c'est-à-dire f'(x) = 0 pour x = 1 ou x = -1
f'(x) < 0 pour x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[ et f'(x) > 0 pour x ∈ ]-1 ; 1[
On obtient le tableau de variations de f :
f(-7) = 5
x (-7)
(-7)
2
+ 1 = - 35
50 = - 7 10
f(-1) = 5
x (-1)
(-1)
2
+ 1 = - 5
2
f(1) = 5
x 1
1
2
+ 1 = 5
2
f(7) = 5
x 7
7
2
+ 1 = 35
50 = 7 10
4°) L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est : y = f'(a)(x - a) + f(a)
On a f(0) = 0 et f'(0) = 5
L'équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point d'abscisse 0 est : y = 5x .
Pour étudier les positions relatives de T et de ( C ), étudions le signe de f(x) - 5x
f(x) - 5x = 5x
x
2
+ 1 - 5x = 5x - 5x
3
- 5x
x
2
+ 1 = - 5x
3
x
2
+ 1
On sait que pour tout réel x , on a x
2
+ 1 > 0.
Donc f(x) - 5x est du signe de -5x
3
, c'est-à-dire du signe contraire de x.
Pour x < 0 on a f(x) - 5x > 0 c'est-à-dire f(x) > 5x
et pour x > 0 on a f(x) - 5x < 0 c'est-à-dire f(x) < 5x
On en déduit que ( C ) est au-dessus de T lorsque x < 0 et ( C ) est au-dessous de T lorsque x > 0 .
5°)
x
-
7
-
1
1 7
f'(x)
-
0
+
0
-
- 7
10
5
2
f
- 5
2
7
10
(
C
)
T

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6°) Pour tout réel x on a : f(-x) = 5(-x)
(-x)
2
+ 1 = -5x x
2
+ 1 = - 5x x
2
+ 1 = - f(x)
(c'est-à-dire que f est une fonction impaire).
Les deux points M(x ; f(x) ) et M'(-x ; f(-x) ) de la courbe ont donc des abscisses opposées et des
ordonnées opposées. Ils sont symétriques par rapport à l'origine O du repère.
La courbe ( C ) est symétrique par rapport à O.
7°) L'équation mx
2
- 5x + m = 0 est une équation du second degré lorsque m ≠ 0 et du premier degré
lorsque m = 0.
●
Si m = 0, l'équation s'écrit - 5x = 0 ⇔ x = 0
L'équation mx
2
- 5x + m = 0 a une solution unique pour m = 0 . (Cette solution est 0)
●
Si m ≠ 0,
l'équation mx
2
- 5x + m = 0 a pour discriminant ∆ = (-5)
2
- 4 x m x m = 25 - 4m
2
= (5 - 2m)(5 + 2m)
Les résultats sur le signe du trinôme 25 - 4m
2
(ou un tableau de signe) permettent de conclure que
si m ∈ - 5
2 ; 5 2 (avec m ≠ 0) on a ∆ > 0,
donc l'équation mx
2
- 5x + m = 0 a deux solutions pour m ∈ - 5
2 ; 5 2 (avec m ≠ 0) ;
si m = - 5
2 ou m = 5 2 on a ∆ = 0,
donc l'équation mx
2
- 5x + m = 0 a une solution unique pour m = - 5
2 ou m = 5 2 ;
si m < - 5
2 ou m > 5 2 on a ∆ < 0,
donc l'équation mx
2
- 5x + m = 0 n'a aucune solution pour m < - 5
2 ou m > 5 2 .
8°) On peut écrire :
mx
2
- 5x + m = 0 ⇔ m(x
2
+ 1) - 5x = 0 ⇔ m(x
2
+ 1) = 5x ⇔ m = 5x
x
2
+ 1 ⇔ f(x) = m
Les solutions de l'équation f(x) = m sont les abscisses des points d'intersection de la courbe ( C ) et de la
droite d'équation y = m. On retrouve graphiquement :
Si m < - 5
2 , l'équation n'a pas de solution.
Si m = - 5
2, l'équation a une solution unique. (cette solution est -1)
Si - 5
2 < m < 0 , l'équation a deux solutions.
Si m = 0 , l'équation a une solution unique. (cette solution est 0)
Si 0 < m < 5
2 , l'équation a deux solutions.
Si m = 5
2, l'équation a une solution unique. (cette solution est 1)
Si m > 5
2 , l'équation n'a pas de solution.
m < -
5
2
m = -
5
2
-
5
2 < m < 0
m = 0
0 < m <
5
2
m =
5
2
m >
5
2