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Astelab 2003 2 - 1
Calcul de SDF et SRE : Comparaison entre la méthode
analytique et la méthode numérique
SDF and SRE: Analytic and numeric methodology comparison
Pierre Sedevcic
Technicatome / Metravib - Lyon
Résumé
Il existe principalement aujourd’hui 2 méthodes de synthèse utilisées dans le cadre d’une démarche de personnalisation :
La méthode analytique, dans laquelle les calculs sont réalisés à partir de données représentatives statistiquement de l’environnement
(par exemple une densité spectrale d’accélération de la vibration),
La méthode numérique, dans laquelle les calculs sont réalisés à partir d’un signal vibratoire quelconque défini dans le domaine des
temps.
C’est dernière n’est pas véritablement une nouvelle méthode mais les progrès de l’informatique et plus particulièrement ceux relatifs au
temps de calcul, permettent aujourd’hui une utilisation de ces méthodes sur des calculateurs courants, ce qui était impensable il y a
quelques années.
En effet, la méthode numérique est plus lourde en temps de calcul que la méthode analytique réalisée à partir de DSP ou de définition
de balayage sinus. En revanche, elle présente l’immense avantage de permettre à l’utilisateur de s’affranchir de quelques-unes des
simplifications théoriques inhérentes à l’utilisation de modèle analytique. L’utilisateur peut ainsi employer des courbes de Wöhler ou
Basquin multi-dimensionnelles pour intégrer des paramètres supplémentaires influents sur l’endommagement (par exemple, la
température) ou travailler sur des environnements complexes non forcément modélisables (mélange d’aléatoire non gaussien, sinus et
transitoire) sans être obliger de segmenter ou d’effectuer de dangereuses approximations.
Après une présentation de la méthode numérique et de ses avantages et inconvénients, une comparaison est réalisée à partir de
données enregistrées sur véhicule automobile lors de roulages sur piste d’essai.
1. PRINCIPES DE LA METHODE NUMERIQUE
1.1. Grandeurs caractéristiques
Soit un échantillon parallélépipède de dimension A, B et C, tel que représenté figure 1.
Figure 1
Si on applique une force F perpendiculairement à la surface AB de cet échantillon, on obtient une contrainte ó telle
que :
ó = F / AB
ó est en N/m2 ou Mpa
ÄC
B
A
F F
C

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L’application de cette contrainte conduit à une déformation å définie comme une extension ; å est exprimé par le
rapport entre l’allongement ÄC et la longueur C :
å = ÄC / C
å est sans dimension
Il existe également une relation entre ó et å. Il s’agit du module d’élongation E (ou module d’Young) défini par la 1ère
expression de Hooke :
E = ó / å
E est en N/m2
1.2. Effort statique et dynamique
Dans la pratique beaucoup de pièces sont soumises à un effort statique auquel se superpose un effort dynamique. La
contrainte se décompose alors en une précontrainte constante ómoy à laquelle s’ajoute une contrainte dynamique óalt
tel que représentée dans la figure 2.
Figure 2
1.3. Etapes de calcul
1.3.1. Obtention de l’élongation et calcul de la contrainte
Comme indiqué dans le paragraphe précédent, la loi de Hooke permet de poser que:
ó = E x å
Dans le cas d’un calcul de fatigue classique, il suffit donc de mesurer l’élongation de la pièce å (généralement par jauge
de contrainte) et de calculer la contrainte ó. On prend pour hypothèse que le matériau est un métal et que l'on effectue
les essais à température ambiante et constante : E est alors constant et en conséquence les contraintes et les
déformations sont proportionnelles.
Attention, le comportement à température ambiante est totalement différent du comportement en plus haute température
pour lequel la déformation est fonction de la contrainte mais aussi du temps d’exposition et de cette température.

