Alg`ebre générale (ii) : Groupes, Anneaux, Corps Révisions d

Vincent Pilaud
Kholles de math´ematiques 11 octobre 2005
MP* - Lyc´ee Charlemagne - Paris
Alg` ebre g´ en´ erale (ii) : Groupes, Anneaux, Corps
R´
evisions d’alg`
ebre lin´
eaire
1 Groupes, Anneaux, Corps, Arithm´etique
1.1 Actions de groupes
On rappelle qu’une action de groupe est la donn´ee d’un groupe G, d’un ensemble Xet
d’un morphisme de groupes φ:G→S(X), ou autrement dit d’une application
G×X−→ X
(g, x)7−→ g·x
telle que
∀x∈X, e ·x=x(o`u ed´esigne l’´el´ement neutre de G),
et ∀x∈X, ∀g, h ∈G, g ·(h·x) = (gh)·x.
´
Etant donn´ee une action d’un groupe Gsur un ensemble X, on d´efinit les ensembles
suivants :
– Si x∈X, l’orbite de xest l’ensemble ω(x) = {g·x|g∈G}. L’ensemble des orbites
est not´e Ω.
– Si x∈X, le stabilisateur de xest l’ensemble Stab(x) = {g∈G|g·x=x}.
– Si g∈G, l’ensemble des points fixes de gest l’ensemble Fix(g) = {x∈X|g·x=x}.
On rappelle l’´equation aux classes :∀x∈X, on a |G|=|ω(x)||Stab(x)|.
Actions de groupes finis
Exercice. [Transitivit´e d’une action de groupe]
Soit Gun groupe agissant sur un ensemble X. On dit que cette action est k-fois transitive
(k∈N∗) si pour toute paire ((x1,...,xk),(y1,...,yk)) de k-uplets d’´el´ements distincts de
X, il existe un ´el´ement gde Gtel que ∀i∈ {1,...,k}, g ·xi=yi. Une action 1-fois transitive
est plus simplement appel´ee action transitive.
1. Montrer que l’action de Gsur Xest transitive si et seulement si pour tout ´el´ement x
de X, l’orbite de xest ´egale `a X.
2. Soit x∈X. Montrer que l’action de Gsur Xest k-fois transitive si et seulement si elle
est transitive et l’action de Stab(x) sur Xr{x}est (k−1)-fois transitive.
3. Exemples : montrer que l’action canonique de Snsur {1, . . . , n}est n-fois transitive,
et que celle de Anest (n−2)-fois transitive.
Exercice. [Deux preuves du th´eor`eme de Sylow]
Soit pun nombre premier, αun entier et mun entier non divisible par p. Soit Gun groupe
fini de cardinal pαm. On va montrer (par deux m´ethodes ind´ependantes) que Gposs`ede au
moins un sous-groupe de cardinal pα. Un tel sous-groupe est appel´e p-sous-groupe de Sylow
de G.
1. Premi`ere m´ethode :
Alg`ebre g´en´erale (II) : Groupes, Anneaux, Corps - R´evisions d’alg`ebre lin´eaire 1

a. On note Fple corps de cardinal ppremier, GLn(Fp) le groupe des matrices carr´ees
inversibles de taille nsur ce corps et Sn(Fp) le sous-groupe de GLn(Fp) form´e des matrices
triangulaires sup´erieures avec des 1 sur la diagonale. Montrer que Sn(Fp) est un p-sous-groupe
de Sylow de GLn(Fp).
b. On consid`ere la relation binaire sur GLn(Fp) d´efinie par
∀A, B ∈GLn(Fp), ARB⇔A−1B∈Sn(Fp).
V´erifier que cette relation binaire est une relation d’´equivalence sur GLn(Fp). Donner le
cardinal de l’ensemble quotient ∆ = GLn(Fp)/R.
c. Soit Gun sous-groupe de GLn(Fp). Montrer que l’application φ:G×GLn(Fp)→
GLn(Fp) d´efinie par φ(g, M) = gM (pour tout (g, M)∈G×GLn(Fp)) induit une action de
Gsur ∆.
d. Montrer qu’il existe un ´el´ement δ∈∆ tel que le cardinal de ω(δ) est premier avec p.
En d´eduire que le stabilisateur de δest un p-sous-groupe de Sylow de G.
e. Montrer que tout groupe de cardinal nse plonge dans GLn(Fp). En d´eduire le th´eor`eme
de Sylow dans le cas g´en´eral.
2. Seconde m´ethode :
Soit Gun groupe de cardinal pαm. On consid`ere l’action de Gsur l’ensemble Xde ses
parties `a pα´el´ements d´efinie par
G×X−→ X
(g, ({x1,...,xpα)7−→ {gx1,...,gxpα)
Montrer qu’il existe un ´el´ement xde Xtel que le cardinal de ω(x) est premier avec p. En
d´eduire que quitte `a r´eit´erer le proc´ed´e, le stabilisateur de xest un p-sous-groupe de Sylow
de G.
Exercice. [p-groupes]
Soit pun nombre premier. On appelle p-groupe tout groupe dont le cardinal est une
puissance de p.
1. Montrer que le centre d’un p-groupe n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre.
2. En d´eduire qu’un groupe d’ordre p2est ab´elien.
D´ enombrement : Th´ eor` eme de Polya
Soit X={x1,...,xn}un ensemble d’objets, A={a1,...,am}un ensemble de couleurs et
Gun sous-groupe de Sn.Gagit sur Xpar
G×X−→ X
(g, xi)7−→ g·xi=xg(i)
Un coloriage de Xpar Aest une application φ:X→A. On note Cl’ensemble des
coloriages de Xpar A. Le groupe Gagit sur Cpar
G×C−→ C
(g, φ)7−→ g·φ:x7→ φ(g−1·x)
Une orbite pour cette action est appel´ee sch´ema de coloriage.
Le but du probl`eme est de montrer que le nombre Ssch´emas est donn´e par
S=1
|G|X
g∈G
|A|γ(g),
2 Alg`ebre g´en´erale (II) : Groupes, Anneaux, Corps - R´evisions d’alg`ebre lin´eaire

