Introduction au langage et aux problématiques mathématiques par

Introduction au langage et aux probl´ematiques math´ematiques par la
g´eom´etrie classique
Christophe Hohlweg
29 juin 2011

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Table des mati`eres
1 G´eom´etrie ´el´ementaire 5
1.1 Introduction.......................................... 6
1.1.1 Pr´eliminaires et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Construction `a la r`egle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Quelques r´esultats classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Somme des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Triangles isom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 R`egle du parall´elogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Premi`ere construction d’un angle droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Construction de la parall`ele `a une droite donn´ee passant par un point donn´e ? . 15
1.3 Les th´eor`emes de Pythagore et de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Th´eor`eme de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Th´eor`emedeThal`es ................................. 18
1.3.3 Les nombres constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 M´ediatrice et autres constructions `a la r`egle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 M´ediatrice....................................... 21
1.4.2 Comment construire le milieu d’un segment (et sa m´ediatrice) ? . . . . . . . . . 22
1.4.3 Comment tracer la perpendiculaire `a une droite passant par un point donn´ee ? 23
1.4.4 Comment construire un carr´e dont un cˆot´e est un segment [AB] donn´e ? . . . . 23
1.4.5 Comment construire un hexagone r´egulier ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Triangles, droites et points remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 M´ediatrice et cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Hauteurs et orthocentre d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.3 M´edianes et centre de gravit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Axiomes de la g´eom´etrie euclidienne du plan et de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Axiomesdesdroites ................................. 27
1.6.2 Axiomesdesplans .................................. 29
1.7 Droites coplanaires et parall´elisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.1 Droites parall`eles dans un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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4TABLE DES MATI ` ERES
1.7.2 Axiome d’Euclide et transitivit´e du parall´elisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.3 Droites parall`eles dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.4 Plansparall`eles.................................... 34
1.8 Orthogonalit´e dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.1 Droites orthogonales et plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.2 Application :lecube ................................ 38
1.9 R´eponse au probl`eme de l’architecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10Exercicesduchapitre1.................................... 40
A Raisonnement et langage 47
A.1 ´ Ecrirelesmath´ematiques .................................. 47
A.1.1 ´ Enonc´e ........................................ 48
A.1.2 N´egation ....................................... 48
A.1.3 Op´eration ou et et sur les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.1.4 Implication et ´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.1.5 Raisonnement, ou comment d´emontre-t-on une implication P=⇒Q? . . . . . 49
A.2 Lelangageensembliste.................................... 51
A.2.1 Ensembles....................................... 51
A.2.2 Sous-ensembles.................................... 53
A.2.3 Produitcart´esien................................... 54
A.2.4 Unionetintersection................................. 55
A.3 Exercicessurl’annexeA................................... 56
B Rappels de g´eom´etrie 59
B.1 Parall´elogrammes, carr´es et rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.2 Triangles ........................................... 60

Chapitre 1
G´eom´etrie ´el´ementaire du plan et de
l’espace
L’objectif de ce chapitre est multiple. Tout d’abord, nous allons essayer de donner une id´ee au lecteur
du rˆole des math´ematiques en tant qu’outil de cr´eation pour la soci´et´e. Les mod`eles math´ematiques
actuels sont beaucoup trop nombreux et souvent trop complexes pour ˆetre abord´es dans un seul cours
de premier niveau universitaire. Cependant, le d´eveloppement des outils math´ematiques utilis´es en
construction remonte `a l’Antiquit´e et particuli`erement au temps de la Gr`ece Antique
1
: ce mod`ele est
la g´eom´etrie euclidienne du plan et de l’espace. Il fut et est encore utilis´e en architecture. Le second
objectif est de d´evelopper chez le lecteur un sens de la cr´eation en math´ematique, ce qu’on appelle
entre math´ematiciens l’intuition math´ematique . Le troisi`eme objectif est de montrer ce que sont
le langage et le raisonnement math´ematique ainsi que l’importance de bien apprendre `a les manier
pr´ecis´ement. Enfin, nous esp´erons r´eussir `a amener le lecteur `a saisir la diff´erence entre une v´erit´e
math´ematique, qui est absolue en tant que cr´eation dans un univers imaginaire et autor´ef´erentiel, et
une v´erit´e r´eelle, qui n’est pas absolue et est sujette aux interpr´etations quant aux choix arbitraires des
mod`eles math´ematiques utilis´es pour d´ecrire la r´ealit´e.
La plupart des r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre sont sans doute connus du lecteur. L’accent
est mis sur la d´emonstration de ces r´esultats, le pourquoi c’est vrai , la raison pour laquelle les
pr´edictions math´ematiques s’av`erent d’une redoutable pr´ecision. Finissons par citer un physicien bien
connu :
Comment se fait-il que les math´ematiques, qui sont un produit de la pens´ee humaine et
ind´ependante de toute exp´erience, s’adaptent d’une mani`ere si admirable aux objets de la
r´ealit´e ? – Einstein, Albert
1 . Les math´ematiques en tant que domaine de savoir sont n´ees du temps de l’´ecole pythagoricienne et la somme des
connaissances acquises nous a ´et´e transmise grˆace aux ´ El´ement d’Euclide, voir par exemple [Rittaud 2000]
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