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Figure 3
La figure 3 représente un exemple de mesure d’élongation.
Dans le cas de la personnalisation, il n’est pas mesuré une élongation (réponse du système étudié) mais une excitation
(entrée du système étudié) tel que représenté figure 4.
Figure 4
En effet, lorsqu’une vibration aléatoire à moyenne nulle est appliquée à un système mécanique linéaire à un degré de
liberté, de fréquence propre fp et d’amortissement î, on obtient la réponse du système mécanique, caractérisée par le
déplacement z(t) entre la masse et son support. Le système étant considéré comme linéaire, la contrainte σ calculée avec
le modèle est proportionnelle au déplacement relatif.
Nous obtenons donc par l’utilisation de ce modèle 1 ddl une élongation puis une contrainte (réponse du système ) à
partir d’une accélération ou une vitesse ou un déplacement (excitation).
Hypothèses prises :
Ø Module d’Young constant (acier, température ambiante)
Ø Système modélisé en 1ddl
t
ãe
Excitation
Système 1ddl variant en
fonction de fp
t
σ
Réponse

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1.3.2. Comptage des cycles de contrainte
Une fois parfaitement définie la contrainte en fonction du temps, il s’agit de compter les nombres de cycles de cette
contrainte et mieux encore, décomposer ceux-ci en 2 parties, ceux relatifs aux efforts statiques et ceux relatifs aux
efforts dynamiques. Plusieurs méthodes existent telles que le comptage Pic Vallée, le comptage Level Crossing, mais
nous utilisons plus particulièrement la méthode de comptage Rainflow développé par un groupe de travail normatif
(norme AFNOR A03-406). Celle-ci a été particulièrement étudiée pour une application dans le domaine du dommage
par fatigue et décompose les efforts statiques et dynamiques, ce qui n’est pas le cas du Pic Vallée et du Level Crossing.
Le principe du comptage est donc de discrétiser le signal temporel en une somme de cycles ou ½ cycles : Chaque cycle
est définit par un couple de valeurs, correspondant d’une part à son amplitude moyenne (ou précontrainte) et d’autre
part à son amp litude alternée (ou contrainte dynamique) tel que représenté figure 5.
Attention, l’aspect temporel disparaît (plus de chronologie) et seules restent les informations relatives aux amplitudes.
Figure 5
Chaque cycle (ou demi-cycle) correspondant à un couple (ómoy, óalt) est compté et indiqué dans une matrice Rainflow
et qui se présente comme dans la figure 6. Ni est le nombre de cycle (ou demi-cycle) pour un couple (ómoyi, óalti).
Figure 6
La matrice Rainflow correspondante au signal de la figure 3, est présentée figure 7. Un code de couleur indique l’ordre
de grandeur du nombre de cycles pour chaque couple (ómoyi, óalti). La couleur indique l’importance du nombre de
cycles.
óalt
ó
moy
ómoy
ni
ómoyi 0
óalti
óaltmax
óalt
ómoymax ómoymin

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Figure 7
Hypothèses prises :
Ø Endommagement de même nature en traction et en compression (non-dissociation des deux cas, tant en
statique qu’en dynamique)
1.3.3. Prise en compte des contraintes statiques
Afin de calculer un endommagement par fatigue du à une contrainte, nous utilisons des courbes de Wöhler. Néanmoins
ces courbes sont tracées pour une sollicitation alternée pure, soit uniquement dynamique. Mais nous avons vu que dans
la pratique beaucoup de pièces sont soumises à un effort statique auquel se superpose un effort dynamique et c’est ce
que nous donne la matrice Rainflow. Il est important de prendre en compte cette contrainte moyenne non nulle, car elle
modifie sensiblement la durée de vie, en particulier quand elle est relativement grande par rapport à la contrainte
alternée.
Il faut donc calculer une contrainte alternée pure équivalente à notre couple (ómoy, óalt) et nous utilisons pour cela un
diagramme de corrections appelé également diagramme de Haig.
Il existe différentes représentations de ce diagramme :
• Parabole de Gerber,
• Droite de Goodman,
• Goodman modifié,
• Droite de Soderberg
• Modification de Langer,
• Modification de Sines.
Un exemple de diagramme de Haig, la parabole de Gerber, est représenté en figure 8.