o`u γ(g) d´esigne le nombre de cycles de gdans sa d´ecomposition en cycles `a supports disjoints.
Exercice. [Lemme de Burnside]
On consid`ere un groupe Gagissant sur un ensemble X. En consid´erant le cardinal de
l’ensemble F={(g, x)∈G×X|g·x=x}, montrer la formule de Burnside :
|G||Ω|=X
g∈G
|Fix(g)|.
Exercice. [Th´eor`eme de Polya]
On consid`ere l’action de Gsur l’ensemble des coloriages d´ecrite plus haut.
Soit g∈G. Montrer qu’un coloriage φest dans Fix(g) si et seulement si il est constant
sur les orbites de hgipour l’action de Gsur X. En d´eduire une bijection entre Fix(g) et
l’ensemble des applications de {1,...,γ(g)}dans A. Montrer alors la formule de Polya.
Exercice. [Application]
Quel est le nombre de colliers diff´erents `a 6 perles que l’on peut faire avec 3 couleurs ?
1.2 Commutativit´e et inversibilit´e dans des anneaux
Exercice. [Anneau d’´el´ements idempotents d’ordre 3]
Soit Aun anneau (d’´el´ement nul (resp. neutre) 0 (resp. 1)) dont tout ´el´ement est idem-
potent d’ordre 3 (ie. tel que ∀a∈A, a3=a).
1. D´eterminer les ´el´ements nilpotents de A(ie. les ´el´ements a∈Atels que ∃n∈N∗, an=
0).
2. Soit a, b ∈Aavec b2=b. En consid´erant l’´el´ement ba(1 −b), montrer que aet b
commutent. En d´eduire que les carr´es de A(ie. les ´el´ements de la forme c2avec c∈A) sont
dans le centre de A.
3. Montrer que Aest commutatif.
Exercice. [Inversibilit´e de 1 −ab]
Soit aet bdeux ´el´ements d’un anneau A. Montrer que 1 −ab est inversible si et seulement
si 1 −ba l’est.
Exercice. [Anneau sans id´eal non premier]
Soit Aun anneau commutatif dans lequel tout id´eal Iest premier (ie. ∀x, y ∈A, xy ∈
I⇒x∈Iou y∈I). Montrer que Aest un corps (pour inverser un ´el´ement x, on pourra
consid´erer l’id´eal engendr´e par x2).
1.3 Les carr´es dans les corps finis : loi de r´eciprocit´e quadratique
Exercice. [Quelques rappels sur les corps finis]
Montrer que la cardinalit´e d’un corps fini Kest n´ecessairement de la forme q=pαo`u p
est un nombre premier et αun entier non nul. pest appel´ee caract´eristique du corps K.
Exercice. [Carr´es en caract´eristique 2]
Montrer que dans un corps de caract´eristique 2, tout ´el´ement est un carr´e.
Exercice. [Carr´es en caract´eristique impaire - Symbole de Legendre - R´eciprocit´e quadra-
tique]
Alg`ebre g´en´erale (II) : Groupes, Anneaux, Corps - R´evisions d’alg`ebre lin´eaire 3

