Exercices - Equations diffrentielles - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Calculus
Equations différentielles
1. Equation différentielles linéaires du premier ordre
(a) Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E1):
y!+y=2shx
(b) Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E2):
y!+2xy =2x
(c) Résoudre, sur IR!
+, l’équation différentielle (E3):
xy
!−3x3y=3x3e2x3
(d) Résoudre, sur l’intervalle I=]0,+∞[, l’équation différentielle (E4)
y!=2y
x+x
(e) Soit λun réel. Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E5):
(x2+ 1) y!+y=λ
(f) Déterminer les solutions polynomiales de l’équation différentielle (E6):
x2y!−xy =x3+x
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2. Equation différentielles linéaires du second ordre
(a) Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E7):
y!! +y!+y=e−x
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(b) Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E8):
y!! −6y!+9y= 27 (3 x−1) e−3x
(c) Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E9):
y!! −4y= 12 ex−8
(d) Résoudre, sur IR, l’équation différentielle (E10):
y!! +2y!−3y= 80 e6x−12
3. Quelques équations fonctionnelles
(a) Déterminer les applications f:IR→IR, dérivables, telles que, pour tout réel x:
f!(x)+f(−x)=ex
(b) Déterminer les applications f:IR→IR, deux fois dérivables, telles que, pour tout réel x:
f!!(x)+f(−x)=x
4. Quelques équations différentielles à variables séparables
(a) Soit αun réel non nul, et pun entier naturel supérieur ou égal à 2.
Résoudre l’équation différentielle (E12):
y!(x)=−αy
p(x)
avec la condition initiale y(0) = y0,y0!0.
Ce type d’équation intervient lors d’une réaction dite d’ordre pen cinétique chimique ; la
fonction inconnue est une concentration.
(b) Soient aet bdeux réels, et kun réel positif.
Résoudre l’équation différentielle (E13):
y!=k(a−y)(b−y)
Ce type d’équation intervient également en cinétique chimique.
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Corrigé
1. Equation différentielles linéaires du premier ordre
(a) L’équation différentielle homogène associée à (E1)est :
y!+y=0
dont les solutions sont de la forme x$→ Ce
−x,oùCest une constante réelle.
Pour déterminer une solution particulière de (E1), on utilise la méthode de variation de la
constante, en recherchant une solution sous la forme x$→ y0(x)=C(x)e−x,oùCest une
fonction dérivable sur IR. On obtient alors, pour tout réel x:
y!
0(x)=−C(x)e−x+C!(x)e−x
En injectant cette expression dans (E1), on obtient :
y!
0(x)+y0=−C(x)e−x+C!(x)e−x+C(x)e−x=2shx
soit :
C!(x)e−x=2shx
ce qui conduit à
C!(x)=2exshx=e2x−1
Il en résulte :
C(x)=e2x
2−x+Constante
La solution générale de (E1)est donc donnée, pour tout réel x,par:
y(x)=e−xe2x
2−xe
−x+C0e−x=ex
2−xe
−x+C0e−x
où C0est une constante réelle.
(b) L’équation différentielle homogène associée à (E2)est :
y!+2xy =0
La fonction x$→ −2xest continue sur IR. C’est la dérivée de la fonction x$→ −x2. Les solu-
tions de l’équation différentielle homogène, y!=−2xy sont donc de la forme x$→ Ce
−x2,
où Cest une constante réelle.
Il est ensuite intéressant de remarquer que la fonction x$→ 1est une solution particulière
de (E3).
La solution générale de (E3)est donc donnée, pour tout réel x,par:
y(x)=C0e−x2+1
où C0est une constante réelle.
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(c) L’équation différentielle homogène associée à (E3)est :
xy
!−3x3y=0
soit encore y!=3x2y(on peut simplifier par x, qui ne s’annule pas sur IR
!
+).
Sur IR!
+, la fonction x$→ 3x2est continue. C’est la dérivée de la fonction x$→ x3. Les
solutions de l’équation différentielle homogène, y!=3x2ysont donc de la forme x$→ Ce
x3,
où Cest une constante réelle.
Pour déterminer une solution particulière de (E3), on utilise la méthode de variation de la
constante, en recherchant une solution sous la forme x$→ y0(x)=C(x)ex3,oùCest une
fonction dérivable sur IR!
+. On obtient alors, pour tout réel x>0:
xy
!
0(x)=3x2C(x)ex3+C!(x)ex3
En injectant cette expression dans (E3), on obtient :
xy
!
0(x)−3x3y0=3x3C(x)ex3+xC!(x)ex3−3x3C(x)ex3=3x3e2x3
xC!(x)ex3=3x3e2x3
puis, comme x>0:
C!(x)=3x2ex3
Il en résulte :
C(x)=ex3+Constante
La solution générale de (E3)est donc donnée, pour tout réel x>0,par:
y(x)=ex3ex3+C0ex3=e2x3+C0ex3
où C0est une constante réelle.
(d) Sur l’intervalle ]0,+∞[, la fonction x$→ 2
xest continue. C’est la dérivée de la fonction
x$→ 2lnx. Les solutions de l’équation différentielle homogène, y!=2y
xsont donc de la
forme x$→ Ce
2lnx=Cx 2,oùCest une constante réelle.
Pour déterminer une solution particulière de (E2), on utilise la méthode de variation de la
constante, en recherchant une solution sous la forme x$→ y0(x)=x2C(x),oùCest une
fonction dérivable sur IR!
+. On obtient alors, pour tout réel x>0:
x2y!
0(x)=C!(x)+2xC(x)
En injectant cette expression dans (E3), on obtient :
x2C!(x)+2xC(x)=2xC(x)+x
ce qui conduit à C!(x)= 1
x.
On peut alors choisir C(x)=ln(x). Il en résulte, pour tout réel x>0:
y0(x)=x2ln x
La solution générale de (E4)est donc donnée, pour tout réel x>0,par:
y(x)=x2(C0+lnx)
où C0est une constante réelle.
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(e) L’équation différentielle homogène associée à (E5)est :
(x2+ 1) y!+y=0
soit encore y!=−y
x2+1 .
La fonction x$→ − 1
x2+1 est continue sur IR. C’est la dérivée de la fonction x$→ −arctan x.
Les solutions de l’équation différentielle homogène, y!=−y
x2+1 sont donc de la forme
x$→ Ce
−arctan xoù Cest une constante réelle.
Il est ensuite intéressant de remarquer que la fonction constante x$→ λest une solution
particulière de (E5).
La solution générale de (E5)est donc donnée, pour tout réel x,par:
y(x)=C0e−arctan x+λ
où C0est une constante réelle.
(f) Les solutions polynomiales de l’équation différentielle (E6)sont de la forme
x$→ ypolynomiale(x)=
N
!
k=0
akxk
où Nest un entier naturel, et où a0,...,aNsont des réels.
On a alors :
y!
polynomiale(x)=
N
!
k=1
ka
kxk−1
En injectant cette expression dans (E6), on obtient :
x2ypolynomiale(x)−xy
polynomiale(x)=x2
N
!
k=1
ka
kxk−1−x
N
!
k=0
akxk
=
N
!
k=1
ka
kxk+1 −
N
!
k=0
akxk+1
=
N
!
k=1
(k−1) akxk+1 −a0x
=
N+1
!
k=2
(k−2) ak−1xk−a0x
=x3+x
Un polynôme étant nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, on en déduit que,
nécessairement, N+1=3et :
a0=−1
(N+1−2) aN+1−1=1 i.e. a2=1
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