Les Angles - Intermath

Chapitre
ANGLES
Reproduire un angle
Utiliser un rapporteur pour :
déterminer la mesure en degré d’un angle,
construire un angle de mesure donnée en degré.
Remarque: le rapporteur est, pour les élèves de 6e, un nouvel instrument de
mesure dont l’utilisation doit faire l’objet d’un apprentissage spécifique.
Vocabulaire: angles nul, aigu, droit, obtus et plat.
Définition de la bissectrice d'un angle (construction avec rapporteur)
Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure.
Chapitre n°…..
Les Angles
1) La notion d’angle :
Point O sommet
de l’angle
a) Définition:
Un angle est la partie du plan
délimitée par deux demi-droites de
même origine.
A
Demi-droites
[OA) et [OB),
côtés de l’angle
Angle
O
Notation :
B
a ou BOA
a.
L’angle ci-contre se note AOB
ATTENTION : La lettre du milieu désigne toujours le sommet de l’angle.
b) Remarque:
Deux droites sécantes forment
plusieurs angles différents .
Exemple :
Les angles formés par les droites
(AB) et (MN) sont :
a NOB
a
AON
M
A
a MOA
a .
BOM
O
B
N
a (voir le 2) a) du cours).
Il y a aussi a
AOB et MON
I
c) Angles dans une figure:
L’angle colorié est l’angle de sommet B
et de côtés les demi-droites [BI) et [BC).
On le note donc a
IBC ou a
CBI .
C
K
A
Attention ! On ne peut pas noter cet angle
J
uniquement par son sommet.
En effet, on peut nommer plusieurs angles différents de sommet B :
Par exemple, a
ABI , a
IBC et a
ABC .
L’angle a
ACJ peut s’écrire de plusieurs façons :
a
a et KCA
a.
JCA , a
ICJ , a
JCI , a
ICK , a
KCI , ACK
RESUME :
Deux demi-droites de même origine définissent un angle.
Dans la notation de l’angle, la lettre du milieu est celle qui correspond à son sommet.
On ne note pas un angle uniquement par son sommet.
B
2) Mesure d’un angle :
a) Unité:
L’unité utilisée au collège pour mesurer les angles est le degré.
Par exemple, l’ angle plat a
xOy ci-dessous mesure 180 degrés, on note a
xOy =180°.
O
y
x
180°
Remarques :
L’instrument de mesure des angles est le rapporteur.
Le rapporteur ci-contre est
un demi-cercle gradué de O° à 180°
dans les deux sens.
Un rapporteur possède un centre.
centre
Il existe également des rapporteurs qui sont des cercles gradués de 0° à 360°.
Il ne faut pas confondre les degrés pour mesurer les angles, notés avec le symbole °
et les degrés Celsius pour mesurer les températures, notés °C.
Certains rapporteurs sont aussi gradués en grades : l’angle plat mesure 200 grades.
Toutefois, les grades ne sont pas utilisés en mathématiques (ils le sont parfois dans d’autres
disciplines).
b) Angles et mesures :
Figure
Angle
Mesure
nul
0°
aigu
entre 0° et 90°
droit
90°
c) Mesure d’un angle:
obtus
entre 90° et 180°
plat
180°
J
L’angle a
JIK est droit d’après le codage.
28°
Sa mesure est égale à 90°.
On note a
JIK = 90°.
I
K
Remarque :
Le rapporteur ne permet d’avoir qu’une valeur approchée de la mesure d’un angle.
IKJ mesure environ 28°.
Exemple : L’angle a
Pour mesurer cet angle il faut positionner correctement le centre du rapporteur, et lire la mesure de
l’angle en choisissant la graduation appropriée (voir 2 d) du cours pour la méthode).
a
2) d) Utiliser un rapporteur pour mesurer un angle: Par exemple, on mesure l’angle XOY
Y
Partir de la graduation 0° sur
la graduation extérieure du
rapporteur.
On lit 110° sur la graduation
extérieure du rapporteur.
X
O
Positionner le centre du rapporteur
sur le sommet O de l’angle.
Attention ! Si votre rapporteur est gradué dans les deux sens, il faut bien repérer la
a.
graduation utilisée pour mesurer l’angle XOY
Y
On lit 110° sur la graduation
intérieure du rapporteur.
Partir de la graduation 0°
sur la graduation intérieure
du rapporteur.
Positionner le centre du rapporteur
sur le sommet O de l’angle.
O
X
L’angle mesure 110° on note :
a
a = 110°
XOY=110°
ou YOX
2) e) Utiliser un rapporteur pour tracer un angle:
a de 80° :
On veut tracer un angle AOB
Tracer une demi-droite [OA).
Placer le centre du rapporteur sur le sommet O de l’angle.
Choisir une des graduations (intérieure ou extérieure, si votre rapporteur comporte deux
graduations) et aligner le 0° de la graduation choisie sur la demi-droite [OA).
Se déplacer jusqu’au nombre 80° en restant sur la graduation choisie à l’étape précédente
ATTENTION : ne pas se tromper de graduation !
Marquer un point B en face du nombre 80° sur la bonne graduation .
Tracer la demi-droite [OB).
a = BOA
a = 80°.
Exemple : AOB
O
A
X
2) f ) Utiliser un compas et une règle pour reproduire un angle donné:
Par exemple on veut reproduire un angle a
DCF de même mesure que
a ci-contre, en utilisant la règle et le compas :
l’angle XOY
On trace un arc de cercle de centre O qui coupe [OX)
O
en un point M et [OY) en un point N,
on a donc MON qui est un triangle isocèle en O, c'est-à-dire OM = ON .
On trace un point C.
On trace les points F et D avec CF = ON , CD = OM et FD = MN .
Remarques :Utiliser le compas pour reporter les longueurs.
On obtient un triangle DCF isocèle en C .
On trace l’angle a
DCF , c'est-à-dire les côtés [CD) et [CF) .
a
L’angle a
DCF obtenu a la même mesure que l’angle XOY.
C
Y
3) Bissectrice d’un angle :
a) Définition: angles adjacents
Deux angles adjacents sont des angles ayant un même sommet,
un côté commun et situés de part et d'autre de ce côté.
B
C
Exemple: a
AOC et a
COB sont des angles adjacents
O est le sommet commun aux deux angles
[OC) est le côté commun aux deux angles.
A
O
b) Définition: bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la droite, ou la demi-droite, qui partage cet angle en deux
angles adjacents de même mesure.
B
Exemple:
[OC) est la bissectrice de l'angle a
AOB
C
a
AOC = a
BOC (angles adjacents de même mesure)
O
A
c) Construction de la bissectrice d'un angle avec un rapporteur:
Exemple: on a un angle a
AOB, et on veut tracer la bissectrice de cet angle avec un rapporteur
On mesure l'angle a
AOB avec un rapporteur.
On trace le bissectrice [OC) telle que a
AOC = a
BOC = a
AOB : 2.
AOC et a
BOC sont adjacents et ont même mesure.
Remarque: les angles a
B
O
d) Propriété: (admise)
Un angle possède un axe de symétrie: sa bissectrice.
AOB .
Exemple: La droite (OC) est l'axe de symétrie de l'angle a
A