Soit Fple corps fini `a p´el´ements (avec p > 2). ´ Etant donn´e x∈Fp, le symbole de Legendre
de xest d´efini par
x
p=
0 si x= 0
1 si x6= 0 est un carr´e dans Fp
−1 sinon
Montrer que x
p=xp−1
2. En d´eduire que xy
p=x py p.
Montrer que 2
p= (−1)p2−1
8. (On montrera que p2−1 est divisible par 8. On en d´eduira
l’existence d’une racine primitive huiti`eme de l’unit´e ζdans Fp2. On v´erifiera que ζ+ζ−1est
une racine carr´ee de 2 dans Fp2.On concluera en trouvant la condition n´ecessaire et suffisante
pour que 2 soit un carr´e dans Fp).
Dans la suite de l’exercice, on veut montrer que pour tous nombres premiers pet q,
p
qq p= (−1)(p−1)(q−1)
4.
Pour cela, on introduit la somme de Gauss de la mani`ere suivante. Soit ωune racine
primitive q-i`eme de l’unit´e dans Fp. On pose
S=X
x∈Fqx
qωx.
Montrer que S2= (−1)q−1
2q, puis que Sp−1=p
q. Conclure.
Exercice. [Une ´equation dans Fp]
Soient u, v, w ∈Fpr{0}. Montrer que l’´equation ux2+vy2=wadmet une solution
(x, y)∈F2
p.
1.4 Arithm´etique
Exercice. [Th´eor`eme de Wilson]
Soit n∈N∗. Montrer que nest premier si et seulement si (n−1)! = −1 mod n.
Exercice. [Parit´e de σ(n)]
Soit n∈N∗. On note σ(n) la somme de ses diviseurs. Donner une condition n´ecessaire et
suffisante pour que σ(n) soit impair.
Exercice. [Autour des nombres de Fermat]
Soit a≥2 et m≥1 deux entiers.
1. Montrer que si am−1 est premier, alors mest premier et aest pair. R´eciproque ?
2. Montrer que si am+ 1 est premier, alors mest une puissance de 2 et aest pair.
3. Le but de ce qui suit est d’´etudier la r´eciproque de cette derni`ere affirmation. Pour
n∈N, on d´efinit le ni`eme nombre de Fermat par Fn= 22n+ 1.
a. Montrer que F0,F1,F2,F3et F4sont premiers. Montrer en revanche que F5est divisible
par 641 (on pourra remarquer que 641 = 54+ 24= 1 + 5.27et conclure sans effectuer le
calcul de la division).
b. Montrer que si n > m, alors Fmdivise Fn−2 et en d´eduire que Fnet Fmsont premiers
entre eux (remarquer au passage que ceci fournit une autre preuve de l’existence d’une infinit´e
de nombres premiers).
c. Montrer que si pest un diviseur premier de Fn, alors p= 1[2n+1]. Retrouver rapidement
le facteur 641 de la question a.
4 Alg`ebre g´en´erale (II) : Groupes, Anneaux, Corps - R´evisions d’alg`ebre lin´eaire

2 Alg`ebre lin´eaire
Exercice. [Union de sous-espaces vectoriels]
Soit Eun espace vectoriel sur un corps Kinfini et (Fi)1≤i≤pune famille finie de sous-
espaces vectoriels de E. Le but est de montrer que si E=Sp
i=1 Fi, alors il existe i∈ {1,...,p}
tel que E=Fi.
1. Montrer le r´esultat pour p= 1 et p= 2.
2. Montrer le r´esultat par r´ecurrence.
Exercice. [Intersection de sous-espaces vectoriels]
Soit Eun espace vectoriel de dimension net (Fi)1≤i≤pune famille finie de sous-espaces
vectoriels de E. Montrer que si Pp
i=1 dim(Fi)> n(p−1), alors Tp i=1 Fi6={0}.
Exercice. [Sommes directes]
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels sur le mˆeme corps et (Ei)i∈Iune famille de sous-espaces
vectoriels de E. On consid`ere l’application
Ψ : L(E, F )−→ Qi∈IL(Ei, F )
u7−→ (u|Vi)i∈I
Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que Ψ soit injective (resp. surjective).
Exercice. [Inverses `a gauche et `a droite]
Soit Eun espace vectoriel et f∈ L(E). Montrer que
– Si il existe deux applications lin´eaires distinctes get htelles que f◦g=f◦h=Id,
alors il en existe une infinit´e non d´enombrable.
– Si il existe une unique application lin´eaire gtelle que f◦g=Id, alors fest inversible
d’inverse g.
Exercice. [Somme de projecteurs]
1. Soit Eun espace vectoriel sur un corps de caract´eristique diff´erente de 2 et pet qdeux
projecteurs de E. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :
i) p+qest un projecteur,
ii) pq +qp = 0,
iii) pq =qp = 0.
2. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur un corps de caract´eristique nulle et
(pi)1≤i≤pune famille finie d’endomorphismes de Etels que Pp
i=1 pi=Id. Montrer que les
assertions suivantes sont ´equivalentes :
i) ∀i6=j∈ {1,...,p}, pipj= 0,
ii) ∀i∈ {1,...,p},piest un projecteur.
3. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur un corps de caract´eristique nulle et
(pi)1≤i≤pune famille finie de projecteurs de E. Montrer que les assertions suivantes sont
´equivalentes :
i) ∀i6=j∈ {1,...,p}, pipj= 0,
ii) Pp
i=1 piest un projecteur.
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